有限元剖分与基函数在地下水数值模拟中的应用

前面用了一个叫基函数的函数,怎么来确定它呢?通常采用剖分插值方法来构造基函数。现以简单的三角形剖分为例加以说明。把渗流区Ω剖分成三角形单元,为了说明方便,假设围绕内结点i共有6个单元。在由i,j,k为三顶点的单元Ⅰ中,这样来构造函数,使它在i点等于1,在j点和k点为零,即对边为零(图3-2)。在内部假设是线性变化的。故有

式(3-18)中αⅠ、βⅠ、γⅠ为待定系数。显然在组成单元Ⅰ的三个结点i、j、k上应有

图3-2　对应内结点i的基函数图像

其中(x i,y i)、(x j,y j)、(x k,y k)分别为i、j、k点的坐标。解这3个方程,得

式中:ΔⅠ=为三角形单元Ⅰ的面积。为叙述方便,引入符号

组成各个单元结点的坐标不同,不同单元这些符号所代表的值也就不同了。为此在这些符号的右上角注以角码Ⅰ,即、…把它们代入式(3-18)后得

对单元Ⅱ、Ⅲ、…、Ⅵ也可构造性质相似的线性函数ψⅡ、ψⅢ、…、ψⅥ。它们在结点i上都等于1,在i点的对边都为零。用类似的方法可求出系数αⅡ、βⅢ、γⅢ、…、γⅥ的值,并可一般地表示为

式中:Δe为单元e的面积。

于是对应于内结点i的基函数ψi(x,y)在单元Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ内依次等于ψⅠ、ψⅡ、ψⅢ、ψⅣ、ψⅤ、ψⅥ,而在渗流区Ω的其余部分则为零。显然如此构造的基函数ψi有下列特征:在结点i处为1;在它周围的每个结点上,即多边形的周界上均为零;i与周界间则线性地变化。在Ω的其余部分及第一类边界Γ1上也是零。其图像如图3-2所示。即

从前面的讨论可知,对于同一单元e上的3个结点i、j、k(图3-3)的基函数,略去单元符号后应有

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图3-3　三角形单元示意图

其中Δ=为三角形ij k的面积,ij k按逆时针方向排列时为正。并设Δ≠0。

式(3-22)即

其逆关系为

式中:(x,y)为单元内任意点p的坐标(图3-3)。

最后应指出,式(3-22)中的(a i+b ix+c iy)依次为三角形pj k、pki、pij的面积Δi、Δj、Δk的两倍(图3-3)。故

当p(x,y)点移到i点时(x=x i,y=y i),Δi=Δ,

图3-4　部分单元图

此时Δj、Δk为零,,与基函数的性质式(3-21)是一致的。

由于基函数的上述性质,式(3-15)中的导水矩阵[D]、贮水矩阵[P]不仅对称、正定,还是高度稀疏的。这是由于结点1的基函数只在共有结点1的几个单元内不等于零,而结点2的基函数只在共有结点2的几个单元内不等于零,这样组成矩阵[D]的元素

只有在与结点1和结点2连接的几个单元(图3-4中有阴影部分)不等于零,在其他单元上均为零,对组成[D]的其他元素也可得出类似结论。同理,组成[P]的元素p i,j也只在与结点i、j连接的几个单元上不为零,其他单元上均为零。所以矩阵[D]、[P]是高度稀疏的。