荷载横向分布计算方法总结

1.荷载横向分布系数的概念

对多主梁桥，荷载横向分布（live load lateral distribution）指作用在桥上的车辆荷载如何在各主梁间进行分配，或者说各主梁如何共同分担车辆活载。

干线铁路的简支梁通常由两片主梁组成，线路轨道对称于桥中心布置，桥上恒载也对称于桥中心，因此，在主梁内力计算中，可以将桥梁恒载和桥上列车活载平均分摊给两片主梁。在计算主梁最大内力时，只需考虑活载沿跨度方向的最不利位置，主梁的内力计算可以简化成平面问题。

在公路梁桥结构中，由于桥面较宽，主梁片数较多并与桥面板和横隔板联结在一起。当桥上车队处于横向不同位置时，各主梁参与受力的程度不同，由于结构受力和变形的空间性，精确求解这种结构的内力需借助空间计算理论。

由于实际结构的复杂性，对这种空间计算问题进行精确求解较为困难。广泛采用的方法是将复杂的空间问题合理地简化成简单的平面问题来求解。

如图5.47所示，如果直接求解图5.47（b）结构中某片主梁上a点的截面内力或挠度，可以借助空间理论分析所得的影响面。若采用双值函数η（x，y）来表示结构上a点截面的内力影响面，则该截面的内力值S可表示为荷载与相应影响面竖标值（沿z轴的数值）的乘积：

S=P ·η(x,y)

假若将影响面函数η（x，y）近似分解成两个单值函数的乘积，即η1（x）η2（y），则对某根主梁的某一截面的内力值就可近似表示为：

式中，η1（x）表示平面意义上的某一片梁的某一截面的内力影响线，若将η2（y）看作单位荷载沿横向作用在不同位置时对某梁所分配的荷载比值的变化曲线（也称作对某梁的荷载横向分布影响线），则当P 作用在a（x，y）点时，沿横向分配给该梁的荷载为P′=P　·　η2（y）。这样，就可完全像图5.47（a）所示平面问题一样，求得某梁上某截面的内力值。将空间问题简化成平面问题，将相互横向连接的主梁体系离散为单梁，并引入荷载横向分布影响线推算各梁分担的荷载，这就是利用荷载横向分布来计算多主梁结构内力的基本原理。

下面进一步阐述荷载横向分布系数的概念。图5.48（a）表示桥上作用有一辆前、后轴各重P1和P2的汽车荷载，相应的轮重为P1/2和P2/2。如欲求③号梁k点的截面内力，则可先借助③号梁的荷载横向分布影响线η2（y）（计算方法见后述），按最不利加载原则求出横向各轮重分配给该梁的总荷载（对前、后轴重分别进行）；然后借助单梁 k点截面的内力影响线η1（x），用各个总荷载来计算 ③号梁该截面的最大内力值。在设计中，通常用一个表征和量化荷载横向分布程度的系数 m 与轴重 Pi的乘积来表示计算的总荷载，因此，前、后两排轴重分配给 ③号梁的总荷载可分别表示为 m1P1和 m2P2（图5.48（b））。这个 m 就称为荷载横向分布系数，它表示某片主梁所分担的总荷载与轴重Pi的比值（通常小于1）。

图5.47　多主梁桥的内力计算

图5.48　车轮荷载的横向分布

荷载横向分布系数与各主梁之间的横向联系有直接关系。图5.49表示由5片主梁组成的梁桥在跨中承受荷载 P 的横截面。图5.49（a）表示主梁与主梁间没有任何横向联系，此时若中梁承受集中力 P 作用，则全桥只有直接承载的中梁受力，其他各主梁不受力，也就是说，中梁的荷载横向分布系数m＝1，其他各梁的m＝0。

再看图5.49（c）的情况。如果借助于横隔梁将各主梁相互刚性连接，并且设想横隔梁的刚度趋于无穷大（EIH→∞），则在同样的荷载P作用下，由于横隔梁无挠曲变形，因此所有5片主梁将共同参与受力。此时各梁的挠度均相等，荷载 P 将由各梁均匀分担，每梁只承受 P/5，也就是说，各梁m＝1/5。

通常，对于钢筋混凝土或预应力混凝土多主梁桥，实际构造情况是：各梁虽通过横向结构连为整体，但是横向结构的刚度并非无穷大。因此，在荷载 P 作用下，各片主梁将按照某种规律变形（如图5.49（b）），此时中梁的挠度wb必然小于wa、而大于 wc。设中梁所受的荷载为mP，则其荷载横向分布系数m也必然小于1而大于1/5。

图5.49　不同横向刚度下主梁的受力和变形

由此可见，多主梁桥荷载横向分布的规律与结构的横向连接刚度有着密切关系，横向连接刚度越大，荷载横向分布作用越显著，各主梁所分担的荷载也越趋于均匀。

2.荷载横向分布的计算方法

为了使荷载横向分布的计算结果能更好地反映横向结构不同的梁桥的实际内力分布，就需要针对不同的横向结构，采用不同的简化模型和相应的计算方法。常用的荷载横向分布计算方法有：

·杠杆原理法。

·刚性横梁法。

·修正的刚性横梁法。

·铰结板（梁）法。

·刚结板（梁）法。

·比拟正交异性板法（又称 G-M 法）。

上述各种实用计算方法所具有的共同特点是：从分析荷载在桥上的横向分布出发，求得各梁的荷载横向分布影响线，再通过横向最不利加载来计算荷载横向分布系数 m。

限于篇幅，这里只介绍杠杆原理法和刚性横梁法。掌握了这两种方法，读者就可以进行常规的中、小跨度简支梁桥的荷载横向分布计算，并且从中了解在梁桥荷载横向分布计算中需要注意的问题。关于其他方法，读者可参阅有关书籍。

（1）杠杆原理法

杠杆原理法的基本假定是：忽略主梁之间横向结构的联系，并假设桥面板在主梁上断开，把桥面板视作横向支承在主梁上的简支板或带悬臂的简支板。

图5.50（a）所示为桥面板直接搁置在 Ⅰ 形主梁上的装配式桥梁。当桥上有车辆荷载作用时，作用在左边带悬臂的简支板上的轮重 P1/2只传递至①号和②号梁，作用在中间简支板上的轮重 P1/2只传递给②号和③号梁（见图5.50（b））；这也就是说，各主梁相当于板的支承，板上的轮重 P1/2各按计算简支梁反力的方式分配给左右两片主梁；而反力 Ri的大小只需利用静力平衡条件即可求出，即通常所说的“杠杆原理”。如果主梁所支承的相邻两块板上都有轮重作用，则该梁所分配的荷载是相邻两块板上所有轮重产生的支承反力之和，如图5.50（b）中②号梁所分担的荷载为。

图5.50　杠杆原理法的计算图式

为了求主梁所承受的总荷载，需先确定荷载横向分布影响线，对图5.50所示情况，它也就是各主梁的反力影响线。在确定了各片主梁由单位荷载产生的荷载横向分布影响线后，就可按最不利原则布置各种单位活载（如车辆荷载、人群），求得相应的横向分布系数m0q和m0r，如图5.51（a）中所示。各横向分布系数的计算公式为：

式中　η——与轮载或人群荷载的线集度对应的影响线竖标值。

采用杠杆原理法计算时，应当计算几片主梁的横向分布系数，以便确定分配荷载最大的主梁，以其计算内力作为设计依据。

对于图5.51（b）所示的双主梁桥，采用杠杆原理法计算荷载的横向分布是足够精确的。

铁路桥梁设计中，将活载平均分摊给两片主梁承担，实际上就是采用杠杆原理法计算荷载横向分布。

图5.51　按杠杆原理法计算荷载横向分布系数

对于常规的T梁桥，不论跨度内有无中间横隔梁，当桥上荷载沿桥轴方向作用在靠近梁端支点处时（例如在计算梁端剪力时），荷载的绝大部分将通过相邻的主梁直接传至墩台。从集中荷载直接作用在端横隔梁上的情形来看，尽管端横隔梁将几片主梁连为一体，但由于可不考虑支座的弹性压缩和主梁本身的微小压缩变形，显然荷载将主要传至两个相邻的主梁支座，即连续横隔梁的支点反力与多跨简支梁的反力相差不多。因此，在实践中人们习惯偏于安全地用杠杆原理法计算荷载位于靠近主梁支点时的横向分布系数。

（2）刚性横梁法

在混凝土简支桥跨结构上，除了在梁的两端设置横隔梁外，通常在跨中，甚至跨度的1/4处，也设置中间横隔梁，这样可以增加整体性，加大结构的横向刚度。根据试验结果和理论分析，在具有可靠横向联结的桥上，且在桥的宽跨比 B/l 小于0.5的情况时（一般称为窄桥），车辆荷载作用下中间横隔梁的弹性挠曲变形同主梁的变形相比微不足道。也就是说，中间横隔梁像一根刚度无穷大的梁一样保持直线的形状，如图5.52所示。这就是采用刚性横梁法计算荷载横向分布的基本前提，因为假定横隔梁无限刚性，所以称之为“刚性横梁法”。图中 wi表示跨中各片主梁的竖向挠度。从桥上受载后各主梁横向的变形（挠度）规律来看，它类似于材料力学中杆件偏心受压时截面应力的分布情况。

图5.52　具有刚性横梁的梁桥变形

根据上述前提和假定，分析作用在跨中的集中荷载对各片主梁的横向分布情况。

① 偏心荷载P作用下各片主梁所分担的荷载。从图5.52中可见，在偏心荷载 P 作用下，由于各片梁的挠曲变形，刚性的中间横隔梁从原来的cd位置变位于c′d′位置，呈一根倾斜的直线；靠近P的1号边梁的跨中挠度w1最大，远离P的5号边梁的w5最小（也可能出现负值），其他各梁的跨中挠度均按c′d′线呈直线规律分布。在弹性范围内，某片主梁所分担到的荷载 Ri是与该荷载所产生的弹性挠度 wi成正比的，所以，1号边梁分担的荷载最大，5号边梁分担的荷载最小（也可能承受反向荷载）。由此可以得出结论：在中间横隔梁刚度相当大的窄桥上，在沿横向偏心布置的活载作用下，总是靠近活载一侧的边梁受载最大。

为了计算1号边梁所分担的荷载，现在考察图5.53所示的单位偏心荷载 P=1（偏心距为 e，即P=1至截面中心点o的距离）作用在跨中左边1号边梁梁轴上时的荷载分布情况。假定各片主梁的抗弯惯性矩 Ii是不相等的。显然，对于中间横隔梁近似刚性的结构，图5.53（a）的荷载可以用中心荷载P＝1和偏心力矩M＝1·e来替代，如图5.53（b）所示。因此，只要分别求出上述两种荷载作用下（图5.53（c）和（d））对于各主梁的作用力，并将其叠加，便可得到偏心荷载P＝1对各片主梁的荷载横向分布。

图5.53　偏心荷载P＝1作用下各主梁分担的荷载

a.中心荷载P＝1的作用

假定中间横隔梁是刚性的，且横截面对称于桥中线，这样各片主梁就应产生同样的挠度（图5.53（c）），即：

根据材料力学，作用于各简支梁跨中的荷载（即主梁所分担的荷载）与挠度的关系为：

式中；

E——梁体材料的弹性模量。

由静力平衡条件，并考虑式（5.6），可得：

故

将上式回代到式（5.6），即得中心荷载P＝1在各主梁间的荷载分布为：

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式中　Ii——i号梁的抗弯惯性矩；

——桥梁横截面内所有主梁抗弯惯性矩的总和，对于已经确定的桥梁横断面，它是一常数。

例如，对于1号边梁：

如果各主梁的截面均相同，则得到与图5.49（c）相同的结果：

式中　n——主梁片数。

b.偏心力矩M＝1·e的作用

在偏心力矩M＝1·e的作用下，桥的横截面会产生绕中心点o的转角φ （图5.53（d）），因此各片主梁产生的竖向挠度可近似表示为：

式中　ia——各梁轴至截面中心点 o 的距离。

类似于式（5.6），主梁所分担的荷载与挠度的关系为：

将式（5.10）代入上式，即得：

从图5.53（d）中可知，对桥的截面中心点 o 所形成的反力矩之和应与外力矩M＝1·e平衡，故据此平衡条件并利用式（5.11）可得：

则

式中，对于已经确定的桥梁截面，它是一常数。

将式（5.12）回代到式（5.11），即得偏心力矩 M＝1·e作用下各主梁所分配的荷载，为：

注意，上式中的荷载偏心位置 e 和表示梁轴位置的 ai是具有共同中心点 o 的横坐标值，因此在取值时应当计入正、负号。为保证力矩平衡条件的成立，当 e 和 ai位于中心点 o同一侧时两者的乘积取正号，反之应取负号。例如，当单位荷载作用在1号梁轴上、求偏心力矩M＝1·e作用下1号梁所分配的荷载时，以e=a1代入上式，就有：

如果各片主梁的截面均相同，则：

当单位荷载作用在4号梁轴上、求偏心力矩 M＝1·e作用下1号梁所分配的荷载时，以e=－a4代入上式，就有：

式中　和的第一个下标表示梁号，第二个下标则表示荷载作用位置。

c.偏心荷载P＝1对各主梁的总作用

将式（5.8）和式（5.13）叠加，并设单位荷载P＝1作用于 k 号梁轴上（e＝ak），则可写出任意 i 号主梁所分担荷载的一般公式，为：

例如，对于图5.53的情况，欲求P=1作用在1号边梁轴线上时两片边主梁（1号和5号梁）各自所分担的总荷载，只要在式（5.16）中，将ak分别代以a1和a5，将aiIi分别代以a1I1和a5I5，并注意到I5＝I1和a5＝-a1，则得：

求得了各片梁所受的荷载 R11，R21，…，Rn1，就可绘出 P=1作用在1号梁上时对各主梁的荷载分布图式，如图5.53（e）所示。由于刚性横梁的假定， Rik图形呈直线分布，实际上只要计算两片边梁的荷载R11和R51即可。

基于结构力学中的反力互等关系，可以认为P＝1作用在 k 号梁轴上时分配给i 号主梁的荷载Rik等于P＝1作用在 i 号梁轴上时分配给k 号主梁的荷载Rki与两片主梁抗弯惯性矩比值的乘积，即：

② 利用荷载横向分布影响线求主梁的m

以上论述的是沿桥横向只有一个集中荷载作用在k 号梁轴上时，任意 i 号主梁所分担的荷载的情况。实际上，沿桥宽作用的车轮荷载不止一个，且作用位置横向可变，为方便计算起见，通常需要利用荷载横向分布影响线来考虑横向一排（几个）荷载对某片主梁的总的影响。

前已述及，当单位荷载P＝1作用在k号主梁轴线上时，分配给各片主梁的荷载为Rik，见式（5.16）；但利用式（5.18）表示的反力互等关系，就可得到荷载P＝1逐个作用在 i号（i＝1，2，…，n）主梁轴线上时，k 号主梁所分担荷载的变化曲线，即荷载横向分布影响线：

这就是 k 号主梁的荷载横向分布影响线在各梁轴处的竖标值，现改用符号ηki以示区别。如果各片主梁的截面尺寸相同，则有：

仍以1号边梁为例，当荷载P＝1分别作用在1号和5号边梁轴线上时，1号边梁的荷载横向分布影响线的两个控制竖标值是：

将式（5.21）与式（5.17）相比可知，尽管等式右边的列式相同，但由于等式左边符号的下标变化，公式的含义已发生变化。

若各主梁的截面均相同，上式可简化成：

在确定了各主梁的荷载横向分布影响线后，就可以根据荷载沿横向的最不利位置，按式（5.5）来计算相应的横向分布系数mc（用下标c表示其仅为桥跨结构跨中截面的荷载横向分布系数），从而确定各主梁所分担的最大荷载。除荷载横向分布影响线外，计算过程及计算公式与前述杠杆原理法相同。

计算中需要注意以下几点：① 当横截面沿桥纵轴线对称时，只需取一半主梁（包括位于桥纵轴线上的主梁）作为计算对象；② 车轮荷载沿横向的布置（车轮至路缘石的距离，车轮横向间距，各车横向间距等）应满足有关规定（见第三章图3.8）；③ 车辆及人群荷载沿横向的布置及取舍按最不利原则进行，即所求出的 m 应为最大值；④ 对多车道桥梁，车辆荷载加载时应以轴重（而不是轮重）为单位，即一辆车横向的两个轮重应同时加载或同时不加载。

（3）其他方法

① 修正的刚性横梁法

在刚性横梁法中，假定横隔梁绝对刚性，并且忽略了主梁的扭转效应，这种简化导致边梁计算值偏大。实际结构在偏心荷载作用下，主梁总会发生一定扭转。为了使荷载横向分布计算更符合实际，又不失刚性横梁法在计算上的优点，可以对刚性横梁法进行修正，即将式（5.16）中的第二项乘以一个小于1的抗扭修正系数，以考虑主梁的扭转刚度，这就是修正的刚性横梁法。

② 铰结板（梁）法

对用现浇混凝土纵向企口缝连接的装配式板桥，以及仅在翼板间用焊接钢板或伸出交叉钢筋连接的无中间横隔梁的装配式T形梁桥，由于桥面板之间有一定的横向连接构造，但连接刚性又较薄弱，就可采用铰结板（梁）法来计算横向分布系数。其基本假定是：a.结合缝（铰结缝）仅传递竖向剪力；b.桥上的荷载近似地采用一个沿桥跨方向分布的正弦荷载，并且作用于主梁轴线上。由此假定，根据力的平衡条件和变形协调条件，可以导出荷载在横向的分布值，算出横向分布影响线坐标，从而求出横向分布系数。

③ 刚结板（梁）法

刚结板（梁）法是在铰结板（梁）法计算理论的基础上，在结合缝处补充引入冗余弯矩，得到考虑了板的横向刚性连接特点的变形协调方程，从而求解各梁荷载横向分布的方法。该方法视梁系为超静定结构，用力法求解，主要适用于翼缘板之间是刚性连接的肋梁桥。

④ 比拟正交异性板法（又称 G-M 法）

对于由主梁、连续桥面板及多片横隔梁组成的混凝土梁桥，当其宽度与跨度之比大于1/2时，可以采用比拟正交异性板法。其特点是：将主梁和横隔梁的刚度换算成双向刚度不同的比拟弹性平板，按古典弹性理论来分析求解其各点的内力值，并由实用的曲线图表进行荷载横向分布计算。

比拟正交异性板法的最大优点就是能利用编制好的计算图表得出比较精确的结果。它概念明确，计算方便快捷，对于各种桥面净空和多种荷载组合的情况，可以很快求出各片主梁的相应内力值。

3.荷载在顺桥跨不同位置时主梁荷载横向分布系数的取值

由前面的推导和分析可知，当荷载位于跨中时，由于桥面板和横隔梁的传力作用，所有主梁均参与受力；但当荷载作用在梁端支点处的某主梁上时，如果不考虑支座弹性变形的影响，荷载就直接由该主梁传至相邻支座，其他主梁基本上不参与受力。因此，荷载在桥跨纵向作用的位置不同，则荷载横向分布的效果也不同。

在各种荷载横向分布计算方法中，通常用“杠杆原理法”计算荷载在支点处的横向分布系数 m0，其他各方法均适用于计算荷载位于跨中的横向分布系数mc。那么荷载位于桥跨纵向其他位置时，该如何确定横向分布系数m呢？显然，要精确计算m值沿桥跨方向的连续变化规律是相当繁杂的，而且也会导致后续的主梁内力计算相当麻烦。因此，目前在设计实践中习惯采用图5.54所示的实用处理方法。

图5.54　顺跨度方向m值的变化

对于无中间横隔梁或仅有一片中横隔梁的情况，跨中部分采用不变的 mc，从离支点 l /4处起至支点的区段 mx呈直线过渡（图5.54（a））；对于有多片内横隔梁的情况，mc从第一片内横隔梁起向梁端m0直线过渡（图5.54（b））。图中m0可能大于 mc，也可能小于mc。

为进一步简化，当计算简支梁最大弯矩时，由于跨度内横向分布系数变化不大，一般可取全梁不变的mc进行计算；对于其他截面弯矩计算，通常也可取不变的 mc。在计算主梁的最大剪力（梁端截面）时，鉴于主要荷载位于 m 的变化区段内，而且相对应的剪力影响线竖标值均接近最大值（见图5.54（a）），故应考虑该区段内横向分布系数变化的影响。对靠近梁远端的荷载，鉴于相应剪力影响线坐标值的显著减小，则可近似取不变的mc来简化计算。