建筑工程测量-4.2.1点平面位置测定

在实际工程中,确定地面点的平面坐标的工作称为点的平面位置测定。通过项目1的学习可以知道:要确定地面上某点的高程值,并不是直接测量该点到大地水准面的铅垂距离,而是通过测量该点与一已知高程点间的竖向高差,进而推算出待测点的高程。同理,测定地面点的平面坐标,也是通过测量待测点与已知坐标点间的平面位置关系,进而推算出该待测点的平面坐标。下面介绍两点之间平面位置关系与坐标之间的推算方法。

4.2.1.1 坐标正、反算

1.坐标正算

根据已知点的坐标、已知点与待测点的水平距离及已知点与待测点连线的坐标方位角,计算待测点的坐标,称为坐标正算。

如图4-8所示,A点的坐标(xA,yA)为已知,测得直线A、B的水平距离DAB和坐标方位角αAB,则未知点B的坐标为

式中,ΔxAB、ΔyAB称为坐标增量,也即直线两端点A、B的纵、横坐标值之差。在图4-8中,根据三角原理,可得坐标增量的计算公式为

图4-8 坐标正算

由式(4-9)和式(4-10)可得

2.坐标反算

根据两个已知点的坐标求算两点之间的水平距离和两点连线的坐标方位角,称为坐标反算。

如图4-8所示,设A、B为两已知点,其坐标分别为A(xA,yA)、B(xB,yB)。根据三角形原理,可得A、B两点的水平距离及所连直线的坐标方位角的计算公式如下:

应该注意,坐标方位角的角值范围为0°~360°,而根据式(4-13)使用计算器计算反三角函数的角值范围为-90°~90°,两者是不一致的,可根据坐标增量ΔxAB、ΔyAB的正负画图确定其坐标方位角。

如果先计算出坐标方位角,还可按下式计算水平距离DAB:

在导线与已知高级控制点联测时,一般应利用高级控制点的坐标,反算出高级控制点之间的坐标方位角或边长,作为导线的起算数据与校核参量;另外,在施工放样前,也要利用坐标反算求出放样数据。

想一想:要确定地面上某点的平面坐标,应测量哪些量?如何实施?

4.2.1.2 点的平面坐标测定

点的平面坐标测定方法很多,在实际测量中要根据实际情况选择。

1.极坐标法(导线法)

如图4-9所示,点A、B为已知点,坐标分别为A(xA,yA)、B(xB,yB),点C为待测点。通过观测水平角α(左角或右角)及已知点A与待测点C之间的距离DAC,计算待测点C坐标的方法称为极坐标法(导线法)。用该方法计算待测点平面坐标的步骤如下:

(1)计算已知点连线的坐标方位角(αAB)。由前面的坐标反算知识可得

图4-9 极坐标法定点

(2)计算已知点与待测点连线的坐标方位角(αAC)。

当为左角时:

当为右角时:

(3)计算待测点的坐标。由坐标正算知识可得未知点(点C)坐标为

2.角度交会法

角度交会法又可分为前方交会法、侧方交会法和后方交会法。这里介绍前方交会法。

如图4-10所示,点A、B为两相邻已知点,坐标分别为A(xA,yA)、B(xB,yB),点C为待测点。通过观测角α和角β,计算待测点C的平面坐标的方法称为前方交会法。用该方法计算待测点平面坐标的步骤如下:

(1)计算两已知点之间的距离及其坐标方位角。根据坐标反算知识有

(2)计算待定边边长和已知点与待测点连线的坐标方位角,由正弦定理有

坐标方位角按下式计算:

(3)计算待测点坐标。按照坐标正算法,由已算得的待定边边长及相应的坐标方位角,分别从已知点A和B计算待测点C的坐标:

以上两组坐标可相互检核,经过化算可以直接得到计算待测点C的坐标公式。其计算公式如下:

3.距离交会法

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图4-10 角度交会法定点

如图4-11所示,点A、B为两已知点,坐标分别为A(xA,yA)、B(xB,yB),点C为待测点。通过观测两已知点与待测点之间的距离DAC与DBC,计算待测点C的坐标的方法称为距离交会法。用该方法计算待测点平面坐标的步骤如下:

(1)计算两已知点之间的距离及其坐标方位角。根据坐标反算知识有

图4-11 距离交会法定点

(2)计算以两已知点为顶点的角值(∠A或∠B)。根据余弦定理有

(3)计算已知点A与待测点C连线的坐标方位角。

(4)计算待测点坐标。按照坐标正算法,由已观测的边长以及相应的坐标方位角,分别由已知点A和点B计算待测点C的坐标:

以上两组坐标可相互检核。

4.支距法

如图4-12所示,点A、B为两已知点,坐标分别为A(xA,yA)、B(xB,yB),CG⊥AB,垂足为G,点C为待测点。通过观测点A与点G之间的距离DAG及点G与点C之间的距离DGC,计算待测点平面坐标的方法称为支距法。用该方法计算待测点平面坐标的步骤如下:

(1)计算∠CAG及已知点A与待测点C之间的距离DAC,在直角三角形CAG中有

(2)计算两已知点连线的坐标方位角αAB。根据坐标反算知识有

(3)计算已知点A与待测点C连线的坐标方位角αAC。

(4)计算待测点坐标。由前面计算的边长DAC及坐标方位角αAC,按照坐标正算法,计算待测点C的坐标:

图4-12 支距法定点

5.偏角法

如图4-13所示,点A、B为两已知点,坐标分别为(XA,YA)和(XB,YB),点C为待测点。通过观测∠A和已知点B与待测点C间的距离DBC,计算待测点坐标的方法称为偏角法。用该方法计算待测点平面坐标的步骤如下:

(1)计算两已知点间的距离DAB。根据坐标反算知识有

图4-13 偏角法定点

(2)计算三角形中另外两个值(∠C与∠B)。由正弦定理有

(3)计算已知点A与待测点C之间的距离DAC。

由正弦定理有

(4)计算已知点A与待测点C连线的坐标方位角αAC。

(5)计算待测点坐标。由前面计算的边长DAC及坐标方位角cosαAC,按照坐标正算法,计算待测点C的坐标:

6.直线交会法

如图4-14所示,点A、B、E和F为4个已知点,点C为直线AE与直线BF的交点,由4个已知点推算交点C的坐标的方法称为直线交会法。用直线交会法计算交点C的过程如下:

对直线AE:

因点C在直线AE上,由直线方程可得

同理,对直线CF有

将点A、B、E、F四点坐标代入式(4-48)和式(4-49),得到关于点C坐标的两个方程,联立方程可解得点C的坐标。

在测量中要根据实际情况及精度要求选择合适的方法。