系统可靠性与安全性-极值分布函数

极值分布是指在概率论中极大值（或者极小值）的概率分布，从很多个彼此独立的值中挑出来的各个极大值应当服从的概率密度分布数f（x）。若　X1，X2，…，Xn是一组随机变量，相应的极值分布函数分别为F1，F2，…，Fn。Y是这n个量的最大值，其对应的分布函数FY（y）成为最大极值分布函数。按照分布函数的定义：

FY(y)＝P(Y≤y)

FY（y）又可表达为

FY(y)＝P[(X1≤y)(X2≤y)∙∙∙(Xn≤y)]

假设上式iX之间是相互独立的，则有

这里的随机变量　Xi的分布函数Fi（y）与P（Xi≤y）是相同的，因此可建立起单个分布函数与最大极值分布函数间的关系，即

如果这n个随机变量均服从同一分布，其共同的分布函数记为F（y），

则

对应的密度函数为

用相似的方法可建立母分布函数与最小极值分布函数间的关系。令Z为n个随机变量中的最小者，记Fz（z）是Z的分布函数，则

Fz(z)＝P(Z≤z)＝1-P(Z﹥z)

P(Z﹥z)＝P[(X1﹥z)(X2﹥z)…(Xn﹥z)]

假设上式Xi之间是相互独立的，则有

所以

则

假如n个随机变量都具有同一分布函数F（z），则最小极值分布函数Fz（z）可表示为

Fz(z)＝1-[1-F(z)]n

对应的密度函数为(www.xing528.com)

常见的渐近极值分布函数有三种。

1.Ⅰ型极值分布函数

Ⅰ型极值分布函数又称耿贝尔（Gumbel）型极值分布函数，适用于取值在-∞～+∞之间的随机变量。研究表明，在n很大的极值情况下，指数型和正态型的母分布函数演化为Ⅰ型极值分布函数。

令ym是随机变量y中的一个，其密度函数fY（y）为最大，并令β﹥0为一常数，用来描述随机变量的分散程度，则有

式中，y≥-∞或者z≤+∞，β﹥0。

2.Ⅱ型极值分布函数

Ⅱ型极值分布函数又称Frecht型极值分布函数。如果限定在坐标轴的左半部的随机变量为零，当n很大时，最大极值分布将转向Ⅱ型。同理，如果限定在坐标轴的右半部的随机变量为零，当n很大时，最小极值分布转向Ⅱ型。

Ⅱ型极值的分布函数为

式中，y≥0，z≤0，β﹥0，m﹥0。

3.Ⅲ型极值分布函数

Ⅲ型极值分布函数又称Weibull型极值分布函数。若随机变量向右取到有限值1y，当n很大时，最大极值分布转向Ⅲ型。同理，随机变量向左取到有限值1y，当n很大时，最小极值分布转向Ⅲ型。

Ⅲ型极值的分布函数为

式中，y≤y1，y1≤z，β﹥0，m﹥0。

现给出一种Ⅲ型极值分布函数的特殊情况：

其对应的可靠度函数和故障率函数为

将故障率函数表示为

这种模型称为指数型故障模型。其密度函数和可靠度函数分别为