郝尔西博士在讲课中将误差分为两类:一类是偶然误差,另一类是系统误差。这种分法具有一定的实际意义,便于考虑各种误差,但是从水文测验中观测的量多为随机变量考虑,看来应将总的测量误差分为3部分比较恰当,即由于被观测的量本身随机变化所引起的抽样误差,和观测时的偶然误差及系统误差。后两种误差是观测本身所产生,即由于仪器精度和观测人员所产生,可以通过改进仪器和提高观测人员的责任感来提高精度;前者却不是这样,只能靠增加抽样的数量、一般是靠增长测验历时来考虑。当被测验的量为确定的,例如河宽水深等则一般没有抽样误差,可见将抽样误差与测量误差分开后,对于如何将它们控制到最低程度是有好处的。
设以Z表示所测验的参数的真值W的测验值,U表示测验误差,则
W可以为确定量,也可以为随机变量;为一般起见,取其为随机变量,显然W和U可取为相互独立,并且U服从正态分布N(0,h),W且有数学期望m和方差σ2。由式(46)有
可见测验值的相对标准差,由母体的变差系数即一次抽样的相对标准差与测量的相对标准之和。对于n次独立抽样,它的算术平均值的方差为
变差系数为
式(49)、式(51)给出了总的测验误差与抽样误差和观测误差的关系,当W为确定量时,σ=0,此时观测误差就是测验误差;当h≫σ时,总的测验误差实际上只决定于抽样误差,需要指出的是对于流速测验、含沙量测验、推移质输沙率测验,基本上都满足h＞σ,因此要对抽样误差予以足够重视。
由于水文测验中被测验的参数大小都是一种时间连续的过程,此时取样历时的长短,本身就反映了n的大小,因此对于抽样误差,n不但决定于测验次数,而且还决定于每次的测验历时,但是对观测误差,则只决定于重复测验次数。设重复测验次数为n0,每次测验历时为T,它相应于n1次测验,并且n1次测验中的每次测验历时为Δt,则式(51)为
既然在水文测验中抽样误差常常占有相当的分量,几乎对整个测验误差起着决定作用,因此,研究一些被测验的参数的分布,即脉动规律,对于合理地布置测验就很重要了,现在以推移质输沙率的脉动问题为例,来说明其在测验中的应用。
根据作者关于泥沙运动统计理论的研究[4、5],得到了均匀沙以颗数计的输沙率服从爱尔兰分布,当n较大时即接近泊松分布,这个结果并被推广到不均匀沙,考虑到推移质测验观测误差(其中系统误差已通过仪器效率来改正),相对于抽样误差可以忽略,故总的测验误差几乎全部由脉动造成,现在将各种情况下的抽样的相对标准差举例如下,并给予适当说明。(www.xing528.com)
均匀沙输沙率的相对标准差为
其中
可称为当量直径,即用颗数与重量均相等的均匀沙来代替不均匀沙时所要求的直径。而PT,l为推移质级配,即第l组粒径的重量百分数,可见对于非均匀沙只要采用式(55)确定D,则有关均匀沙的全部结果均可推广过来。非均匀沙床沙级配固定的情况符合一般的砾石、粗、细沙河床。
对于卵石河床,不仅床沙很不均匀,而且级配变化也很大,因此需要考虑床沙级配为随机变量的情况。此时一次取样的相对标准差为
其中D仍由式(55)决定,而且Pl为床沙平均级配,PT,l为推移质平均级配,如为n次取样,并且满足nΔt=T,则相对标准差为
从式(56)和式(57)可以看出3点:第一,相对标准差由两项组成,根号中的第一项为由于床沙级配随机变化引起,第二项为在床沙级配固定条件下,由输沙率脉动引起;第二,单纯延长测验历时只能降低误差的第二项,只有重复取样次数,使床沙级配改变,才能同时降低第一、二两项;第三,在测验总历时相同的条件下,重复取样较之一次取样有较好的效果,这种好处是由床沙级配变化引起。
上述例子说明,即令是减少抽样误差,也不单纯是延长测验历时所能解决的。可见,掌握被测验的参数的脉动规律对控制精度是非常重要的。当然上面的讨论,是建立在式(54)、式(56)、式(57)等正确的基础上的。为了进一步摸清这点,曾利用宜昌水文站卵石推移质脉动试验资料验证了式(57)(表1)。据该站两次资料,一次取样历时3min的相对标准差实测的为1.23、1.33,而计算的为1.32、1.18,可见两者基本是符合的,从这个例子还可以看出卵石推移质脉动的强烈程度。
表1 推移质脉动引起的误差
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