地下水模拟中的一阶误差分析方法及局限

读者在文献中可以看到以各种各样的随机方法为基础的不确定性分析方法(Gelar,1986;Beck,1987;Graham和Mcaughlin,1989a,b;Reichard和Evans,1989;Rubin,1991;Zhang和Neuman,1995),有兴趣的读者可以自行参阅。这里只介绍其中的一种方法,即一阶误差分析法。这是一种简单、直接定量表示不确定性从输入参数向模型输出传播的方法。该方法的基础是Tayl or级数展开。假设所考虑的模型(z)是一个可以用n个随机输入变量(x 1,x 2,…,x n)表示的函数

假设有一种每个输入变量的值都等于它的期望值或均值的基本情况,以上标0表示,即

于是z和基本情况z 0之差可以通过Tayl or级数展开式得到

式中导数都是在X 0=()处计算的。取一阶近似,所有比一阶项高的那些项全都可以忽略掉,于是有

在一阶近似情况下,z的偏差(变差)的均值为零:

它相当于

这意味着输出平均可以用输入参数平均方便地得到。(www.xing528.com)

输出的方差可由下式求得:

式中:Cov(x i,x j)为x i和x j对间的协方差。

如果输出都是独立的,则协方差项等于零。在这种情况下,式(5-14)可以进一步简化为

式(5-15)中导数代表输入变量x i的敏感度。因此,如以其方差表明的那样,模型输出中的不确定性能以各输入变量方差乘以它们各自敏感度平方的总和来近似地表示。

一阶误差分析虽然简单,而且所需的计算量大大小于Monte Carlo法,但它只是一种近似方法,仅适用于模型输入参数的偏差系数小(＜10%～20%),式(5-10)Taylor级数展开式高阶项能够被忽略不计而不至于导致出现重大不精确的情况。鉴于上述情况,虽然一阶误差分析是一种对Monte Carlo法而言具有吸引力的替代方法,但应该指出它的适用性是有限的(Zheng和Bennett,2002)。这方面的应用实例很多,如LaVenue等(1989),Loague等(1990),Melching和An mangandla(1992)和Hamed和Bedient(1997)等,读者感兴趣可以自行参阅。