牛顿万有引力：伟大发现的真正重要性

只有少数人能完全理解牛顿万有引力这个伟大发现的真正重要性。引力通常被认为是一种神秘的力量，只在天体之间发生作用，最早由牛顿发现。如果牛顿发现了引力本身，并用来作为解释行星运动的某种新原则，那它就不会像牛顿实际所做的那样让人钦佩了。在一个有限的球体中，引力是人人都知道的。它就是一种会让所有的天体坠落或者向球体中心延伸的力量。每一个见过石头坠落或感觉到石头很重的人，都知道引力的存在。牛顿所做的是证明行星的运动是由一种普遍的力量决定的，让苹果掉落就是它的表现之一，因此揭开了天体运动一直掩盖着的神秘面纱。对于他的前人来说，行星持续的圆形或椭圆形运动是与地表上看到的任何运动都完全不一样的，他们无法想象它们是被同样的定律支配的；并且，认为没有定律可以限定行星运动，天体运动的方式与所有地上运动定律不同这个想法对他们来说没有什么不可思议的。

从太阳或地球处产生的一种宇宙力量，引起了天体运动，这个想法并不是牛顿的原创。我们已经看到甚至托勒密也曾提出有一种力，总是指向地球中心，或者，对他来说，也是指向宇宙中心的，这种力量不仅让天体坠落，也把整个宇宙捆绑在一起。开普勒也认为使行星运动的力量存在于太阳处，并从太阳处发出。但无论是托勒密还是开普勒，都不能以我们周围所看见的运动定律为基础，对这个力给出足够的解释；也不可能形成有关它真实性质的概念，这些哲学家都不了解运动和力的一般规律。

几乎所有的人都存在的这个伟大的误解，即必须有持续的力量作用才能让运动中的物体一直处于运动中，这个错误想法一直持续到伽利略时代。开普勒本人也完全相信这个说法，他认为只有太阳方向的一个力是不足以保持行星运动的，应该还有其他补充的力量一直在推动行星。他认为这种补充的力量可能来自于太阳的绕轴自转。很难说是谁首先清楚地明白并宣布这个说法是完全不正确的。一个物体一旦运动起来，没有力继续作用于它，它将会永远运动下去——这个伟大的真理渐渐地在人们的头脑中建立起来。这个真理对达·芬奇来说是显而易见的；它含蓄地包含在伽利略的自由落体定律中，在惠更斯的向心力理论中；然而这些哲学家似乎都没有清晰而完整地表达它。我们说牛顿是第一个清楚地将这个定律与它周围的修正定律联系在一起的，也不算错得很离谱。牛顿理论的基础是这三大定律：

第一定律：一个物体一旦开始运动以后，不受任何外力作用时，总保持匀速直线运动。

第二定律：如果一个运动中的物体受到任何一个力量的作用，它在第一定律中所处的运动状态会发生改变，改变后的运动方向与作用力的方向一致，并成一定比例。

第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反；也就是说，无论何时一个物体向另一个物体施加作用力，后者都会向前者施加同样的力，只是方向相反。

这三大定律中，第一定律是最基本的。许多世纪以来，阻碍这个定律被发现、让人迷失正确方向的情形在于，地表上没有物体是不受力的作用的，因此没有发现物体做匀速直线运动的例子。实验中的每一个物体最起码都要受到地球引力的作用——由于它自身的质量——因此，它会很快地落向地面。其他阻止匀速直线运动的力是摩擦力和空气阻力。这需要从伽利略的前人提出的物理问题当中提出不同的研究方法来说明这些力，如果这些力不存在，物体就可以没有阻碍地做直线运动。

我们现在已经理解了牛顿用直接简单的方式，以他在地球上看到的例子推导出与他名字联系在一起的伟大定律。我们知道地球上所有地方都受到一种力的作用，因而所有的物体都受到地心的拉力。不论是在最高的楼顶，还是在最高的山峰上，这股力量都没有明显减弱。这个力覆盖的高度有多高？为什么没有高到可以作用于月球？如果它的确对月球有力的影响，那月球应该会坠向地球，就像用手抛出一块石头一样。如果是这种情况，这个简单的引力为什么不会是让月球保持轨道运行，阻止它按照运动第一定律以直线形式飞走的力量呢？为了回答这个问题，必须计算需要多少力才能让月球保持沿着现有运行轨道运动，并将其与引力相比较。当时的天文学家都知道，月球与地球的距离是地球半径的六十倍。牛顿最初假设地球直径不到7000英里，因此他的计算错误，没有得出正确结果。那是1665年，当时他仅二十三岁。他将这个计算搁置了近二十年，后来，当他得到了皮卡德在法国的测量数据，发现地球比他之前假设得要大六分之一，他又开始这个计算。他发现月球轨道与直线的偏斜度是一分钟内有十六英尺（约487.68厘米，一英尺=30.48厘米）的落差，与地表上物体每秒掉落的距离相同。这个掉落的距离是时间的平方，由此推出地表的重力是保持月球轨道运行的力量的3600倍。这个数字是60的平方，表明月球距地心的距离是我们与地心距离的60倍。因此，让月球保持轨道运行的力与让石头掉落的力是相似的，只在其与地心距离的平方反比中递减。（即与距离的平方成正比）

对数学家来说，从苹果的重力推到月球的引力是相当简单的；但是非数学专业的读者，也许第一眼不太明白，月球是怎样一直有着向地球坠落的趋势，但又一直保持距离不变的。接下来的解释会将这点说清楚：所有人都能理解自由落体定律，第一秒时物体下降十六英尺，第二秒时下降十六英尺的三倍距离，第三秒时下降十六英尺的五倍距离，以此类推。如果在下落的地方，物体被水平推出，比如像炮弹一样，第一秒时，它将沿着被推出的方向下降十六英尺，而不是直线下降十六英尺，第二秒时沿推出方向下降十六英尺的三倍，以此类推，与静止时落下的距离相同。在图7中，AB表示地表曲面的一部分，AD表示从A点出发的水平直线，或者也可看成位于A点，有一位观察者手持一个小型望远镜沿水平方向观察所能看到的视线。然后，由于地球的曲率，地表会与这个水平视线分离，以第一英里下降八英寸（约20.32厘米，一英寸=2.54厘米），第二英里下降二十四英寸多的距离，以此类推。到第五英里时，下降距离会达到十六英尺。第十英里时，除了这个十六英尺，还要再增加十六英尺的三倍，如此下去，这个规律与自由落体的定律相同。现在，假定AC为一很高的陡峰，在峰顶上以水平方向CE打出一枚炮弹。发射速度越快，炮弹在落到地面前所经过的距离越远。假设，最终我们以每秒五英里的速度发射炮弹，无空气阻力。假设e为水平线上距C点五英里的点。因为炮弹在一秒后就会到达这个点，从刚刚的自由落体定律可以推出，炮弹发射一秒后应该在e下方十六英尺处。但是刚刚我们发现地球本身在这个距离上也弯曲了十六英尺。因此，这枚炮弹此时比刚发射时与地表的距离没有变化。接下来的一秒中，水平方向炮弹会到达E点处，垂直方向上会再下降四十八英尺多，因此总计会位于E点下方六十四英尺处。但是在这个地方，地球依然是弯曲的，所以DB的距离为六十四英尺。此时，炮弹与刚发射时相比，与地表距离依然不变，尽管此刻它与最开始的水平线相比，就像一个自由落体的物体一样在不断下降。此外，因为没有阻力，它以不变的速度继续运动；正如前两秒时它一直在降落，但与地表距离一直不变，在后面的第三秒、第四秒以及接下来的任何秒时，它都与地表距离保持不变；地球弯曲的弧度永远与炮弹下降的速度一样快。因此后者会一直围绕地球转圈，然后沿箭头方向，原速地再次回到起初的C点。环绕一圈的时间大约为一小时二十四分钟，这个炮弹会一直以这个时间间隔持续环绕地球。换句话说，这个炮弹就成了像月球一样的地球的一个卫星，只是近得多，围绕速度也快得多。

图7：图示月球向地球坠落的趋势

下一步我们要将引力应用到非地球的天体上。行星围绕太阳运动，与月球围绕地球运动一样，肯定也受到了来自太阳的力量。这个力正是太阳自身的引力。用开普勒第三定律进行简单计算，会发现每个行星感受到的太阳引力与行星到太阳平均距离的平方成反比。

下一步，我们要考虑如果行星受到来自太阳的引力，大小与行星到太阳距离平方成反比，那么行星会呈现出什么样的运行轨道呢？一个简单的示范会表明不管什么力量定律，如果这个力的方向一直指向太阳，行星的半径矢量将会在相同的时间里扫过相同的面积。相反，如果这个力的方向不是指向太阳，那它就不能在相同时间里扫过相同的面积。由此从开普勒第二定律可推出，这个力的方向就是指向太阳的。

确定行星轨道的问题在当时几乎没多少数学家可以解决。牛顿通过一个严密的证明，成功地证明轨道根据环境不同，可以是椭圆形的，或抛物线形的，或双曲线形的。在椭圆形的轨道中，太阳是其中的一个焦点，这正是开普勒第一定律的内容。因此，天体运动的所有谜团解开，行星只是在完全不同的环境下、遵循与我们周围所见的相同定律的、运动中的重物。开普勒的行星运动三大定律在一个太阳引力定律中都表示了出来，此引力与距离的平方成反比。

引力对开普勒第三定律的解释非常好。我们发现如果我们取几个行星到太阳平均距离的立方，除以公转时间的平方，太阳系中每个行星得到的商数都是一样的。如果我们继续以相同的方式计算木星的诸多卫星，每个卫星到木星的距离的立方，除以卫星公转时间的平方，得到的每个卫星的商数是相同的，当然它和行星的商数是不一样的。事实上，这个商数与位于中间的那个天体的质量或“重量”是成比例的。计算行星得出的商数是计算木星的卫星得出的商数的1050倍。这说明太阳质量是木星质量的1050倍。因此通过测量卫星的轨道，确定它们的公转时间，我们得到了一个非常方便的、计算带卫星的行星质量的方法。但是这个重量不是以吨为单位，而是用太阳质量的几分之几来表达。

然而，这个定律还不完整。根据运动第三定律，太阳与行星之间的引力是相互的。如果这个定律是普遍适用的，那么如果地球对月球有引力，月球对行星也有引力，行星之间相互都有引力，因而改变了它们环绕太阳的运动。现在，从观测得知行星运转与开普勒定律并不完全一致。因而最终的问题就是行星之间的引力是否能够完全准确地解释说明这种偏差。这个问题牛顿只能用一种不完美的方式作答，因为这个问题太错综复杂，他那时的数学解不了。他能够表明，太阳的引力会造成如观测所示的、相同性质的、月球运动的不均匀，但是他计算不出它们的精确数值。虽然如此，他的理论与天体运动的普遍一致还是非常显著的，不存在让人质疑的空间。值得注意的是，直到四十多年以后，1732年，法国科学院才给著名数学家约翰·伯努利颁发了一个奖，因为他发表了一篇论文，用旋涡理论解释了行星运动。不要由此认为，那个公正的著名机构（法国科学院）认为该理论是正确的；我们能够推出的是，他们仍然认为引力理论是否正确还没有明确的答案。

为了完整地表述牛顿的理论，仅仅简单地说太阳、地球和行星之间相互吸引是不够的。我们将物质尽可能精细地划分，结果发现细小的物质之间依然存在相互的引力，因为它们有质量。既然地球对细小的粒子有引力，那么根据运动第三定律，这些粒子肯定对地球有相同的引力。因此我们得出结论：引力并不是存在于地球这个整体中，而是存在于组成地球的每一个物质粒子中；也就是说，地球对一块石头的引力：简单来说就是石头和组成地球的所有粒子的引力总和。

万有引力的延伸范围没有已知的界限。太阳对已知的最远行星天王星和海王星的引力与牛顿定律没有丝毫不符。但是，由于反平方定律引起的距离上的迅速减小，当我们选取的距离很大，与我们距那些固定的恒星的距离一样远时，哪怕是太阳的引力也变得很小，可能需要一百万年这个引力才能产生一些重要的影响。因而我们推出了万有引力定律，表述如下：

宇宙中的每一个物质粒子都以一种力吸引着其他粒子，而这个力与它们的质量成正比，与分开它们的距离的平方成反比。

为了完美地证明引力的确存在于物质的每一颗粒子中，必须通过实际的实验去表明，孤立的物质也遵循了牛顿定律，相互之间是有引力的。这个实验采用了各种不同的方式来进行，都完全成功了，然而，目标并不是去证明引力的存在，而是去测量地球的平均密度。从数学角度来说，一个球体对其表面的一个点的引力大小，与假定整个球体质量集于其中心一点的时候是一样的。因此，这个引力与球体的所有物质总和，即质量成正比，与球体半径的平方成反比。然后我们将两个同等材质球体的引力进行比较，其中一个球体的直径是另一个直径的两倍。较大的球体的体积就会是较小的球体的8倍，因而质量也是较小球体的8倍。但不一样的是，较大球体表面的一个粒子与球体中心的距离，是较小球体表面粒子与其中心距离的两倍，这会导致引力减小四分之一。因此，大球对表面粒子的引力是小球对其表面粒的两倍；即，如果密度相等，引力与球体的直径成正比。如果密度不相等，引力与密度和直径的乘积成正比。

地球的直径大概是四千万英尺。因此，与地球平均密度相同的一个球体，直径为一英尺，它的引力将是地球引力的；即这个球的质量是地球质量的。因此，假如我们测量这样一个铅球的引力，发现它正好是地球质量的，那么我们就能得出结论：地球的平均密度与铅的密度相同。但实际上，我们测到的引力是我们假设的两倍大；因此一个铅球的密度几乎是组成地球的物质的平均密度的两倍。这样确定地球密度的方法被称为卡文迪许实验，以第一个实施这个实验的物理学家的名字命名。

测量像这样一个微小的引力力量，这个任务看起来似乎无法完成，下图显示了如何完成这个任务的方法。它主要由一个扭秤组成，即一根很轻的杆子e，两端各连一个重物，用细丝水平悬挂。为了防止气流干扰，整个装置必须完全装入箱子里。在图8中，天平eb从固定臂KF的末端通过细丝线FE悬挂下来。要吸引的重物分别在两端bb。当处于悬垂状态时，天平将会在水平方向上旋转，用一个很小的力，将丝线拧起来。要吸引的物质由一对铅球WW组成，以实验者所能获得和控制范围内最大的为好，这两个球放在了旋转桌T上面。图9提供了这个装置的俯视图，展示了铅球的相对位置以及它们所要吸引的悬挂重物。我们将会发现，重物在图中所在的位置，它所受到的引力会让这个扭秤朝与手表指针相反的方向转动。将铅球放在这个位置的效果是天平开始如刚才所描述的那样转动，由超过平衡位置的动量携带，最终通过扭转悬挂它的丝线而达到静止，然后又向原来位置的方向部分回转。它会经历好几次转动，每次都需花费几分钟，最终停在与最初位置不一样的一个位置上。这个产生引力的球与虚线处对应，处于相反的位置。这样它们就可以使天平朝相反的方向摆动，从而再次确定天平的运动。这些运动都通过放置整个装置的外壳，用一个小型显微镜观察记录下来，并根据这些运动计算出球的吸引力。

这个实验首先是由卡文迪许实施的，后来其他几位物理学家重复了他的实验；首先是1838年弗莱堡大学的赖希教授重复了这个实验，然后是伦敦的弗朗西斯·贝利先生。

图8：贝利通过卡文迪许实验来确定地球密度的装置。左边的球b藏在了重物W的后面。

图9：贝利装置的俯视图

后者的重复实验形成了有史以来最详尽的一系列实验之一；因此我们选择了贝利的装置来做图解。通过这几个实验获得的地球平均密度的结果为：

卡文迪许（他自己的结果）………………………… 5.48

卡文迪许（赫顿的修改版结果）…………………… 5.32

赖希 …………………………………………………… 5.44

贝利 …………………………………………………… 5.66^[1]

在试图确定山峰或称为地壳的部分隆起的引力时也遇到了相同的问题。事实上，这类问题的第一次尝试是由英国皇家天文学家马斯基林（1766—1811）做出的。他通过观察榭赫伦山对铅垂线的影响，确定了苏格兰榭赫伦山的引力。这个实验的原理非常清楚：在一个陡峭孤立的山峰的任一边悬挂一根铅垂线，山峰对它的引力会导致它向山峰倾斜，引力的方向或者称为视垂直，从AB（图10）变成了AE，CD变成了CG。获得的地球密度是4.71，比后来铅球实验得出的数值要小得多。但是这个方法必然非常不确定，因为山峰正下方的地球密度与稍远一些距离的地球密度不一样，因而可能造成了这个密度结果的差异。

图10

第三个方法是当我们向地面下降的时候去发现引力的变化。我们已经说过，地球的引力在它表面的某一点与假定整个地球的质量集中于中心时的引力是相同的。因此，当我们上升到地表之上，远离中心时，引力会减小。如果这个引力都存在于地球的中心，那么当我们向地表下方前进时，引力应该持续增加，因为引力与我们和中心距离的平方成反比。但是事实并非如此，因为一旦进入地球内部，我们周围和上方都充满了物质，这些物质的引力减弱了地心发出的引力。在地心处没有引力，因为那个点受到了每一个方向的相等的引力。如果地球密度是均匀的，引力从地表到地心应该非常均匀地减少。但是事实上地球内部的密度比地表密度大得多。当我们进入地球内部后，引力会变大，而不是减小。1855年，艾里教授在威尔士的哈顿煤矿进行了一系列精心的实验，以观察引力的增长速度。他发现矿井底部的钟摆每天比顶部的快2.3秒。从这里他得出结论：地球的平均密度是6.56。

如果地球不旋转的话，它所有部分相互之间的引力会让它形成一个球形。如果说地表固体部分凝聚无法改变，不能如精确假定的那般形成球形的话，海洋表面或者地表任何液体覆盖的地方也应该形成球形。现在，我们假定这样一个球形的地球绕轴自转，向着赤道区域的方向就会产生离心力，这会使得海洋从两极向赤道方向移动，这样地球表面将倾向于呈现一个扁圆球体的形状，两个极点之间距离最短。对赤道上的离心力的计算表明它是自身引力的。因此，这个球的扁率在大地测量中应该容易测量出来。然而另一个结果是，因为赤道处的离心力，物体会变得更轻，一个按照北纬调整的时钟在到达那里时会变得不准。

最后一个结果与瑞齐的经历相符。他于1672年被法国科学院派往卡宴，对火星进行观测。在那之后，他否认地球的扁圆形状，与其说是否认牛顿的引力理论，不如说是否认机械力在改变海洋表面形状时产生的自然效应。尽管如此，法国天文学家长期以来一直拒绝同意这个结论，因为他们在法国进行的大地测量操作似乎表明地球在两极的方向上是拉长的，而不是被压扁。这一结果的真正原因是，在法国测量的距离很短，所以地球椭圆度的影响完全被不可避免的测量误差所掩盖，它大大推迟了法国天文学家对牛顿理论的全部接受。但是，我们必须赞扬他们的后一代人，或者称他们为下一代的天文学继任者，他们采取了最彻底的措施来解决这个问题。他们的政府派了一支探险队去秘鲁，测量赤道的纬度长度，又派了另一支探险队去拉普兰，尽可能地测量一个极点附近的纬度长度。他们的结果与牛顿的理论完全一致，并证实了这一理论，这一点在当时那个时代已经完全没有必要了。

牛顿无法确定，地球在自身引力和旋转离心力的影响下，应该呈现的确切形状，尽管他可以发现，地球的子午线应该是与椭圆没有太大区别的曲线。这个问题的复杂之处在于，随着地球因自转而改变其形态，其表面各点的引力方向和大小也随之改变；而这又反过来导致了一个不同的形状。直到18世纪中叶，才解决了旋转流体物质的形式问题，答案是一个椭球体。

然而，地球的形状不是一个精确的椭球体，造成这种偏差有两个原因。（当我们提到地球的形状或尺寸时，我们指的是海洋的形状或尺寸，如果海洋覆盖了整个地球的话。）偏差的一个原因是当我们接近地球的中心时，地球的密度会增加。另一个原因是表面部分的密度有很大的不规则性。因此，水面线的真实形状充满了微小的偏差，这些偏差在现代的精确测定中表现得非常明显，对所有从事精确大地测量作业的人来说都是非常麻烦的。(www.xing528.com)

引力能够完全解释的另一个神秘现象是昼夜平分点即“二分点”进动或称岁差。我们之前将岁差的原因描述为恒星之间的天球极点位置的缓慢变化，导致天球赤道位置的相应变化。但是哥白尼的理论表明，天极是纯虚构的，因为天空根本不旋转，而是地球在旋转。天球的极点只是地轴指向的那一点。因此，当我们谈到哥白尼体系时，我们看到岁差一定是发生在地球上，而不是在天空中，而且仅仅是在地轴的方向上的一个变化，因为地轴大约要花25 800年才在天空中完成一圈转动。牛顿将这种效应追溯到太阳和月亮对地球隆起部分的吸引力，正如前面所描述的，是由地球赤道的离心力产生的。在目前的情况下，这种效应与地球本身是球形的，被一个围绕赤道延伸的巨大圆环所包围的情况非常相似。在图11中，AB表示围绕太阳S的圆环；地球绕太阳运动产生的离心力，将平衡太阳对地球的平均引力。因为A点离太阳更近，所以太阳对A点的引力大于对C点的，因此也就大于向心力。因此会有一个多余的力把A拉向太阳。在B点太阳的引力小于平均值，所以会有一个多余的力把B点拉离太阳。那个圆环是斜向太阳的，这些多余的力的作用会使圆环围绕C点旋转，直到AB线指向太阳。正像我们假设的那样，被固定在圆环中的球形地球，会随着圆环缓慢地转动，这样它的赤道就会朝向太阳。但地球绕轴自转阻止了这种效应，使其像一个陀螺仪，或像一个旋转的陀螺，并不是朝着太阳的方向，而是产生了一个非常缓慢的、与这个方向成直角的运动，因此我们才有进动（岁差）运动。这一运动的性质由图4可以最好地展示出来，当地球绕着太阳运动时，地球的北极总是向观察者的右侧倾斜，因此至点是A和C，而分点是B和D。太阳和月亮的引力对赤道隆起处的影响是，在6500年后，地球的轴线将向图片中的观察者倾斜，几乎倾斜23度；这样的话，至点就是B和D，而分点是A和C。如图所示，在6500多年后北极将指向左边而不是右边；在6500年以后，它将与观察者反向；最后，在第四个周期结束时，它将再次接近其当前位置。

图11

如果环AB的平面穿过太阳，我们所描述的效应就不会发生，因为从环AB向太阳拉A的力和从环AB向太阳拉B的力会直接相互作用，从而破坏彼此的效应。现在，这种情况一年发生两次，也就是说，当太阳在赤道上的时候（这个情况会发生）。因此，岁差运动是不均匀的，它比6月和12月太阳赤纬最大时的平均值大得多；比3月和9月太阳位于赤道平面时的平均值小得多。此外，在12月，地球比6月时更接近太阳，而且引力更大，所以这是另一个不均等的原因。

岁差不是由太阳单独产生的。月球是产生它的一个更强大的因素，虽然它质量较小，但它离我们更近，因而会对岁差产生影响^[2]。使太阳运动变化多端的同样的原因也使月球运动变化多端。我们还有一个额外的原因，那就是由于月球交点的旋转，月球轨道与地球赤道平面之间的倾斜，受到18.6年周期的振荡的影响，在岁差中也产生了相同周期的不均衡。我们所描述的岁差中的几个不均衡被称为地轴的章动，它们都被精确地计算出来，并在天文表中列出。

远古时期的航海民族都知道，潮汐的涨落和月亮的周日运动之间存在着奇异的联系。凯撒对他穿越英吉利海峡的描述表明，他对这个规律很熟悉。在描述月球运动时，我们发现，由于它在轨道上绕地球的旋转周期为一月，它每天都会比前一天晚50分钟上升，经过子午线和落下。潮水一天涨落两次，但对应的潮水总是比前一天晚，平均来说，与月亮变化延后的时间量相同。因此，在任何一个地方，潮汐总是发生在月球接近其视昼行轨道的同一点的时候。

海洋涨落的原因，以及它与月球的关系，一直是一个谜，直到万有引力表明它是由于月球对海洋水域的吸引力造成的。通过研究月球绕地球公转的情况，一天有两次潮汐的原因就会出现。假设M是月亮，E是地球，EM是它们的中心连线。现在，严格地说，月球绕着地球转，并不比地球绕着月球转得多；但根据作用力和反作用力原理，这两个天体中，每个天体的中心都绕着这两个天体的共同中心移动。地球的重量是月球的80倍，因而这个共同中心位于前者内部，大约是从其中心到其表面的四分之三处，在图中的G点处。

图12：使月球产生潮汐的引力

地球本身是固体，由于月球的引力，地球的每一部分都可以被认为是一个月描画一次的圆，其半径等于EG。由这个自转引起的离心力刚好与月球对地球的平均引力相平衡。如果这个引力在地球的每一个地方都是一样的，那么它和离心力之间在地球的任何地方都会有一个精确的平衡。但当我们从E到D时，由于距离的增加，月球的吸引力减弱了。因此，在D处，离心力占主导地位，因此水会倾向于从中心E处离开。当我们从E向C移动时，月球的吸引力增加，超过了离心力。因此，在C点有一种将水引向月球的倾向，仍然会使水从中心E处远离。在A点和B点，月球的吸引力增加了水的重力，这是由于其发挥作用的路线BM和AM会聚于这两个点；因此，月球的作用力往往使水在D点和C点上升，在A点和B点下降；因此，每一个月亮的视周日运动都会有两次潮汐。

如果所有的水立即被月亮的吸引力所吸引，那么当月亮在子午线上时，水总是很高的；当月亮升起或落下时，水总是很低的；当月亮位于地平线下路线的中间时，水又是很高的。但是，由于水的惯性，一个如此微小的力使水运动起来是需要一段时间的，一旦水开始运动，它就会在力停止后继续运动，直到作用力向相反的方向运动一段时间。因此，如果水的运动不受阻碍，那么直到月球经过子午线几个小时后，它才会是高水位。还有一种情况会干扰水的自由运动，即岛屿和大陆。这些东西改变了潮汐波的方向，在某些情况下，它可能使潮汐时间比预计时间晚很多小时，甚至一整天。有时两个波浪会相遇，掀起一个异常高的浪潮。在其他时候，潮汐可能会沿着一个很长的海湾上升，在那里，大量的水的运动会引起巨大的潮汐上升。在芬迪湾，这两个原因结合在一起。沿大西洋海岸向上的潮汐波与来自东部的海浪会合，并以它们的合力进入海湾，根据液压油缸中所见的原理，其浪头的水可以上升到60或70英尺的高度。

太阳和月球一样产生潮汐，它在地球两侧施加的力是相同的，作用在地球赤道隆起处产生岁差。太阳的产潮力大约是月球的。在新月和满月时，这两个天体联合起来发出引力，其结果是涨落大于平均值，我们就得到了“天文大潮”。当月亮在其周期的四分之一时或四分之三时，两个天体相互作用；起潮力是两个天体的引力差，涨落小于平均值，我们就有了“小潮”。

从万有引力理论中产生的最深刻的问题是，月球和行星运动中的所有不均等是否都有可能从它们的相互引力中计算出来。这个问题只有通过实际的计算才能得到完全的答案，并且要看每颗行星计算出来的运动结果是否与观测到的一致。然而，在所有其他行星的引力影响下，计算每颗行星的运动的问题是如此复杂，以至于还没有找到一个完整和完美的解决方案。在其最普遍的形式中，它如下所述：任何已知质量的行星都被投射到空间中，它们在某一时刻的位置、速度和运动方向都被给出。然后，根据万有引力定律，它们之间剩下的就是相互的引力了。这时需要找到普遍适用的代数公式，通过这些公式可以随时确定它们的位置。在这个普遍形式中，还没有找到整个解的近似值。但是，由围绕太阳的行星和围绕其初等星体的卫星所描述的轨道几乎是圆形的；这种情况为我们提供了尽可能精确计算行星理论位置的方法，只要我们能付出必要的劳动。

使问题如此复杂的原因是，作用于行星的力取决于它们的运动，而这些运动又是由作用于它们的力决定的。如果行星之间根本没有相互吸引，这个问题就可以完全解决，因为到时它们都会以椭圆形轨道运动，完全符合开普勒定律。假设它们以椭圆形轨道运动，它们在任何时候的位置和距离都可以用代数公式表示，它们彼此之间的吸引力也可以用同样的方式表示。但是，正是由于这些引力的存在，它们不会以严格的椭圆形轨道运动，由此得出的公式并不完全正确。简言之，这些困难就是几何学家不能严格地确定行星的运动，除非他知道所有其他行星对这个行星的吸引力，但是在没有解决他的问题的情况下，即在他不能首先知道行星位置的情况下，他无法确定这些引力的大小。

如何克服这些困难，在很大程度上，从牛顿时代到现在，已经引起了所有伟大数学家的注意；虽然还没有取得完全的成功，但是我们现在所掌握的太阳、月亮和行星在它们所规划的轨道上的惊人的精确性，以及这些轨道在过去和将来无数个时代中所确定的变化规律的正确性，表明他们的努力并没有白费。牛顿只能用几何学的方法来解决这个问题；他绘制了图表，并展示了这些力如何作用于两个行星轨道的不同部分，或太阳和月亮在不同位置上的力的作用方式。因此，他能够展示太阳对月球的引力是如何改变月球绕地球的轨道的，并正如观测所显示的那样，使其节点从东向西旋转，并大致计算出月球在其轨道上运动时的一个或两个不均等。

当欧洲大陆上的数学家们完全相信牛顿理论的正确性时，他们立刻用一种使他们领先于世界其他地方的能量和才能来解决行星运动的问题。他们看到了牛顿几何学方法的全部不足，以及有必要用代数方法来表示移动行星的力量，并且通过采用这个代数系统，可以比牛顿和他的同时代人都走得更远。18世纪后半叶是数学天文学的黄金时代。这一时期五个杰出的名字比所有其他名字更加闪耀：克莱罗、达朗贝尔、欧拉、拉格朗日和拉普拉斯，这五人里除了欧拉，其他人都是法国人，或出生在法国或定居在法国。终结这个行星运动问题的伟大作品是拉普拉斯的《天体力学》和拉格朗日的《分析力学》，它们体现了当时所有关于这个问题的已知内容，并构成了此后几乎所有能够取得的成就的基础。我们将简要介绍这些作品的一些成果，以及那些可能引起非数学专业读者兴趣的他们的科学继承者的成果。

也许这些结果中最引人注目的是行星轨道的长期变化。哥白尼和开普勒通过比较自己观察到的行星轨道和托勒密的行星轨道，发现这些轨道的形式和位置在一个世纪到另一个世纪之间发生了缓慢地变化。牛顿直接的科学继承者们能够将这种变化追溯到行星间的相互作用，从而提出了一个重要的问题，这种变化会永远持续下去吗？因为，如果变化持续下去，它将最终颠覆太阳系，毁灭我们地球上的所有生命。地球的轨道，以及其他行星的轨道，偏心率会变得很大，以至于在这样的轨道上运转，会有一次很接近太阳，而另一次离太阳很远，温度的变化将是无法承受的。然而，拉格朗日通过一个数学证明表明，这些变化是由于一个规则的振荡系统在整个行星系统中延伸，其周期非常长，在人类观察行星的所有历史进程中，只观察到了一个渐进运动。这些组合振荡的数目与行星的数目相等，它们的周期从50 000年一直到2 000 000年不等，即“永恒的大钟，它的一年就像是我们的一秒”。由于这些振荡，行星的近日点可能朝任意方向转动，轨道的偏心率会有所不同，但不会变得特别离谱，以致干扰太阳系的规律性。大约18 000年前，地球轨道的偏心率约为0.019；从那时起，它就一直在减小，并将在未来的25 000年内继续减小，届时它将比我们太阳系现在的任何行星轨道都更接近一个圆。

由于月球运动而产生的一些问题尚未完全解决。18世纪初，哈雷通过对比古代月食和现代观测到的月食发现，我们的卫星正在加速它的绕地运动。事实上，它现在的位置比按照匀速运动计算出来的位置要早一度（如果假定从希帕克斯和托勒密时期起，它的运动是匀速的来计算的话）。这种加速度的存在是在拉格朗日和拉普拉斯时期完全确定的，对他们来说是一个巨大困惑的根源，因为他们认为自己已经在数学上证明了行星或卫星的相互吸引永远不会加速或延迟它们在轨道上的平均运动，因此月球的运动似乎受到了一些其他力的影响，而不是万有引力。在几次解释这个运动的徒劳尝试之后，拉普拉斯发现，由于地球轨道偏心率的长期减小，太阳对月球的作用力正以加速其运动的方式在逐渐变化。他计算了加速度的大小，发现它大约是一个世纪内加速10秒，它在月球上的作用就像在下落物体上的重力作用一样，总的影响会随着时间的平方而增加；也就是说，在一个世纪后，月球运动会比以前提前10秒，在两个世纪后，它将提前40秒，在三个世纪后，提前90秒，以此类推。

这一结果与观测到的加速度非常吻合，这是由古代月食与现代数据的比较所决定的，直到拉普拉斯之后很久，才有人怀疑它的正确性。但是，1853年，英国的J.C.亚当斯先生，作为两位从天王星的运动中计算出海王星位置的数学家之一，承担了重新计算地球偏心率变化对月球平均运动的影响的任务。他很惊讶地发现，在计算过程比拉普拉斯做得更深入以后，计算结果从10秒（拉普拉斯的结果）减少到了6秒。另一方面，对古代和现代观测结果的进一步研究似乎表明，它们给出的加速度甚至大于拉普拉斯发现的加速度，几乎达到12秒，而不是10秒，也就是说，这个加速度是亚当斯先生根据引力理论计算的加速度的两倍。

亚当斯先生宣布这一结果一开始令人惊讶和怀疑，并引起了最著名的科学讨论之一。当时三位伟大的天文数学家汉森、普朗纳和德庞特库兰都对亚当斯的结果的正确性表示怀疑，并坚持认为拉普拉斯的结果不受亚当斯发现的任何错误的影响。事实上，汉森用一种与前人完全不同的方法，得出了一个12秒的结果，这个结果比拉普拉斯的结果还要大一些。另一方面，巴黎的德洛内用他自己的一种新的、巧妙的方法，得出了一个与亚当斯先生完全一致的结果。于是，当时的五位顶尖专家就一个纯粹的数学问题分成了两方，而要解决这一争端则需要几年时间。大多数人不仅有观察的事实支持，而且得到了拉普拉斯的权威支持；而且，如果这个问题可以通过观察或权威来解决，那他们一定会撑到那一天。但这个问题完全是纯数学的问题，取决于太阳引力对月球运动的影响的计算。双方就观察数据是达成一致的，但只可能有一个正确的结果，因此只有通过计算才能得出最终的结果。

这个问题的决定不能耽搁太久。大多数人对于亚当斯先生的假定误差是什么，或者月球加速度的精确数学表达式是什么，实际上没有一致意见。另一方面，亚当斯先生确凿地表明，德庞特库兰和普朗纳的方法是错误的；对这个问题的研究越深入，就越明显地表明他是对的。凯利先生用一种新方法对结果进行了计算，而德洛内则用另一种方法进行了计算，两者的结果都与亚当斯先生的结果一致。尽管他们的对手从未正式投降，但他们还是默认地放弃了这块阵地，让德洛内和亚当斯不受干扰地占有了这块阵地。^[3]

因此，最终确定加速度的真实值约为6秒，德洛内计算发现的最后一个值为6秒18。这一结果仅为古代月食观测结果的一半左右，因此，观测到的加速度与理论加速度之间似乎存在差异，原因有待研究。一个可能的原因已经知道了：潮汐波产生的摩擦力一定在不断地阻碍地球在其轴线上的周日运动，尽管还不能说明这种阻碍的程度有多大。其结果是，一天会逐渐地、但不断地增加长度，我们的以天为单位的时间计数，会总是变慢。因此，月球的运行速度似乎会更快，而实际上只是地球的运行速度变慢。只要理论与观测到的月球加速度一致，就没有必要援引这个原因；但是，既然存在差异，它就提供了最合理的解释。

因此，这个问题的理论是，毫无疑问存在一个6秒18的实际加速度，和一个由于地球自转的潮汐减速而产生的额外几秒钟的视加速度，其具体数据只能通过比较不同世纪时的月球运动来发现。古代缺乏精确的观测结果，使得这一数据的确定变得困难和不确定。最值得信赖的古代记录是古希腊和古罗马古典作家传给我们的、目前假定为日全食的叙述。这些日食中最古老和最著名的一次与泰勒斯这个爱奥尼亚哲学家的名字有关，我们对它的了解来自希罗多德的以下描述：

“在这之后（因为阿利亚特并没有在赛拉克萨雷斯的要求下，以任何方式向塞西亚人投降），吕底亚人和玛代人之间的战争持续了五年，在这五年中，玛代人经常征服吕底亚人，吕底亚人反过来又征服玛代人。在这时候，他们也发生过一次夜间的争战，那时双方都僵持不下，已将战争拖延到了第六年。在第六年发生的一场争战中，当两军正在争战时，白昼恰巧忽然变为黑夜。当时，米利西亚人泰勒斯（Thales）向爱奥尼亚人预言过白天（变成夜晚）的变化，并为这种变化设定了时间限制（在这个时间限制之内必会发生），这一年它的确发生了。现在，吕底亚人和玛代人发现黑夜取代了白昼，就都停止了战斗，双方都更加渴望彼此和睦。”

在这种情况下，如果我们知道战斗的时间和地点，如果我们知道所指的黑暗实际上是日全食的黑暗，那么就很容易计算出，能使黑暗的阴影越过战场的月球的运行轨迹。但是，对于那些反思希罗多德（写作）不加鉴别的读者来说，希罗多德对事件描述的模糊性将暗示一些怀疑，我们是否真的认定那是日全食。此外，战斗的时间误差是20年或20年以上，唯一确定的方法是从日月表中计算出在可接受的时间范围内，发生战争的地区所经历的所有日食。因此，我们发现唯一能满足条件的日期是公元前584年5月28日，那时小亚细亚或其附近一定发生了日全食。但是，除非我们假定的确是日全食导致了这场战斗的结束，否则关于这个日期没有什么可以得出的结论；由于这一点似乎不确定，天文学家不太可能会对它特别关注。

另一个著名的日食被称为阿加索克利斯日食。这位指挥官的舰队被迦太基人封锁在锡拉丘兹港，当敌人的注意力被转移到一支补给护航队的时候，他得以逃到海上，并乘船向迦太基驶去。“第二天，日食如此之大，以致白天完全呈现出夜色，到处都是星星。”毫无疑问，这是日全食，而且日期已经确定，即公元前309年8月14日。但是，不幸的是，还不知道阿加索克利斯在去迦太基的途中是走的西西里岛的北部还是南部，因此我们不能从这次日食中得到任何确定的结果。

这些关于日全食的历史记载是不确定的，有人试图从托勒密《至大论》这本书中记录的月食和阿拉伯天文学家在九世纪和十世纪的观测中，得出月球的加速度。这些观测结果与我们在给月球分配一个约8秒4的长期加速度时所预期得一致，比根据万有引力定律计算出的加速度多2秒多。另一方面，如果我们承认在战斗地点发生的泰勒斯日食是日全食，那么总的加速度将是12秒，所以这两个结果是完全不相容的。哪一个才是正确的结果，这个问题只能由未来的调查研究来决定，但作者认为，那个较小的数值是建立在更可靠的数据上的。

长期加速度并不是月球平均运动的唯一变化，这让数学家们感到困惑。大约在18世纪末，拉普拉斯发现月球的实际位置已经落在它计算的位置后面很多年了，这一结果似乎表明有一些长期的振荡被忽视了。他对这种不均等做了两种推测性的解释，但随后的调查研究人员都反驳了这两种说法。因此，这个问题一直没有得到令人满意的解决，直到1846年，汉森宣布金星的引力在月球运动中产生了两个长期的不均等，这一点以前被忽视了，并且这些都充分解释了观测到的月球的位置偏离。这些项是由德洛内重新计算的，他发现其中一个结果与汉森的结果非常吻合。但是第二个结果非常小，以至于从观察中无法检测到，所以这是另一个数学上的差异。然而，这次没有太多讨论的余地。汉森自己也承认，他无法从万有引力理论中以令人满意的方式确定这个不均等的量，使它与观测结果一致。这是一个经验过程，如果数学家能够避免它，他将永远不会采用这个过程。即使观察结果如此令人满意，怀疑仍然存在。但最近发现，汉森的这一经验项与观察结果不再一致，也与1700年以前的观察结果不完全一致。因此，我们的卫星运动仍有缓慢变化，而万有引力还没有解释这一点。很明显，我们不得不得出这样的结论：月球的运动是受天体引力以外的其他原因影响，或者这些不均等现象只是视觉上的，实际上是由于地球的轴自转，以及由此产生的一天的长度而产生的微小变化。如果我们承认后一种解释，那么可以推出地球的自转会受到潮汐摩擦力以外的其他原因的影响；而且，地球自转不是均匀地减少，而是不规则地随时间变化。观测到的月球运动中的不均等现象，可以完全由地球自转的变化来解释，总计约为半分钟的时间变化——这些变化可以由一个完美的时钟持续走许多年来检测到。但是，由于这些变化需要很多年才能发生，还没有哪一个时钟能够检测到这些变化。

另一个万有引力理论不能完全解释的变化是水星的运动。勒威耶通过对这颗行星在太阳圆盘上所有观察到的凌日运动的讨论，发现水星近日点的运动在一个世纪内比其他行星的引力计算出的结果要多40秒。他把这归结为水星和太阳之间的一组小行星的作用。然而，在这种形式下，这个解释并不完全令人满意。首先，如果在其他时间没有发现这组行星，但在日全食期间，这样一组行星不可能存在而不被发现。其次，如果承认它们存在，它们必定会对水星轨道的位置产生长期的变化影响，而这种变化似乎与理论完全一致。勒威耶通过假设这组小行星与水星轨道在同一平面上而解释了这一点，但在这一平面上发现这样一组小行星是极不可能的。然而，有一种联合的解释至少值得考虑。下文将描述的黄道带光的现象表明，在太阳周围有一个巨大的物质盘，并延伸到地球的轨道上，在那里它逐渐消失。这种物质的性质是完全未知的，但它可能由一群微小的粒子组成，围绕太阳旋转，反射太阳光，就像行星一样。如果这些粒子的总质量等于一个非常小的行星的总质量，比如说地球质量的十分之一，它将引起观测到的水星近日点的运动。关于这一问题的证据将在讲水星时做更充分的展示。

除了刚刚描述的特例外，迄今为止太阳系中的所有运动，都与万有引力理论的结果完全一致。天文表中仍然存在的一些小缺陷似乎主要是由于数据错误造成的，数学家必须用这些数据开始计算行星的运动。行星的公转时间、轨道的偏心率、近日点的位置以及它在某一时刻在轨道上的位置，这些都不能用万有引力理论计算出来，而只能从观测中推导出来。如果观测是绝对完美的，任何精度的结果都可以从中获得；但是所有仪器的缺陷，甚至人类视力本身的缺陷，都会阻止观测达到理论天文学家所追求的精度，所以经常需要考虑到“观察误差”和“表格误差”。

有人指出天体分为两类，一类是由大量恒星组成的天体，它们总是保持相对位置，就好像它们被放置在一个水晶球中一样，而另一类则是根据之前描述过的定律，按照各自的轨道运动的。我们现在知道，这些运动的天体或行星本身就形成了一个家族，被称为太阳系。这个系统以太阳为中心，有许多大行星围绕它旋转，卫星或次行星围绕大行星旋转。在望远镜发明之前，人们只知道六颗大行星，包括地球和它的一颗卫星，即月球。借助望远镜以后，在土星轨道外又发现了两颗主要行星，在火星和木星轨道之间发现了一大群较小的行星；而这四颗外行星——木星、土星、天王星和海王星——分别是一个或多个卫星的运动中心。太阳与行星的区别不仅在于其巨大的质量，其质量是其系统中所有其他天体质量总和的几百倍，而且在于其自身的光照，而行星和卫星都是不发光的天体，仅通过反射太阳光而发光。

在这个系统中，我们可以看到一个显著的对称结构，即所有的大行星和所有的卫星都在接近圆形的轨道上旋转，而除了两个外行星的卫星以外，几乎所有的运行轨道都在同一平面上。根据万有引力定律，这一系列行星都被固定在一起，并保持在各自的轨道上，万有引力的作用使得每一颗行星可以在不改变系统结构的情况下进行无数次旋转。

把我们的注意力从这个系统转移到数千颗散布在天空上的恒星上，首先要考虑的是与太阳系的尺寸相比，它们之间分隔的巨大距离，尽管太阳系本身已经是无法想象地巨大了。为了给出这个相对距离的概念，假设一个旅行者穿越宇宙空间，能在二十四小时内从太阳到达我们系统最外层的行星。他的速度是如此之快，以至于只需不到十分之一秒的时间，就能让他穿越大西洋，从纽约到达利物浦。从太阳开始，以这个速度，他将快速连续地穿过内行星的轨道，而穿过外行星的轨道时则会变慢一些，直到一天结束时，他将穿过海王星的轨道，到达我们系统的边界。但是，尽管他第一天通过了8颗行星，但第二天他不会通过任何一颗行星，因为在他到达最近的恒星之前，他必须在不降低速度的情况下旅行18或20年，然后在到达下一颗之前，他必须再次继续同样这么远的旅行。在最初的三天旅行过后，我们太阳系中的所有行星都会在远处消失，而太阳则会变成天空中一颗微不足道的恒星。由此得出的结论是，我们的太阳是大量自发光天体中的一个，这些自发光天体的散落距离如此之远，以至于即使旅行者以我们想象的速度飞行，也需要数年的时间才能穿过它们之间的空间。因此，太阳系和恒星系为我们提供了两个不同的研究领域，我们将在讲述研究它们的仪器和方法之后探讨这两个领域。

[1] 皇家天文学会回忆录，第十九卷。

[2] 这可能需要一些解释，因为太阳对地球的吸引力是月球的100倍以上。产生岁差的力与地球两侧，或图25中A和B的引力差是成正比的，而在月球引力的情况下，这个差值更大。事实上，它的变化与吸引体之间距离的立方成反比。

[3] 作者有理由相信这是一个历史事实，即汉森在修改自己的计算时，计入了他最初认为不可理解的术语，发现实质上他将得出亚当斯的结果，尽管他从未正式发表过这一事实。