地下结构技巧-地下结构方法

1.Karush-Kuhn-Tucker（KKT）一阶必要条件

约束最优化问题与无约束最优化问题的区别在于前者搜索区限于可行域，其解不一定满足Δf（x）=0，于是判别极小值的必要条件也将不可能再用梯度为零的条件。最优性条件包括必要条件与充分条件两部分内容。一阶最优性必要条件即为KKT条件。而问题（3.2.1）的最优解并不是无条件满足KKT条件，必须对问题的约束函数gj（x），hk（x）在x*处的性状加以限制，以使KKT条件成立，限制条件称为约束规格或约束规范。

KKT条件为局部最优点的必要条件，对凸规划问题，也为整体极小点的必要条件。对于一般问题（3.2.1），拉格朗日函数为

约束极小点必须满足的KKT条件如下：

KKT条件为函数取得局部最优的必要条件，只有当目标函数和可行域均为凸的，该条件对于全局最优才为充要条件。

2.二阶最优性条件

定理3.2.1（最优性的二阶必要条件） 设问题（3.2.1）中f（x），gj（x），hk（x）二阶连续可微，x*， （λ*，μ*）为KKT对，若约束条件满足下述条件之一：

1）gj（x）（j∈I），hk（x）（k∈E）均为线性函数；(https://www.xing528.com)

2）紧约束梯度向量组线性无关。则x*为局部最小解的必要条件为对于满足条件

的任一向量d，均有

成立。

定理3.2.2（最优性的二阶充分条件） 设f（x），gj（x），hk（x）二阶连续可微，x*为KKT点。若L（x，λ，μ）在（x*，λ*，μ*）的Hesse矩阵对满足条件

的任一非零向量d≠0，均有

成立。则x*为问题（3.2.1）的一个严格局部最优解，其中。