【摘要】：在点xk处，f的泰勒展开式为令，可得我们希望式中产生的点x是f的最小点x*，否则令x=xk+1，作为x*一个新的近似点，方向称为牛顿方向，使用公式建立的迭代算法为牛顿法，其计算步骤如下：步骤1：选择初始点x0，误差ε＞0，令k=0；步骤2：计算，停止计算。定理3.1.6 设f在Rn的开集D上二阶连续可微，其Hesse矩阵满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，对所有i，j，成立。阻尼牛顿法在MATLAB中的程序实现如下所示：程序3.2
牛顿法对于一点xk，将目标函数f（x）在点xk处做泰勒展开至二次项，略去高次项，以展开式近似代替f（x），求其最小值点，从而得到牛顿法的迭代计算公式。
在点xk处，f（x）的泰勒展开式为
令
，可得
我们希望式（3.1.7）中产生的点x是f（x）的最小点x*，否则令x=xk+1，作为x*一个新的近似点，
方向
称为牛顿方向，使用公式（3.1.16）建立的迭代算法为牛顿法，其计算步骤如下：
步骤1：选择初始点x0，误差ε＞0，令k=0；
步骤2：计算
，停止计算。xk为近似最优解；
步骤3：由
计算得到dk；(www.xing528.com)
步骤4：
，转回步骤2。
定理3.1.6（牛顿法的收敛性） 设f（x）在Rn的开集D上二阶连续可微，其Hesse矩阵
满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，对所有i，j，
成立。
该定理给出了牛顿法的局部收敛性，当迭代点充分接近x*时，方可保证牛顿法的收敛性，方法以二阶收敛速度收敛。牛顿方法的收敛性依赖于初始点的选择。当初始点接近极小点时，迭代序列收敛于极小点，且收敛很快；否则就会出现迭代数列收敛到鞍点或极大点的情形，或者在迭代过程中出现矩阵不正定或奇异的情形，使线性方程组不能求解，导致迭代失败。即使其Hesse矩阵正定，也不能保证{fk}单调下降。且每一步都需要求解Hesse矩阵和一个线性方程组，计算量较大。
上述牛顿法中步长为1，为改善牛顿法的局部收敛性质，保证f（x）的单调下降性，可以用线性搜索来求步长αk，这种方法称为阻尼牛顿法。
阻尼牛顿法在MATLAB中的程序实现如下所示：
程序3.2 （阻尼牛顿法）
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