黄金分割法在给排水科学与工程中的应用

科学实验中，有相当普遍的一类实验，目标函数只有一个峰值，在峰值的两侧实验效果都差，将这样的目标函数称为单峰函数。

图2－3　上单峰函数

黄金分割法适用于目标函数为单峰函数的情形。所谓黄金分割指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比等于，它的三位有效数字的近似值就是0.618，所以黄金分割法又称为0.618法。

设实验范围为［a，b］，第一次实验点x1选在实验范围的0.618位置上。

第二次实验点选在第一点x1的对称点x2处，即实验范围的0.382位置上。

实验点x1、x2如图2－4所示。

图2－4　0.618法第1、2个试验点分布

设f（x1）和f（x2）表示x1与x2两点的实验结果，且f（x）值越大，效果越好。

（1）如果f（x1）比f（x2）好，根据“留好去坏”的原则，去掉实验范围［a，x2）部分，在剩余范围［x2，b）内继续做实验。

（2）如果f（x1）比f（x2）差，同样根据“留好去坏”的原则，去掉实验范围（x1，b］部分，在剩余范围［a，x1］内继续做实验。

（3）如果f（x1）和f（x2）实验效果一样，去掉两端，在剩余范围［x1，x2］内继续做实验。

根据单峰函数性质，上述三种做法都可使好点留下，将坏点去掉，不会发生最优点丢掉的情况。

继续做实验，第一种境况下，在剩余实验范围［x2，b］上用公式（2－2）计算新的实验点x3。

如图2－5所示，在实验点x3安排一次新的实验。

在第二种情况下，在剩余实验范围［a，x1］上用公式（2－3）计算新的实验点x3。

如图2－6所示，在实验点x3安排一次新的实验。(www.xing528.com)

图2－5　情况①时第三个实验点

图2－6　情况②时第三个实验点

在第三种情况下，在剩余实验范围［x2，x1］，用式（2－2）和式（2－3）计算两个新的实验点，x3和x4。

在x3、x4安排两次新的实验。

无论上述三种情况出现哪一种，在新的实验范围内都有两个实验点的实验结果可以进行比较。仍然按照“留好去坏”原则，再去掉实验范围的一段或两段，这样反复做下去，直至找到满意的实验点，得到比较好的实验结果为止；或实验范围已很小，再做下去，实验结果差别不大，则停止实验。

例2－1　为降低水中的浑浊度，需要加入一种药剂，已知其最佳加入量是1 000～2 000g之间的某一点，现在要通过做实验找到它。按照0.618法选点，先在实验范围的0.618处做第1次实验，这一点的加入量可由公式（2－2）计算出来。

再在实验范围的0.382处做第2次实验，这一点的加入量可由公式（2－3）算出，如图2－7所示。

图2－7　降低水中浊度第1、2次实验加药量

比较两次实验结果，x1点较x2点好，则去掉1 382g以左的部分，然后在留下部分再用式（2－2）找出第三个实验点x3。在点x3做第3次实验，在这一点的加入量为1 764g，如图2－8所示。

仍然是x1点好，则去掉1 764g以右的一段，在留下部分按式（2－3）计算得出第四个实验点x4。在点x4做第4次实验，这一点的加入量为1 528g，如图2－9所示。

图2－8　降低水中浊度第三次实验加药量

图2－9　降低水中浊度第四次实验加药量

x4点比x1点好，则去掉1 618～1 764g这一段，在留下部分按同样方法继续做下去，如此重复直至找到最佳点。

0.618法简便易行，对每个实验范围都可计算出两个实验点进行比较，好点留下，从坏点处把实验范围切开，丢掉短而不包括好点的一段，使实验范围缩小。在新的实验范围内，再用式（2－2）、式（2－3）算出两个实验点，其中一个就是刚才留下的好点，另一个是新的实验点。应用此法每次可以去掉实验范围的0.382。因此，该方法可以用较少的实验次数迅速找到最佳点。