园林工程识图：4.2点、直线和平面的落影

施工必备知识点

空间点在某承影面上的落影，实质上是通过该点的光线与承影面的交点。由于光线是直线，所以求作点在承影面上的落影可以归结为直线与平面相交求交点的问题。如图4-4，空间点A在光线L照射下，投影在承影面P上的落影为A_p。

1.点的落影。

（1）点在投影面上的落影。承影面为投影面时，空间点在投影面上的落影就是过该点的光线与投影面的交点（迹点）。

如图4-5所示，空间点A在两投影面体系中距H面的距离小，则点A的落影必在H面上（用A_H表示）。它在投影图中的作法如下。

1）过a′引与X轴成45°的斜线（即常用光线的正面投影），使其交X轴于点a₁′，即得落影的正面投影；

2）过a引与X轴成45°的斜线（即常用光线的水平落影），并与过a₁′所作的投影联系线相交于点a₁，即得落影的水平投影，也就是落影A_H（A_H≡a₁）。

图4-4 点的落影

这种求点在投影上落影的方法，叫光线迹点法。如图4-5所示。

若空间点B距V面较近时，其落影必在V面上（用B_V表示）。它在投影图中的作法是：

1）过b引与X轴成45°的斜线交X轴于点b₁，得落影的水平投影；

2）过b′引与X轴成45°的斜线，并与过b₁点所作的投影联系线交于b₁′，得落影的正面投影，也就是落影B_V（B_V≡b₁′）。

图4-5 点在H面上的落影

图4-6a中还给出了光线的水平迹点B_H（B_H≡b₂），但光线与V面相交在先，与H面相交在后，B_H只是在H面上的虚影。

从图4-6b中可以看出，因光线投影是45°方向，可知落影Bv与点b′的竖直距离及水平距离均等于B到V面的距离m。所以根据已知的m值，可在V面投影中自b′向下，向右分别量取m找到Bv。用这种方法求作点的落影，叫度量法。

（2）点在投影面垂直面上的落影。当承影面为投影面垂直面时，可利用承影面的积聚性求作点的落影。

如图4-7所示，求点C在铅垂面P上的落影，其作法是先过点c作光线水平投影与P_H交于点c₁；再过点c₁作投影联系线与过点c′所作光线的正面投影相交于点c₁′、c₁′即为点C在P面上落影的正面投影，落影C_P≡c₁′。

（3）点在一般位置平面上的落影。当承影面为一般位置平面时，求光线与一般位置承影面的交点时，宜为辅助平面法。如图4-8所示，过A点的两面投影a和a′分别作45°斜线，求点A在一般位置平面P上的落影，其作法如下：

图4-6 点在V面上的落影

图4-7 点在铅垂面上的落影

图4-8 点在一般位置平面上的落影

1）包含过点A的光线作辅助铅垂线平面P_H；

2）利用P_H的积聚性求得P与P_H间交线的正面投影1′2′；

3）由a′作45°斜线与1′2′相交，得落影A_P的正面投影a_p′；

4）过a′向下引垂线与P_H相交，即得落影AP的水平投影a_p。

2.直线的落影

直线的落影，就是过直线的光线平面与承影面（平面或曲面）的交线。因此求作直线的落影，就是求作平面（光线平面）与平面（承影面）或者平面（光线平面）与曲面（承影面）的交线。一般情况下，直线在承影平面上的落影仍是直线，只有直线与光线方向一致时其落影才是一个点。如图4-9所示。

（1）直线落影的一般作法。如图4-10a所示，为求直线AB在V面上的落影，首先求出直线的两端点A、B在V面上的落影Av（a₁、a′₁），Bv（b₁、b₁′），然后连线即得直线的落影AvBv。

图4-9 直线的落影

同样，求得CD直线上端点C、D在H面上的落影C_H（c₁、c′₁）、D_H（d₁、d′₁），也可以连线得到CD直线在H面上的落影C_HD_H。如图4-10b所示。

图4-10 直线的落影画法

当直线两端点的落影不在同一承影面上时，如图4-11a所示，则不能直接连线。因直线在两相交承影面上的落影，是过该直线的光线平面分别与两承影面相交的交线。两段位于不同承影面上的落影必然交会于两承影面的交线上的一点，通常把这点成为折影点。因此，当做出的直线两端点的落影不在同一承影面上时，则必须再求出折影点，才能得到直线在两承影面上的落影。求折影点的方法有两种，第一种方法如图4-11b所示。

第二种方法，是借助直线端点的虚影来求作。当作出直线两端点A、B在V、H面的落影A_H（a₁、a₁′）、B_V（b₁、b₁′）之后，再作出点B在H面上的虚影B_H（b₂、b₂′），连接A_H、B_H与X轴相交于Kx，Kx即为折影点。第二种方法，是在直线AB上任取一点C，作出它的落影C_V（C₁、c₁′）。连接V面上的Bv、C_V并延长与X轴相交，则得到折影点Kx。

显然，A_HK_X连线即为AB在H面上的落影，而KxBv是AB在V面上的落影。

（2）直线的落影特性

1）直线在它平行的承影面上的落影平行于直线在该承影面上的投影。如图4-12a所示，水平线AB在H面上的落影a_Hb_H平行于ab；图4-12b中的正平线CD在V面上的落影c_V′d_V′平行于c′d′。

图4-11 直线在V、H两个承影面上的落影

图4-12 承影面平行线的落影(www.xing528.com)

2）两平行直线在同一承影面上的落影仍然平行。如图4-13所示，两平行直线AB和CD的落影AvBv与CvDv互相平行。

3）直线在相互平行的各承影面上的落影也相互平行。如图4-14所示，直线AB在P、Q两平行的承影面上的落影仍相互平行（A_PC_P∥D_QB_Q）。

图4-13 两平行直线的落影

图4-14 直线在两平行承影面上的落影

4）直线在它垂直的承影面上的落影，为过积聚投影的45°斜线（与光线投影重合）。图4-15表明了以投影面为承影面时的铅垂线AB、正垂线CD及侧垂线EF的落影特性和画法。

图4-15 投影面垂直线的落影

如图4-15a，由于过铅垂线AB的光线平面是与V面成45°的铅垂面，过正垂线CD的光线平面是与H面成45°的正垂面，所以直线AB、CD在所垂直的承影面上的落影即光线平面与承影面的交线，必与光线投影相重合，为一条与X轴成45°的斜线。铅垂线AB在面上的落影是过积聚投影a（b）与光线投影方向一致从左前到右后的45°斜线，正垂线CD在V面上的落影是过积聚投影c′（d′）从左上到右下的45°斜线。

铅垂线或正垂线同时落影在两个投影面上时，直线在它平行的投影面上的落影部分与直线本身平行，且该落影段与其同面投影的距离等于直线到它平行的投影面的距离m，如图4-15b所示。

侧垂线EF在V面上的落影EvFv必平行于e′f′，而且Ev与e′、Fv与f′在水平和竖直方向的距离均等于直线到V面的距离n，如图4-15c所示。

5）投影面垂直线在凹凸不平的侧垂（或铅垂）承影面上的落影，在直线所垂直的投影面上的投影为过直线积聚投影的45°斜线，另一投影与承影面的积聚投影呈对称形状。

如图4-16所示，正垂线AB在凸凹不平的侧垂承影面上的落影，其正面投影是过直线积聚投影的45°斜线。

图4-16 正垂线的落影

如图4-17所示，铅垂线CD在台阶上落影的正面投影与台阶的侧面积聚投影的形状相对称。因为铅垂线CD在台阶每个踢面上的落影段均与直线的正面投影相平行，而且各落影段到直线正面投影的距离均等于直线到各踢面的距离（对照图中的尺寸）。

图4-17 铅垂线的落影

实践技能知识点

平面的落影

1.平面多边形

平面多边形的落影是由平面多边形各边的落影所围成的。如图4-18所示，光线被△ABC遮挡，在承影面P上形成的阴暗部分，就是△ABC在P面上的落影。

图4-18 平面的落影

为求平面多边形的落影，应当先求出多边形各顶点的落影，而后再依次连接它们的同面落影。如图4-19所示，先用光线迹点法求出△ABC三个顶点在V面上的落影Av、Bv、Cv，然后连线即得△ABC在V面上的落影。

若多边形各顶点的落影不在同一承影面上，如图4-20中的Av与B_H，则不能直接连线。在这种情况下，必须求出AB和AC线落影的折影点后，才能分别作出△ABC在V面和H面上两部分落影。

图4-19 平面落影的画法

图4-20 平面同时落影在V、H面上

建筑形体主要由特殊位置平面所围成。图4-21表明了铅垂面和投影面平行面在V面上落影的形状和作法。

图4-21 特殊位置平面上V面上的落影

2.圆

（1）圆在它平行的投影面上的落影是一个大小相同的圆。如图4-22所示，为作出正平圆在V面上的落影，应当先用光线迹点法或度量法作出圆心O在V面上的落影O_V，再以O_V为圆心用已知圆的半径作圆，即得到圆的影线。

（2）圆在它垂直的投影面上的落影是一个椭圆。如图4-23所示，求作水平圆在V面上落影的方法如下。

图4-22 圆在它平行的承影面上的落影

图4-23 圆在它垂直的承影面上的落影

1）作出已知圆的外切正方形ABCD。

2）用光线迹点法作出正方形ABCD在V面上的落影AvBvCvDv，其对角线的交点O_V即为圆心O在V面上的落影，即椭圆的中心。

3）八点法作出椭圆影线。

当圆同时落影在H面和V面上时，影线一部分为圆弧，以部分为椭圆弧。