实测样本中的随机变量参数统计：Bayesian方法

2.2.4.1　随机变量分布参数统计的Bayesian方法

反映服役结构基本变量特性的信息，有的在采集（或测试）之前，往往对其结果有粗略的预估，因为可以根据经验或类比得到其参数估计。按一般的方法，参数统计要求样本量较大，而对服役结构而言一般难以实现，因此，往往需要利用间接的信息或后续观测和测试的样本给予补救。Bayesian方法可将现有观测收集到的样本与后续观测或测试的样本结合起来，更有助于建立服役结构的随机变量的更新概率模型。

Bayesian定理最初由18世纪英国牧师Bayes提出，之后法国的Laplace加以改进［178］。目前使用的就是经Laplace改进后的Bayesian定理，其推断的基本方法是将关于未知参数的先验信息与样本信息综合，再根据贝叶斯定理得出后验信息，然后根据后验信息去推断未知参数。这种方法对有不断积累的观测数据的情况，如年最高洪水位这样的随机变量的分布参数估计是适合的，而且随着数据量的不断积累，可以建立其参数的更新模型。

Bayesian方法也可作区间估计。上述的Bayesian分析方法，为新的观测数据对随机变量原来的随机特性修正提供了方便。对于年最高水位这样的每年都有新的观测数据产生的随机变量，如果每年都更新，可应用确定性的验证荷载方法（即将每年的最高水位作为确定的值）［42，156］；如果是每隔一定的年份再更新模型的分布参数，则按照上述方法进行（之前的为先验分布；最近观测的小样本分布作为似然函数参加更新计算）。

【例2.2】对于［例2.1］的年最高洪水的概率分布模型，在1989年之后继续进行观测，即不断地进行数据积累，则根据上述Bayesian方法和新的数据可对分布参数进行修正。表2.2是该水位水文站在1989年之后的10年间观测的年最高洪水位，要求对上述分布模型参数进行修正。(www.xing528.com)

表2.2　某市水文站近10年实测的长江堤防年最高洪水位（1989～1999年）　单位：m

按照上述Bayesian方法，通过1989年以后水文站测得的10个数据，对前面的58个数据得出的统计参数进行修正。由于数据来自同一样本总体，即似然函数L（θ）为正态分布（按上述检验，正态分布更近似于实际分布），其均值和方差为μ*＝16.951，σ*2＝0.9122。表2.1中的58个数据的概率分布可认为是先验概率密度函数（正态分布），其均值和方差分别为μ＇＝15.360，σ＇2＝1.3322。按式（2.30）和式（2.31）可得其后验概率密度函数的均值和方差分别为μ″＝16.443，σ″2＝0.5662。此时，年最高水位的概率分布从N（15.360，1.3322）更新为N（16.443，0.5562）。从结论可以看出，后验概率密度函数的方差减小，相对减小了不确定性。

利用后续观测或测试样本和Bayesian方法，更新了统计的参数，减少了由于数据量少等产生的客观和主观不确定性；新的分布使原来的经验分布不断得到动态更新，以反映最新的客观实际。

2.2.4.2　与验证荷载结合的服役构件抗力估计的Bayesian方法

服役工程结构与拟建结构最大不同点之一是存在所谓的验证荷载，即结构在使用过程中已经受过的荷载效应［61，62］。这种验证荷载及效应可以作为服役结构抗力估计的一个重要依据，利用Bayesian方法可得到服役结构或构件抗力的后验分布［96，180］。