带导线的悬索曲线：关键理论研究

用流速仪测流时,除采用无线测流外,常常要附一根导线,如果导线均匀地附着悬索上(例如用多个铁环套于悬索上就如此),则前面的结果对此时的悬索曲线仍然适用。但是如果导线不与悬索曲线联结,而只是将其下端固定于铅鱼上,则此时的悬索曲线将与设有带导线的悬索曲线有一定的差别,而且还与导线的形状有关。下面将专门研究导线下端固定于铅鱼的悬索曲线,并且为简便起见,将这种曲线简称为带导线的悬索曲线。

要研究带导线的悬索曲线,首先必须研究导线曲线。为了尽可能少地使导线承受铅鱼的重力,一般是将其放松,此时的位置和形状见图10。以下将有关符号的右上角加两撇表示导线曲线上的参数,而D'则表示导线的直径,图10和图11考虑导线mc段力的平衡,则有

图10　导线受力示意图(一)

图11　导线受力示意图(二)

其中R″c,x可以为正或为负。为正表示R″c,x与水流方向一致(图10);为负表示R″c,x与水流方向相反(图11)。它们将影响tanαc的正负,这与图8类似,但是不直接影响下述导线的式(52)、式(53)。注意到式(5)及导线在铅鱼处的斜率

则

令η=0,则

由此解出

再代入式(50),遂有

经过与式(13)类似的推导,得到曲线的坐标方程

将其与悬索曲线的坐标方程对比后,可见两者是完全类似的,差别在于悬索曲线在铅鱼处的斜率为Φ2(η)tanα0,而导线在铅鱼处的斜率为tanα″c。

另外,由于导线的存在,使铅鱼重力减少R″c,y(图12),悬索阻力增加(图10)或减少(图11),相应的R″c,x、R″c,y可以为正,也可以为负。当R″c,x与水流方向一致,它为正;反之,R″c,x为负。考虑图13中mc段力的平衡,仿照前面的推导,对于悬索曲线有

此处x',P'1等加下角标“1”表示带导线悬索曲线的有关参数,当η=0及η=ηc时,式(54)给出

由此得

图12　导线对悬索受力的影响

图13　带导线的悬索曲线的受力分析

其代入式(54)及式(56)后遂有

在y=0,x=0;y=y,x=x的条件下,积分式(57)得

比较式(57)、式(58)与式(8)、式(13),可见带导线与不带导线悬索曲线的差别仅在于铅鱼处斜率不同。但是需要指出的是,式(52)、式(53)中的tanα″c及式(57)、式(58)中的tanα″c暂时是未知的,必须进一步为它们补充方程。显然当η=ηc时,由于导线的下端点及悬索的下端点均联结在铅鱼上故应有x″c=x'c。这样由式(53)及式(58)得(www.xing528.com)

此时仍有两个未知数tanα″c、tanα'c,但是只有一个方程,仍需要补充一个。由图10知,如考虑全部水下导线受力情况[图中m(x″,y)=m(0,0)],有下述关系

注意到式(49),则式(62)变化为

另一方面,由式(55)可知,全部悬索的阻力(注意到此时η=0)

仿照式(2),全部导线的阻力为

注意到式(7),则铅鱼的阻力与重力之比为

将其代入式(65),则有

再将式(67)、式(63)、式(49)代入式(60),则有

令

则由式(70)解出R″c,x得

再将式(71)代入式(49),则有

将式(71)、式(72)、式(66)代入式(56),并简化得

由式(73)及式(59)消去tanα'c,有

这样当α″、α'、α0、ηc、k1、μ3等已知后,即可利用上述二次方程求出μ2,再从式(73)求出tanα'c。从而悬索曲线方程式(57)、式(58)完全确定。

现在研究一种特殊情况,tanα'=tanα″即μ1=1。此时由式(59)得到,tanα'c=tanα″c这样,注意到式(68)、式(69)后,此时式(74)式为

此时必有

也就是说,如果α″=α,则α″c=α'c并且满足式(75),这正是导线与悬索曲线完全重合的情况。需要注意的是,两者重合的条件只是α″=α',而与μ3或D″、D等无关,这恰好证明了前面提到的,只要两者重合,则带导线的悬索的曲线方程仍然与不带导线的完全一致。事实上将式(75)代入式(57)后,则它与式(8)完全一致。

图14　带导线悬索曲线示意

为了对带导线的悬索曲线有印象,在图14中还给出了α'=60°、α″=70.89°、μ1=0.6、k1=0.85、ηc=1.0、α0=5°、μ3=0.5的悬索及导线曲线,此时求出的其他参数μ2=-0.2253,α'c=9.95°,α'c=arctan[μ2tanα′]=-33.0°,从该图可以看出,由于导线放松,α'c已为负值,并且此时因为导线的作用,减轻了铅鱼重量,同时给它以向水流方向的推力,从而使悬索曲线向下游游动,特别是加大了α0[如果没有导线,则tanαc=Φ2(ηc)tanα0=0.0265,即αc=1.52°]。所有这些,将使悬索曲线的相对改正数加大,下面对此还要进一步说明。