瞬时单位线-水文学原理（第2版）

当单系统的输入为单位脉冲函数δ时，系统所形成的输出称为脉冲响应函数。对于流域汇流系统，当输入为单位脉冲净雨时，所形成的输出则称为流域瞬时单位线（Instantaneous Unit Hydrograph，IUH）。所谓单位脉冲净雨指在流域上分布均匀，历时趋于零且强度趋于无穷大，而净雨量（净雨强度乘以净雨历时）为1个单位的输入过程。依据水量平衡原理可知，流域瞬时单位线的总面积等于1个单位。

将上述δ函数的定义代入式（10.23）就得到流域瞬时单位线的数学表达式：

式中：u（0，t）为流域瞬时单位线。

当上式中的系数am（m=1，2，…，M）和bn（n=1，2，…，N）均为常数时，所描述的流域汇流系统为线性时不变系统。若初始条件为零，式（10.27）的Laplace变换为

式中：A（P）/B（P）为系统的传递函数，而A（P）、B（P）分别为

由于L[δ（t）]=1，所以

再取式（10.29）的拉普拉斯逆变换，可得

由此可知，流域瞬时单位线就是流域汇流系统传递函数的拉普拉斯逆变换。于是，流域瞬时单位线也称为流域瞬时响应函数或核函数。

对于线性时不变系统，取零为初始条件，式（10.23）的拉普拉斯变换为

将式（10.29）代入式（10.31），得到

而式（10.32）的拉普拉斯逆变换为

式（10.23）就是线性时不变系统在零初始条件下的解，又称为卷积公式。因卷积具有可交换性，式（10.33）也可写为

从式（10.34）推导可知，如果流域汇流系统为线性时不变系统时，若流域瞬时单位线已知，即可由净雨过程求得出口断面的径流过程线。式（10.33）或式（10.34）描述了流域上均匀分布净雨所形成的t时刻出口断面流量Q（t），物理概念如图10.10所示。

图10.10　卷积公式的物理概念

对比式（10.7）与式（10.34）可知

式（10.35）表明，流域瞬时单位线是汇流面积随时间的变化率，即汇流面积是由散布于流域各处，具有不同运动速度但能同时流达出口断面的净雨质点组成的。再对比式（10.20）与式（10.34），则有

式（10.36）表明，在流域内各处净雨质点汇流速度相同的特例中，流域瞬时单位线为面积-时间曲线。可见，流域瞬时单位线主要取决于流域地貌结构和净雨质点的汇流条件。

目前应用广泛的流域瞬时单位线是Nash模型[3]，它将流域对洪水的调蓄作用设想为n个调蓄功能相同的串联水库，且每一水库的蓄水量s与出流量Q均为线性关系，其数学方程为

式中：Г（n）=（n-1）！，为n的伽玛函数；其余符号意义同第8章。

由式（10.37）可看出，瞬时单位线的形状取决于参数n、K，它们反映了流域的调蓄特征。参数n、K值一般由瞬时单位线的矩来确定，而矩又与净雨和流量过程线有关。参照图10.11，依据式（10.38）和式（10.39）可分别计算出净雨和流量过程的一阶原点矩和二阶中心矩：

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图10.11　计算净雨和流量过程线

式中：vI1、vQ1分别为净雨、流量过程的一阶原点矩；μI2、μQ2分别为净雨、流量过程的二阶中心矩。

瞬时单位线的一阶原点矩v1和二阶中心矩μ2则为

而参数n、K与一阶原点矩和二阶中心矩的关系为

由净雨和流量过程推求瞬时单位线参数n、K的步骤可参阅下述例10.2。

【例10.2】　求例10.1中净雨和实测流量过程的瞬时单位线参数n、K值，Δt仍取6h。

解：计算步骤如下：

（1）依据式（10.38）和式（10.39）计算净雨过程的一阶原点矩vI1和二阶中心矩μI2，参阅表10.3；

vI1=201/53=3.79；μI2=981/53-3.792=18.51-14.36=4.15。

（2）依据式（10.38）和式（10.39）计算地表径流过程的一阶原点矩vQ1和二阶中心矩μQ2，参阅表10.4；

vQ1=41241／2025=20.37；μQ2=1130841／2025-20.372=558.44-414.94=143.50。

（3）计算瞬时单位线参数n、K：

当n、K确定后，瞬时单位线方程就唯一确定了。

表10.3　净雨一阶原点矩和二阶中心矩计算表

表10.4　流量一阶原点矩和二阶中心矩计算表

瞬时单位线的净雨历时趋于零，故在实际汇流计算中需要应用S曲线将其转换为某一历时的时段单位线。流域瞬时单位线的S曲线可看作雨强为1个单位的连续净雨所形成的流量过程线，即瞬时单位线的积分曲线；其数学方程为

S曲线已由有关部门依据n，K制成表格，供查算使用，各类水文学教材中也均附有此表。

将瞬时单位线转换为Δt的时段单位线，需要应用u（Δt，t）=S（t）-S（t-Δt），其中u（Δt，t）为时段长Δt的无因次单位线。注意到瞬时单位线的面积为1，即

对于流域面积为Akm2，净雨为10mm，时段长为Δt，具有因次的单位线，可用下式计算：

式中：q（Δt，t）为Δt时段单位线的纵坐标，m3／s。

【例10.3】　应用例10.2的结果，n=1.97，K=8.42，求Δt=6h的时段单位线。

解：列表计算如表10.5，具体步骤如下：

（1）由n，t/K查S曲线表，填入表中③栏；再将此系列错后一行填入④栏；

（2）由第2行起，⑤=③-④，是Δt=6h时段单位线的相对纵坐标；

（3）⑥=[10A／3.6Δt]×⑤=[10×820／（3.6×6）]×⑤=379.6×⑤，就是Δt=6h，净雨为的10mm的时段单位线纵坐标。

表10.5　由n、K求6h时段单位线计算表