地下结构数学模型-地下结构最优化方法

在解决实际优化问题时，最重要的一步是建立该问题的数学模型，这一步将决定所得的解是否具有物理意义，以及最终是否可以得到工程实现。如前所述，最优化问题的数学模型由三个部分组成：目标函数（性能指标）、独立变量和约束。为了能真实地反映客观事物，总是希望模型尽可能的详细，然而经费、时间、人力等方面的耗费，会随模型的详细程度的增加而急剧增加，所以实际模型的详细程度是受许多条件限制的，应该结合具体问题的性质和可以获得的信息的质量来决定。例如，当一个输入输出模型就能满足要求时，就不必去开发一个详细的动态操作模型；当可得的数据较少且不太可靠时，开发一个复杂的模型是没有用处的；另一方面，由于优化是针对模型进行的，而不是直接对实际系统进行的，所以模型也不能太粗糙、太简单，否则不能很好地逼近真实系统的最优状态。

1.3.1.1　模型的类型及选择

解决一个系统的最优化问题，投入最多的就是建模，因为它首先要求建模者对实际系统进行深入的调查和分析，并找出主要应解决的问题。因而建模时必须选择实际系统的主要方面，而对次要方面则应做必要的忽略，必须确认哪些假设成立，选择适当的模型形式，以及模型产生的方法。应该说建模的花费将随着模型的复杂程度而增长，因此，有必要进行合理的分析与判断，选择适当的模型细节描述的标准，使其与研究的目的和有关系的信息相适应。

模型方面的工作隐含着一定程度的随意性。同一个问题，不同的人来建模在形式上可能有很大的不同。然而，对同一系统不同形式的模型，无论它们多么详细多么复杂，没有一个包含非线性函数的模型，只有在它更精确地表达了实际系统时，才比线性函数的模型好。

选择什么样的模型有相当程度的主观性，比如一个模型可能在某一方面比另一模型精确，但在另一方面却又没有那个模型精确。在这种情况下，可以选择一个总体上看比另一模型精度为低的模型，但在某个重要的子系统中却有很高的精度，因为最优化的目标往往是对某一个方面感兴趣。例如对基坑工程设计优化，关心的是造价和进度。在这种情况下，没有必要去追求整个系统模型的力、变形、稳定性大小具有什么样的高要求，对它们只要求其满足某些约束即可。

应注意的一点是：模型和它所代表的系统之间的联系，最多是一些貌似正确的关系，模型只是实际系统的简化，没有绝对的标准，建模总是存在主观的判断，存在对实际系统特性的直觉因素。因此常常存在这样的情况，对一个系统模型及其细节的描述标准，不同的人有不同的看法。建模的过程中，要求彻底掌握被建模系统的特性，必须知道基于模型要素的工程方面的原则，而且解决最优化设计问题时，要掌握求得一个可行解的所有计算方面的问题。

一个已知输入输出的静态模型已能满足要求，那就没有必要去建立一个对象的动态模型。当用于估计模型参数的量测数据少而且不可靠时，去建立一个复杂的模型也就没有必要了。另一方面，由于我们是对模型进行优化，而并不直接对系统进行最优化，假若模型过于简单，以致不能代表实际系统的近似最优解，这种简化也是没有意义的。

因而模型的详细程度应该适中，即应与我们的要求相适应。然而，要实现这个目标却是很困难的。利用前人的研究成果可以对某些特定类型系统模型的复杂程度预先有个适当的估计。但对找不到前人研究成果的问题，就很难做到这点，这时可采用一个简单的方法，即交替建模与优化的方法，先从一个最简单的模型开始，直到模型的最优解逐步逼近要求的精度。然而这是一个费力的处理方法，有时所耗费的时间和费用是不能容忍的。因而一个通常的方法是，选择一个适当的设计人员熟悉的模型，和一个以前曾经用过的最优化方法去解决。

当然，有时把一个问题建成特殊的模型形式是必要的，比如建成一个非线性规划问题的形式，建模时还必须记住可用的各种最优化方法的潜在能力和局限性。显然，把一个非线性规划问题的维数估计为能用市场上线性规划软件所能解决问题的维数是不适当的。当然维数的大小服从于对问题的要求。

在工程最优化中常用的模型有下面所述的三种类型。

1.面向方程的大模型

这类模型由基本的物理平衡和能量平衡方程、工程设计关系、物理性质方程组成，汇集成显式的方程组和不等式组。原则上方程中可以含有积分或微积分运算。但是，实践中最好的办法是用求积公式或近似方法将这些项消去，使模型变为纯代数运算。由于面向方程的模型是用基本工程原理来描述系统的特性的，所以它们的有效范围比下面所述的响应曲面模型更宽。

2.响应曲面模型(www.xing528.com)

这类模型的建立方法是：先选择一个具有某种形式的方程组，方程组中含有一些未知系数，然后使用直接或间接测量得到的系统响应数据去拟合这些系数，得到一组表示整个系统或它的组成部分的近似方程。如果对系统的响应理解不透，或系统响应太复杂以致不可能从基本工程原理出发构造精细的模型时，可使用响应曲面模型。这种模型有简化结构的优点，但是它们通常只在系统变量的有限取值范围内有效。

3.面向过程或面向模拟的模型

这类模型是把描述系统特性的基本方程安排成分离的一些模块或子程序组，每个模块或子程序是独立的单位，代表设备的特殊部件或一组与系统状态变化有关的活动，内部可以含有方程求解、积分或逻辑分支等数值步骤。在方程含有隐式确定变量而求值复杂、在选择一个计算步骤或适当方程的逻辑块受到系统状态的限制或在模型必须涉及蒙特卡罗（Monte Carlo）采样技术的随机因素时，常使用这类模型。一般来说，它们比前两类复杂得多，通常需要更大量的计算机资源。

在多数场合，模型的选择取决于三个因素：可从系统获得信息的程度，对发生在系统内部现象的理解程度和系统本身内在的复杂性，有条件时应优先采用面向方程的模型，因为用传统的非线性规划技术处理是最方便的。尽管面向过程的模型允许方程递归块的特殊处理，有时可以更有效一些，但在存取中间因变量的值，对它们施加限制，以及交换自变量和因变量的作用等方面是不够方便的。

1.3.1.2　变量的选择原则

在一个最优化设计问题中，变量是影响设计质量的可变参数，变量太多，将使问题变得十分复杂，而变量太少，则涉及的自由度少，优化的程度就差，甚至导出不符合实际的结论。所以要结合具体问题，合理地选定变量。在满足设计要求的前提下，应减少次要的变量，使问题简化。在有状态方程（等式约束）时，变量可分为控制（设计、决策）变量和状态变量，其中控制变量是真正的自变量，必须使它们之间相互独立，否则由于相互之间存在的交互作用，会给优化带来困难。独立的控制变量个数就是设计的自由度。

控制变量应选择对目标函数影响较大的变量，并尽量采用具有物理意义的无因次量，这样不仅便于计算，更主要的是对同类的工程设计问题具有通用性。

1.3.1.3　确定目标函数的原则

目标函数是评价设计方案好坏的标准，一般来说，目标函数可以表示为问题变量的解析表达式，这时可用解析法或直接法进行优化。但有时也存在无法把目标函数表示成变量的解析表达式的情形，这时需要在调优过程中，通过各种方式获得数据，采用直接法进行优化。

通常的设计所追求的目标往往不止一个，应选择其中主要的作为目标函数，其余的列为约束函数。目标函数可以是一个，也可以是多个，但应尽量使目标函数的数目少一些。

1.3.1.4　确定约束条件的原则

约束条件是变量取值范围的限制条件，有等式与不等式两种，它是评定设计方案可行或不可行的标准。为了确定约束就要了解工艺过程，与传统设计相比，这种了解需要更深入更透彻，必须把各种可能发生的故障与危险情形都包括到约束中去。当然，不必要的限制必须去掉，否则将使可行域变小，缩小了设计的范围，影响到最优化的结果。由于大多数最优化算法在无等式约束时运行得较好，所以在规定等式约束时要更为慎重一些。