《压力计原理证明》-水文测验若干理论问题研究

“压力计”的原理本来很简单,都知道是利用连通管的道理而设计的。但是,如果仅仅只从连通管道理,即静水压力平衡的道理来证明它,则是很不严格的,而且在概念上也会很含糊。事实如下。“压力计”分析时,将水样倾入沉降管1后,测压管2的水面即迅速上升至平衡为止。由于管1的液体容重γ,比管2的液体容重γ0(一般为清水容重)大,因此管2的液面总较管1高,以后由于颗粒下沉,管2的液面便随着降低。研究沉降过程的任一瞬间,这时现象见图1,显然按照连通管原理有

即

其中H、H'为连通口以上管1和管2的液面高度,则

图1

另一方面,连通口以上沉降管中的浑水容重γ显然为

式中:V为沉降管连通口以上浑水体积;VS为其中泥沙体积;P为其重量;γ0(V-VS)为连通口以上沉降管中清水重量。

将式(2)代入式(1)得

如果认为H不变(即V不变),即不考虑到由于体积平衡缘故,侧压管液面的降低所引起沉降管液面的升高,那么可断定,沉降管连通口以上的沙重与测压管液面的超高成正比(对于该管最低液面的高差,即H'-H;因为既然不考虑体积平衡,必有H'最低等于H。)。但是在实际上,测压管和沉降管截面积的相差倍数是有限的,故体积平衡不可忽略,于是上述论断能否成立,就要打问号了。那么,自然也就不能使得测压管液面的相对降低数,正好等于“大于某粒径”的沙重百分数。正是由于这种现象,曾有人就认为体积平衡的不可忽略,是“压力计”理论误差。(例如,北京大学化学系1956年“分散体系的物理化学”讲稿就是这样认为的,见该讲稿第一部分167～170页)。据说,在1918年国外就曾提出过的类似的“压力计”的分析方法,所以没能推广,与上述的“理论误差”有重大关系。

当然,“压力计”分析是不存在上述所谓“理论误差”。而推演的不严格和结论的错误,正是由于没有考虑体积平衡,而单纯从压力平衡角度来处理的结果。下面将同时考虑这两个因素,来严格地阐明“压力计”原理。

图2

如图2中考虑在沉降中的任意时刻,这时两管的液面见图2中实线。起始时刻(即在第一颗沙落过连通口的前一瞬间)两管液面见图2中虚线,管2的液面在最高值。在连通轴线以上管1的压力变化为Hγ始-γ(H+ΔH),其中第一项为起始时刻的压力,γ始为起始时刻液体的容重,第二项为所考虑时刻的压力,γ为所考虑时刻的容重。上述γ始、γ均为在连通口以上,整个管内的平均容重。与起始时刻相比,在连通口轴线上管2的压力变化为γ0λ,显然按照压力平衡有

对于γ,仍可用式(2)决定,不过应该记住这时的V为ω1(H+ΔH),于是

式中的ω1为管1的截面积,将式(5)代入式(4),遂有

另一方面,如果考虑到体积平衡,则有(www.xing528.com)

即

式中:ω2为管2中的截面积。

将ΔH代入式(6),并就λ解之,得

观察式(8)知,对于某一次分析,公式右端只有P是变数,也就是说λ=f(P),并且这个函数关系是线性的。

在最终时刻,这时所有的泥沙都落在连通口以下的,显然测压管达到最低值,或者其液面下降值最大,即有λ=λm,既然,连通口以上无泥沙,那么其重量P=0,这样,按照式(8)有

在起始时刻,则有λ=0,P=Pm。这里Pm为全部水槽中泥沙重量,这时按照式(8),有

考虑到上式左端第二项恰等于λm,故可写成

将式(9)λm与式(10)Pm引入式(8)后,这时可大大简化,即

λm-λ为任意时刻的测压管面与最终液面之差。其意义为:某一时刻测压管液面与最终液面之差,比上液面总降低数,刚好等于“小于某粒径”沙重的百分数。如果以H'表示测压管液面在任意时刻对某一基面的高程,H'表示该管在初始高时刻液面的高程,那么

这样式(12)又可写成

在实际应用中,一般正是按照上述计算沙重百分数的,例如长江流域规划办公室汉口泥沙试验室便是这样。

式(11)～式(13)便是经过严格证明的“压力计”工作原理。这里应该指出,上列三式虽然是对竖直测压管建立的,但对倾斜测压管仍然有效,不过这时的λ和H'均为沿倾斜方向数字。由此可见,“压力计”分析不仅不包含原理误差,而且是有理论根据的,既然这样,上边提到的,单从压力平衡角度而推演,有人就得出存在理论误差的结论只不过是一种错觉,事实上,由式(13)直接看出。此处已证明了测压管液面超高(Hm-H)与沉降管连通口以上沙重成正比。

可能有人会怀疑,认为在推导中考虑压力平衡时只就水静力学观点来处理,而未顾及到毛细张力,那么会不会因此影响结论的正确性。答复是肯定的,这是因为当温度、管径、液体等因素一定时,毛细张力升高都是一个常数并不变化,考虑与否,不妨碍结论正确性。