高速铁路同相供电的补偿功率与容量

为便于观察，以下分为仅补偿负序和综合补偿（指负序和无功同时补偿）两种情况进行讨论。

1．仅补偿负序时

根据补偿功率的定义，某一相的（期望）补偿功率为该相电压与该相的补偿电流共轭向量乘积。即

根据式（4.85），仅补偿负序时，代入式（4.120）可得

再将式（4.111）代入式（4.121），可得

式中，Skph为k相的补偿功率。

定义总补偿容量为各相补偿容量之总和，并令SΣph代表总补偿容量，Skph代表k相的补偿容量，则

说明仅补偿负序时，各相补偿容量和总补偿容量仅与负荷的容量和负序的补偿度有关，与负荷的接线角无关。各相补偿容量大小相等，且恒等于，总补偿容量恒为KNSf；改变负荷的接线角只能改变补偿功率的辐角，不能改变补偿容量的大小。

由于平衡补偿装置的主要作用是实现各相功率均衡，这就决定了平衡补偿装置必须具备两个重要特性：功率传递特性和补偿功率旋转特性。

1）功率传递特性

三相120° 接线各相补偿功率为

参照例4.1，当负荷接在bc相间时，以等效星形电压为参考，ψf=90°，则

式（4.125）两个表达式的右端一个为“－”，另一个为“＋”，其中a相（期望）补偿功率为负，而b、c相的（期望）补偿功率为正，这表示要实现三相平衡，补偿装置必须从系统a相吸收功率，并同时向bc端口输出功率。相当于功率从系统a相经补偿装置流向bc端口，流入流出补偿装置的功率相等。

两相90° 接线各相补偿功率为

同样，Sαph+Sβph=0，参照例4.2，当负荷接在β 相，则

式（4.125）和式（4.127）再次说明，补偿装置补偿负序时的功率传递特性。也就是当补偿负序时，补偿装置必须从系统非负荷相吸收功率，经补偿装置又流向负荷，而且补偿装置从系统吸收的功率等于补偿装置输出给负荷的功率，输出和吸收的总功率代数和恒为零。

补偿负序时补偿装置的功率传递特性，从平衡补偿原理来看是十分明显的，因为要实现各相完全平衡，就必须使每一相所承担的功率相等，对于各相不均衡的负荷只有通过平衡补偿装置传递功率才能实现系统各相平衡。

结论4.1　同相牵引供电系统实现系统平衡的充要条件是补偿装置必须将Sf/n功率从系统每一个非负荷相传向负荷端口——称为补偿装置的功率传递特性。

2）旋转周期特性

为了理解补偿负序时补偿功率的旋转周期特性，引入旋转矢量，定义为

式中　R——旋转矢量的模值，对应各相的补偿容量，；

θ——旋转矢量的旋转因子，θ=2ψf+φf。

当改变接线角ψf或改变负荷的功率因数角 φf，使旋转因子θ增加或减小时，则旋转矢量将保持模值不变逆时针或顺时针方向旋转，其轨迹是以R为半径的圆。

对于三相系统，令n=3代入式（4.128），则补偿功率Saph、Sbph和Scph可以理解为是以R为半径、以θ 为旋转因子的三个旋转矢量。各相补偿功率与旋转矢量有如下关系：

如图4.17所示，三个旋转矢量始终彼此相差120°，具有旋转矢量的旋转不变性，即具有以下恒等式：

当θ 增加120°，则Saph、Sbph和Scph逆时针旋转120°；当θ 减小120°，Saph、Sbph和Scph顺时针旋转120°；当θ 增加或减小360°时，Saph、Sbph和Scph逆时针或顺时针旋转360°，重新回到原位。

对于两相90° 接线系统，令n=2代入式（4.128），则补偿功率Sαph和Sβph也是以R为半径、以θ 为旋转因子的两个旋转矢量。补偿功率与旋转矢量有如下关系

当θ 增加90° 或减小90°，则矢量Sαph和Sβph将逆时针或顺时针旋转90°；当θ 增加180°或减小180°，矢量Sαph和Sβph将逆时针或顺时针旋转180°。

图4.17　负序补偿容量的旋转特性

结论4.2　仅补偿负序时，只要负序补偿度和负荷不变，则各相补偿功率的大小，即补偿容量就恒定不变，企图通过改变负荷的接线角或变压器的接线方式来改变补偿功率的大小则是徒劳的。改变负荷的接线角，各相补偿功率轨迹将是以为半径的圆。——称为补偿功率的旋转特性。

2．综合补偿时

为不失一般性，以满意补偿模型二为例，根据式（4.91）向量式两边取共轭，再乘以，得

式中，为k相正序无功功率，是正序功率的无功分量，与正序无功电流对应。

由式（4.132），可得k相补偿容量为

总补偿容量同样有两种定义，根据分总视在功率定义总补偿容量为

根据集总视在功率定义总补偿容量为

式（4.134）的物理意义比较明确，是选择补偿装置容量的主要依据，后面在没有特殊指明情况下都是指分总补偿容量。

综合补偿时，补偿功率的特性与仅补偿负序时有所不同，以三相系统为例，根据式（4.132），则

令

式中，，当无功补偿度、负荷容量和功率因数角一定时，d为与负荷的接线角无关的常量；为旋转矢量，如式（4.128）所示。比较式（4.129）和式（4.137）可见，综合补偿时与仅补偿负序时有所不同。与仅补偿负序时相比，综合补偿时每一相补偿功率增加了一个常量d，但三个补偿功率矢量轨迹依然是以为半径的圆，圆轨迹整体向上偏移了，如图4.18所示，其中虚线圆为仅补偿负序时旋转矢量的轨迹，实线圆为综合补偿时旋转矢量的轨迹。

从图4.18可以看出，各相补偿容量不在保持恒定，而是随旋转因子θ 的改变而改变。那么，对于三相120° 接线和两相90°接线，确定的负荷接于不同的端口，补偿功率和补偿容量会有什么变化呢？

图4.18　综合补偿时补偿容量的旋转特性

对于三相120° 线共有三个标准端口（由接线方式自然形成的固有端口称为标准端口），如Y，d11接变压器三角侧可以提供ab、bc、ca三个标准端口，各端口接线角彼此相差120°，当负荷接于不同端口时，相当于θ 依次增加240°（等价于减小120°）或减小240°（等价于增加120°）。

当θ 增加120°，Saph、Sbph和Scph将逆时针旋转120°，这时Saph、Sbph和Scph将分别与旋转前的Sbph、Scph和Saph重合。(www.xing528.com)

当θ 减小120°，Saph、Sbph和Scph将顺时针旋转120°，这时Saph、Sbph和Scph将分别与旋转前的Scph、Sbph和Saph重合。

对于两相90° 接线共有两个标准端口α 相和β 相端口，两个端口接线角相差90°，改变负荷接线端口，相当于旋转因子θ 增加180° 或减小180°，而当θ 增加180° 或减小180°，则旋转矢量Sαph和Sβph都将旋转180°。

结论4.3　综合补偿时，对于相同的负荷，接入不同的标准端口，只能改变补偿容量在各相上大小分布，并不能改变总补偿容量。

以下分120° 接线和90° 接线两种情况证明结论4.3。

1）三相120° 接线

以YN，d11接线为例，牵引负荷接三角侧一个端口，三角侧共有三个端口，各端口彼此相差120°。所以，改变负荷接入的端口，相当于在原基础上接线角增加或减小120°。令接线角改变后各物理量右上方加“′”，以区别改变前各物理量。则负荷端口改变后的接线角为，代入式（4.136）和式（4.96），可得

其中，m、k∈X，φm=φk∓120°，“－”表示m相超前k相120°，“＋”表示m相滞后k相120°；表示接线角改变后的k相补偿功率；表示接线角改变后的k相补偿系数。

将式（4.140）代入分总和集总补偿容量表达式（4.134）和式（4.135），得

式中，分别为负荷接线角改变后的分总补偿容量和集总补偿容量。

式（4.138）说明接线角改变后的k相补偿容量和功率正好分别等于改变前m相的补偿容量和功率。式（4.141）说明改变接线角三相总补偿容量不变。

2）两相90° 接线

以Scott接线为例，两个端口相差90°，以为参考。假设负荷接于α 相（端口），则ψf=0°，所以

当负荷接于β 相（端口）时，，则

式（4.146）说明两相90° 接线，负荷接于α 相（端口）和接于β 相（端口），两相补偿容量只是交换了相别，但总补偿容量不变。

【例4.3】三相120° 接线系统，参照例4.1条件，负荷功率因数cosφf=0.809 0，依次改变负荷接入的端口为ca、bc、ab，并令KN=KC=1，计算各相补偿容量及三相总补偿容量。

解：根据式（4.96）、式（4.132）、式（4.134）和式（4.135），以为参考，计算可得：

当负荷接在bc端口时，ψf=-120°，则

当负荷接在ab端口时，ψf=120°，则

当负荷接在ca端口时，ψf=0°，则

说明改变负荷的接入的端口，各相补偿容量大小只是依次轮换，但三相总补偿容量不变。

【例4.4】以两相90° 接线为例，参照例4.2条件，负荷功率因数cosφf=0.809 0，依次改变负荷接入的端口，并令KN=KC=1，计算各相补偿容量及两相总补偿容量。

解：根据式（4.96）、式（4.132）、式（4.134）和式（4.135），以为参考，计算得：

负荷接于α 相，ψf=0，则

当负荷接于β 相，ψf=90°，则

同样说明，负荷接α 相时的两相补偿容量Sα、Sβ分别等于负荷接β 相时两相补偿容量Sβ、Sα，两相总补偿容量不变。

3．最小补偿容量

根据前面分析可知，在确定的负荷和补偿目标下，有两种情况无论负荷接线角和变压器接线方式怎样变化，总补偿容量恒定不变：

一是仅补偿负序时总补偿容量恒定不变。仅补偿负序时补偿容量仅与负序补偿度和负荷容量有关，与负荷的接线角、变压器的接线方式和负荷接入端口无关，也就是无论采用什么样的变压器，即便是负荷接线端口及接线角任意变化，总补偿容量也不会改变；

二是综合补偿时，只要负荷是接在标准端口上，则总补偿容量同样恒定不变。无论是采用三相120° 接线变压器，还是采用两相90° 接线平衡变压器，负荷接任何一个标准端口，总补偿容量始终不变。

因此，只有在综合补偿时，即负序和无功同时补偿时，且不受常规变压器标准接线端口限制，负荷接线角可任意选择的条件下，补偿容量才与负荷接线角有关，这时讨论最小补偿容量才有意义。

综合补偿时，由补偿容量表达式可知：确定的负荷（即负荷容量和功率因数一定），当负序补偿度KN和无功补偿度KC一定时，负荷的接线角就是影响补偿容量的唯一因素。由于无功的存在各相补偿容量大小不在均衡。改变负荷接线角，式（4.132）Skph的系数Kk和幅角 γk改变，因此各相补偿功率的大小和辐角都会发生变化。

根据集总补偿容量的定义，可得[71]：

式（4.147）说明集总补偿容量与接线角无关。但补偿装置的容量主要是根据分总补偿容量确定。根据分总补偿容量定义，针对负荷接线角ψf求总补偿容量极小值，以两相90°接线为例，δα=2ψf+φf、δβ=δα-180°，可得

式中，，b=2KNKCsinφf；Kα、Kβ如式（4.143）所示。由式（4.148）可见，最大值发生在sinδα=0时，最小值发生在sinδα=± 1时。

当sinδα=0时，最大值补偿容量为

这时，分总补偿容量与集总补偿容量相等。

当sinδα=±1时，（n为自然数和零），最小补偿容量为

对于两相90° 接线系统，假定Sf=100 MkV，φf=36°时，负荷接线角与补偿容量的关系，如图4.19所示。接线角在0 ～2π 之间变化时，最小值分别出现在（见图4.19）ψf=27°，117°、207°、297°。与负荷接于α 相（ψf=0）或β 相（ψf=π/2）时，SΣph1=1.118Sf相比，总补偿容量约减小11.8%。

图4.19　两相系统接线角与补偿容量的关系

对于三相120° 接线系统，同样当Sf=100 MkV，φf=36°时，负荷接线角与补偿容量的关系如图4.20所示。由图4.20可见，总补偿容量随负荷接线角的变化幅度较小。负荷接线角在0 ～2π 之间变化时，最小值分别出现在：ψf=57°、117°、177°、237°、297°、357°。根据式（4.134）计算，最小补偿容量为SΣph1=1.064 4Sf与负荷接于a（或b、c）相上相比，总补偿容量约减小0.14%。可见，对于三相系统，负荷端口接线角的变化对总补偿容量影响微乎其微。

图4.20　三相系统接线角与补偿容量的关系

结论4.4：

（1）对于有源补偿同相牵引供电系统，仅补偿负序时，各相补偿容量大小始终相等，补偿容量仅与负荷容量有关，与负荷接入的端口、变压器的接线方式无关。所以为了降低补偿总容量，而选择不同接线方式或特殊形式变压器以及改变负荷的接线端口（改变负荷的接线角）是徒劳的。

（2）当无功和负序同时补偿，且采用三相120° 或两相90° 接线的一般变压器，只有有限几个标准对称端口，这时负荷接不同端口，各相补偿容量不再相等，其大小随端口的改变而依次轮换。但无论负荷接哪一个端口，总补偿容量都是一样的。

（3）当无功和负序同时补偿，且负荷接线角可以任意改变时，各相补偿容量和总补偿容量将随接线角的改变而周期性的波动，波动的幅度和频率与接线方式有关。通过分析计算和比较图4.19、图4.20可知，两相90° 接线系统总补偿容量受负荷接线角的影响相对较大，而三相120° 接线系统总补偿容量受负荷接线角的影响较小。

（4）对于三相系统，由于总补偿容量受负荷接线角影响较小，在确定补偿装置容量时，完全可以忽略负荷接线角的影响，为了降低补偿容量而采用特殊形式的变压器以及通过各种方式改变负荷的接线角意义不大，且得不偿失。

（5）两相90° 接线系统总补偿容量受负荷接线角影响相对较大，但也没必要为了降低总补偿容量而采用特殊形式的变压器。原因是：对于负荷功率因数角不断变化的场合，采用任何形式的变压器，都无法使总补偿容量达到最小；其次，即便是对于负荷功率因数角恒定的情况，采用特殊形式的变压器能够降低总补偿容量，但总补偿容量减小的效果与采用特殊形式的变压器所付出的代价相比，还是得不偿失。中国电气化铁路牵引负荷主要有两类：交-直型和交-直-交型。交-直型在正常工作状态下负荷的功率因数角约为36°，而交-直-交型负荷的功率因数角约为0°。针对这两种车型，可统一采用两相90° 对称接线，并将负荷接于两相之间——也就是两相电压向量所构成的直角三角形，其斜边电压所对应的端口上（称为斜边端口）。这时接线角为45°，根据最小补偿容量发生条件，总补偿容量最小值发生在。因此，如果牵引负荷是交-直-交型机车，则正常牵引状态下，总补偿容量正好达最小值；如果是交-直型牵引负荷，则正常牵引状态下，计算可知总补偿容量比最小值大7% 左右。