模态分析基础：线性定常系统的转换和解耦

模态分析是将线性定常系统的耦合物理坐标转换成非耦合的模态坐标，使方程组解耦，得到一组用模态坐标和模态参数来描述的独立方程，并求出模态参数。然后，用坐标变换，使模态坐标下的解转回到物理坐标的解。

对一个N自由度的线性定常系统建立物理方程组，表达为

式中，M、C、K分别是系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；X和F分别是系统的位移向量和激励力向量，分别表示为

方程（2-33）是用物理坐标表示的运动方程组。每个方程中都包含了各个点的物理坐标，它们是一组耦合方程。当系统的自由度很大时，求解这样一组耦合方程，难度非常大，甚至不可能。因此，必须将耦合方程变成解耦的、彼此独立的方程来求解，这样就必须进行一定的转换。这个转换是用模态坐标来代替物理坐标，以实现方程的解耦。

对方程（2-33）两边进行拉氏变换，得到

对时不变系统，s=jω，将之代入方程（2-36），得到

任何一点的响应可以表示为各阶模态的线性组合，例如，l点的响应可以表示为

式中，φ_lr是响应点l处的第r阶振型系数；q_r是第r阶的模态坐标。对N自由度系统，第r阶的振型系数阵列为

式中，φ_r表示第r阶的模态振型，被称为第r阶的模态向量。

将各阶模态向量组合在一起，形成一个矩阵，就得到系统的模态矩阵Φ，表达为

模态坐标q_r表示第r阶模态对响应的贡献量。将各阶模态坐标写在一起，形成模态坐标矩阵Q，表达为

通过模态矩阵，可以建立起物理坐标和模态坐标之间的关系，为(www.xing528.com)

将式（2-42）代入式（2-37）中，得到

车身结构的阻尼很小，可以认为系统的模态为实模态，阻尼为比例阻尼。式（2-43）两边分别乘以Φ^T，将物理坐标下耦合系统转换成在模态坐标下的解耦系统，模态坐标上的运动方程为

式中，M_r、K_r、C_r分别是模态坐标下的模态质量矩阵、模态刚度矩阵和模态阻尼矩阵，它们都是对角矩阵。

F_r（ω）是模态坐标下的激励向量，表达为

对于第r阶模态，式（2-44）表达为

式中，M_r、K_r和C_r分别是第r阶模态的质量、刚度和阻尼；f_mr为第r阶激励力，为

对于单点激励的情况，假设在p点激励，则式（2-35）为

式（2-50）中的模态力变成

将式（2-52）代入式（2-49）中，得到第r阶模态坐标的响应为

将式（2-53）代入式（2-38）中，得到l点的响应为

响应点l的位移对激励点p的激励力的频响函数为