随机变量的模糊数学检验与统计分析

2.2.3.1　结构基本随机变量的分布假设检验方法

在实际计算和可靠性评价过程中，观察、量测及调查的样本一般为小容量样本。因此，反映服役结构基本变量的统计信息大多属于小样本统计，且希望利用来自间接信息加以补充。对于基本变量的随机性，在假定一种理论分布之后需检验这种分布假定是否符合，即进行“有效性检验”。有效性检验一般是检验来自自身信息的有效性，也可检验来自非自身的信息。随机变量随机性的分布假设检验方法包括参数假设检验（如U—检验、t—检验、χ2—检验、F—检验等）和非参数检验（如概率图纸法、χ2拟合优度检验、K—S检验等）［12，171，179］。

服役结构可靠性分析中存在着一类随机变量，其样本数据收集时由于时间的有限或一些客观存在的原因（如大坝上游水位最大值一般不能超过坝顶高程，材料的抗拉、抗压强度不可能小于零），样本中只得到了其下界（或上界），这些数据称为“截尾的”。结构可靠性分析中，常用的截尾是右截尾（如存在验证荷载而产生抗力的截尾分布），也可能用到左截尾（偏于安全的材料参数变量的左截尾）。服役结构可靠性分析时，常用的是所谓的“Ⅱ型截尾”［173，174］，即截尾样本中n个被观测的验证样本中有k个失效。如工业厂房若干根（n根）吊车梁，在原荷载效应作用下运行若干年之后观察到有k根失效，从该信息来分析剩余吊车梁的实际抗力，即属于Ⅱ型截尾数据的统计和检验问题。对于Ⅱ型截尾的信息检验，可以给出在考虑先验分布F0（x）完全指定的情形下的检验统计量［172］。设数据在X（r）处Ⅱ型截尾，X（r）是容量为n的随机样本中的第r个最小观测值，则可得到以下统计检验量［172］：

2.2.3.2　随机变量概率模型的模糊数学检验方法

（1）实际样本与理论概率模型近似中存在的模糊性。在进行服役结构基本随机变量概率模型的判定时，由于客观条件限制，只可能把相对有限的试验、检测或调查数据作为样本点代替连续型的随机变量分布进行假设检验与统计，相对地确定其概率模型。上述统计检验方法，例如χ2和K—S法都存在一定的缺陷。其中，χ2拟合检验实际上是比较子样频率与母体的概率，是依赖于区间的划分的，而且条件比较苛刻，有时难做到；而K—S法是比较子样经验分布函数和母体分布函数，是在某样本点Xi上，样本总体中其值不大于Xi的样本点个数与总体中样本点数的比值（实际频率）为Pi，Pi与某一分布函数在Xi点的计算值之间差值绝对值最大，判定其是否小于临界值（由显著水平确定）来确定概率模型的归属［171］，这样就没有考虑其余样本点本身所含的信息（除个别可控制因素外），而K—S法的条件比χ2法的条件放宽了。

影响服役结构可靠性的基本变量与其结构和自身所处环境密切相关；而上述的随机变量的假设有效性检验方法在一定的显著水平下，可能会出现随机变量对多种概率模型分布均不拒绝的情况。实际上，无论取多少个样本点（n个），只能说明样本更近似服从于某种概率分布，而“近似”不具备明确的外延概念，故这种“近似”有其模糊性的一面［176］。

一般情况下，很难明确究竟哪一个概率分布更好。如图2.3所示，某一点xi，nxi/n可能距函数F1（x）最近，而另一点xj，nxj/n可能更接近于另一个函数F2（x），其中的nxi和nxj为其值小于等于xi或xj的样本点个数。因此，这里的模糊性是指，实际分布总体近似某一概率模型“近似”的边界不明确性。

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图2.3　实际样本与假设概率模型近似的关系［176］

（2）随机变量概率模型的模糊数学检验方法。设随机变量获得n个样本值X（x1，x2，…，xn），其任一个xi，nxi/n为X的经验分布函数值，而假设的概率分布F（x）值F（xi）为X在xi点的理论分布函数值，nxi为其值小于xi的样本点个数。若有m个可能的分布函数Fj（x），（j＝1，2，…，m），则nxi/n值与Fj（xi）的接近程度各不相同，设其比值为aj（xi），aj（x）∈［0，1］（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m）。aj（xi）反映了样本函数与假设分布之接近关系，极端情况则是，aj（xi）＝1，两函数值重合为一。aj（xi）越小，则Fj（xi）越偏离实际的经验分布函数。

上述aj（xi）是一个确定数，而aj（xi）的标准是多少才算接近，则是一个模糊量。因此，引入模糊集合的概念进行处理，将aj（xi）模糊化为表示论域U＝（x1，x2，…，xn）上的m个模糊子集，而U中的元素xi（i＝1，2，…，n），对于的隶属度为，则有［176］：

【例2.1】江河防洪系统中现有堤防的年最高洪水位的概率模型检验及分析，是现有堤防工程加高设计计算时确定设防水位的重要计算内容之一。某段堤防是位于长江下游某市的长江堤防，其洪水主要来自中上游。长江流域的洪水由暴雨形成，洪水过程与暴雨相应。现有该市的水文站实测58个年最高洪水位数据，见表2.1（从1924～1989年，其中在抗战期间没有实测值）。通过经验并假设其服从正态分布或极值I型分布，由上述的模糊数学检验方法检验这两个假设的概率分布模型与实际年最高洪水位分布的接近程度。

表2.1　某市水文站实测的长江堤防年最高洪水位（1924～1989年）　单位：m