要确定空间中一个点的位置,需要明确其竖向位置与平面位置。
如图4-1(a)所示,在笛卡儿平面直角坐标系中,任意一个点都有其对应的平面坐标,即一个点的平面位置可用其平面坐标来表示。在工程测量中,也可用平面直角坐标系中的平面坐标来表示点的平面位置。
图4-1 笛卡儿平面直角坐标系与测量平面直角坐标系
1.独立测区的平面直角坐标系
《城市测量规范》(CJJ/T 8—2011)规定,面积小于25 km2的城镇,可以将水平面作为投影面,地面点在水平面上的投影位置可以用平面直角坐标表示。如果坐标系的原点是任意假设的,则称为独立的平面直角坐标系。
如图4-1(b)所示,在独立的平面直角坐标系中,规定南北方向为纵坐标轴,记作x轴,x轴向北为正,向南为负;以东西方向为横坐标轴,记作y轴,y轴以向东为正,向西为负。象限次序按顺时针方向排列,如图4-1所示。这样编号是为了在测量计算中直接应用数学公式,而不需要作任何变换。为了避免测区内各点的坐标出现负值,通常将坐标原点O选择在测区的西南角上,使地面各点都投影于第一象限内。
独立的平面直角坐标系与数学中的笛卡儿平面直角坐标系相似,要注意它们在坐标轴及象限编号顺序等方面的区别。上面所述的平面直角坐标系是当测区的范围较小,能够忽略该区地球曲率的影响而将其当作平面看待时,在此平面上建立独立的直角坐标系。对于大范围来说,不能将地面看成平面。
小区域的平面直角坐标系与本地区统一坐标系没有必然的联系,所以称为独立的平面直角坐标系,也称为假定平面直角坐标系。如有必要,可通过与国家坐标系联测而将其纳入统一坐标系。
2.高斯平面直角坐标系
当测区范围较大时,要建立平面坐标系,就不能忽略地球曲率的影响,为了解决球面与平面这对矛盾,必须采用地图投影的方法将球面上的大地坐标转换为平面直角坐标。
(1)高斯投影。目前我国采用的是高斯投影,高斯投影是由德国数学家、测量学家高斯提出的一种横轴等角切椭圆柱投影,该投影解决了将椭球面转换为平面的问题。从几何意义上看,就是假设一个椭圆柱横套在地球椭球体外并与椭球面上的某一条子午线相切,这条相切的子午线称为中央子午线。假想在椭球体中心放置一个光源,通过光线将椭球面上一定范围内的物象映射到椭圆柱的内表面上,然后将椭圆柱面沿一条母线剪开并展成平面,即获得投影后的平面图形,如图4-2所示。
图4-2 高斯投影
由图4-2(b)可以看出,该投影的经纬线图形有以下特点:
1)投影后的中央子午线为直线,无长度变化。其余的经线投影为凹向中央子午线的对称曲线,长度较球面上的相应经线略长。
2)赤道的投影也为一直线,并与中央子午线正交。其余的纬线投影为凸向赤道的对称曲线。
3)经纬线投影后仍然保持相互垂直的关系,说明投影后的角度无变形。
高斯投影没有角度变形,但有长度变形和面积变形,距离中央子午线越远,变形就越大,为了对变形加以控制,测量中采用限制投影区域的办法,即将投影区域限制在中央子午线两侧一定的范围内,这就是所谓的分带投影,如图4-3所示。投影带一般可分为6°带和3°带两种,如图4-4所示。
图4-3 分带投影
图4-4 6°带和3°带投影(www.xing528.com)
6°带是从英国格林尼治起始子午线开始,自西向东,每隔经差6°分为一带,将地球分成60个带,其编号分别为1、2、…、60。每带的中央子午线经度可用下式计算:
式中 n——6°带的带号。
6°带的最大变形在赤道与投影带最外一条经线的交点上,长度变形为0.14%,面积变形为0.27%。
已知某点大地经度L,可按下式计算该点所属的带号:
3°带是在6°带的基础上划分的。每3°为一带,共120带,其中央子午线在奇数带时与6°带中央子午线重合,每带的中央子午线经度可用下式计算:
式中 n'——3°带的带号。
3°带的边缘最大变形现缩小为长度的0.04%、面积的0.14%。
我国领土位于东经72°~136°,共包括11个6°带,即13~23带;22个3°带,即24~45带。例如,贵州贵阳的经度为106.6°,位于6°带的第18带,中央子午线经度为105°,位于3°带的第36带,中央子午线经度为108°。
(2)高斯平面直角坐标系的建立。通过高斯投影,将中央子午线的投影作为纵坐标轴,用x表示,将赤道的投影作为横坐标轴,用y表示,两轴的交点作为坐标原点,由此构成的平面直角坐标系称为高斯平面直角坐标系,如图4-5所示。对应于每一个投影带,就有一个独立的高斯平面直角坐标系,区分各带坐标系则利用相应投影带的带号。
在每一投影带内,y坐标值有正有负,这对计算和使用均不方便,为了使y坐标都为正值,故将纵坐标轴向西平移500 km(半个投影带的最大宽度不超过500 km),并在y坐标前加上投影带的带号。如图4-5中的A点位于18°带,其自然坐标x=3 395 451 m,y=-82 261 m,它在18°带中的高斯通用坐标x=3 395 451 m,y=18 417 739 m。
图4-5 高斯平面直角坐标
3.建筑平面直角坐标系
在建筑工程中,为了便于对建(构)筑物平面位置进行施工放样,将原点设在建(构)筑物两条主轴线(或其平行线)的交点上,并以其中一条主轴线作为纵轴,顺时针旋转90°作为横轴,这样建立的一个平面直角坐标系称为建筑平面直角坐标系。
利用建筑平面直角坐标系测量前,需要先将施工场地内已知控制点的绝对平面坐标转换成假定的建筑坐标。建筑平面直角坐标系和高斯平面直角坐标系的互换:这两种坐标系的相同点是二者都是直角坐标系,不同的是它们的原点位置不同(有平移),以及坐标轴之间存在一个夹角(有旋转),根据二者间的平移与旋转关系,可以进行两种坐标系之间的互换。建筑平面直角坐标的建立方法及不同坐标之间的转换在项目5中有介绍。
4.大地坐标系
以参考椭球面为基准面,地面点沿椭球面的法线投影在该基准面上的位置,称为该点的大地坐标。该坐标用大地经度和大地纬度表示。地面上某P点的大地子午面与起始大地子午面所夹的两面角就称为P点的大地经度,用L表示,其值可分为东经0°~180°和西经0°~180°。过点P的法线与椭球赤道面所夹的线面角就称为P点的大地纬度,用B表示,其值可分为北纬0°~90°和南纬0°~90°。
我国的1954年北京坐标系和1980年国家大地坐标系就是分别依据两个不同的椭球建立的大地坐标系。2008年7月1日,我国启用2000年国家大地坐标系(China Geodetic Coordinate System 2000)。
2000年国家大地坐标系采用广义相对论意义下的尺度,是全球地心坐标系在我国的具体体现,其原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心,z轴由原点指向历元2 000的地球参考极的方向,该历元的指向由国际时间局给定的历元为1984的初始指向推算,定向的时间演化保证相对于地壳不产生残余的全球旋转,x轴由原点指向格林尼治参考子午线与地球赤道面(历元2000)的交点,y轴与z轴、x轴构成右手正交坐标系。我国北斗卫星导航定位系统即使用该坐标系。
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