地下结构最优化-数学表达式

我们将1.1节列举的挡土墙例子进行结构优化设计，可以写成如下数学形式：

式中　B1，B2——挡土墙顶、底宽度；

　　　γk——挡土墙墙体容重；

　　　γc——挡土墙内所填土渣容重；

　　　H——挡土墙高度；

　　　Ka——库仑主动土压力系数；

　　　μ——挡土墙基底对地基的摩擦系数；

　　　σ——地基允许承载力。

若令

并用g（X）≤0统一表示约束条件，于是式（1.2.1）可以表示成如下数学形式：

式（1.2.2）即为结构优化设计的一般数学表达式。从这个数学表达式中，可以看出结构优化设计有三大要素：设计变量、目标函数和约束条件。

1.设计变量

一个地下结构设计的方案是用若干个变量来描述的。以基坑工程为例，这些变量可以是各个构件的截面尺寸、面积、惯性矩等设计截面的几何参数，也可以是柱的高度、梁的间距、拱的矢高和节点坐标等结构总体的几何参数，以及诸如材料的弹性模量、混凝土标号等选用材料的参数。这些参数中的一部分是按照某些具体要求给定的，它们在优化设计过程中始终保持不变，称为预定参数；另一部分在优化设计过程中可视为变量，称为设计变量。式（1.2.1）中，γk，γc，μ，Ka和H保持不变，称为预定参数；B1，B2则为设计变量。关于设计变量，可以是连续的，也可以是离散跳跃的。遇到离散的设计变量，如结构中有关尺寸要符合模数的要求，为了简化计算，有时可以权宜地视为连续变量，而在最后决定方案时，再选择最接近的离散值。

为了方便矩阵运算，可以用设计向量表示，n维设计变量，即(www.xing528.com)

一个设计向量代表一个设计方案，它的n个分量可以组成一个设计空间。于是，一个设计向量在相应的设计空间中可用一个点表示，这个点在设计空间中的n个坐标也就是这个向量的n维分量。

2.目标函数

目标函数有时称价值函数，它是设计变量的函数。有时设计变量本身是函数，则目标函数所表示的是泛函。

目标函数是用来作为选择“最佳设计”的标准的，故应代表设计中某个最重要的特征，大多数结构设计将结构最轻取为目标。如果结构的造价和维护费用等能够确切定量，而且“经济”是工程的主要矛盾时，则应进行最经济设计。但也有这种情况，材料的重量并不是矛盾的主要方面，在设计中主要需突出某一性能：如对长桩吊点位置的优化中，选择最好的吊点位置，使长桩在吊运、吊立过程中桩的最大内力（弯矩M）最小。总之，目标函数随着问题的要求不同，表现的形式也是不一样的，因此，对具体情况需要进行具体分析。

在某些设计中，可能出现两个以上的目标，这时可以采取：

（1）构造一个复合的目标函数。

（2）对目标函数之一加上限制并把它当作一个约束。

3.约束条件

在结构设计中应该遵循的条件称为约束条件。约束条件大体上可以分为以下三类：

（1）结构静力分析中的平衡方程、变形协调方程，动力分析中的运动方程，等等。这类约束都呈现为等式约束。

（2）保证结构正常工作的强度、刚度和稳定条件，即对应力和位移的限制。呈现为≤类的不等式约束。

（3）满足设计规范的有关要求，如在钢筋混凝土隧道衬砌的优化设计中，要满足最小厚度、最小配筋率等构造要求，这类约束可以是≤类的不等式约束，也可以是≥类的不等式约束。有时称它为界限约束。

满足约束方程gj（X）=0的X值的集合在设计空间内形成一个超曲面。这个超曲面的意义是：把设计空间分成两部分，一部分gj（X）≤0构成可行区域；另一部分gj（X）＞0是不可行区域。结构优化设计就是在可行区域内（包括边界点），寻找使目标函数f（X）最优的设计向量X*。