解决坡钦诺脱问题的新方法

用后方交会法,根据3个已知点确定1个未知点平面位置的问题,即所谓坡钦诺脱的问题,对于水文测站有重要的意义。在用两架六分仪确定测点位置时,在用平板仪施测地形借三已知点定圆板位置时,都要碰到它,特别是遇到了需要确定标志物—水尺、水准点、其他基点—位置而用经纬仪施测的情况下,则更显出了它的价值,这时能以少的代价换取准确的结果。众所周知,对于用平板仪和六分仪施测,用图解法(包括器械法)解三点题,是能满足要求和省事的,但是对于需要得出其准确的结果而以经纬仪施测情况下,图解法就存在不足了,这时需要采用分析法。鉴于这种情况,同时考虑到以往的分析法(见奥尔洛夫著《测量学教程》下册,及《人民长江》1957年1号《坡钦诺脱法后方交会点的计算》一文)的繁杂,下面拟提出一种新的、简单的方法。

如图1,解三点问题的本质在于由已知的三角形ABC及α、β两个角,而求P点坐标。在解算时,遵循这样的步骤,先求出A1角,其次计算边CP,然后求得CP方向角及P点坐标,然后,求A1角,因为已知的关系间接和隐晦以及计算时无普遍公式,为了求出A1,根据P点的位置,把3个点问题分为3种情形;见图1～图3。下边将导出每种情况求A1角的公式。

图1

图2

图3

第一种情况(图1),按图可列出

则

另一方面有

于是

将式(7)代入式(6)得

以上式除以sinA1,整理后得

A1角的范围在0～π间,因此k不可能为负值,也不可能大于1,而只允许为0或1,当k=1时,arccotA1为负,当k=0时,arccotA1为正。于是,应该这样决定k:当arccotA1为正,取k=0;反之,取k=1。根据这个法则,可以很容易由式(9),得出唯一的A1值。

第二种情况(图2):这种情形跟第一种相仿,可以先就CP列出两个正弦定理的方程式,取其相等得

另一方面有

将式(11)代入式(10)得

即(www.xing528.com)

式(12)中k的决定,仍按第一种情况的方法。

第三种情况(图3):在这种情形下,推导要麻烦些。现在仍然按先列出

在图3中,为了计算方便,我们仍然令A、C表示已知三角形的两角,遂有

代入式(13),并展开得

另一方面,由图3知

将式(15)及式(16)分别代入式(14),并除以sinA1,整理后得

于是

用与上面相同的方法,可确定k的数值。

根据测量的具体情况,用式(9)、式(12)、式(17)中的任一式确定了A1值时,整个计算工作实际上已完成了一大半,其余的就相当容易了,此时先求CP

或者如第三种情况

其次确定CP的方向角,则

最后推出象限角R,而用众所熟知的方法求P点坐标X和Y

式中:XC、YC为C点坐标。

【注释】

[1]本专题原载于1957年《水文工作通讯》。