差分方程解决三维地下水流问题

对于非均质各向同性介质中的三维非稳定承压水问题(薛禹群,1986),有

式中:Ss为贮水率。

式(2-30)反映了承压含水层中地下水运动的质量守恒关系,它表明单位时间内流入流出单位体积含水层的水量差值等于同一时间内单位体积含水层内弹性释放(或贮存)的水量。

如仍采用第三节中用过的符号,在三维条件下有

请注意区分式中符号希腊字母κ和英文字母k。前者表示时间,后者与i、j一起表示3个坐标轴方向(下同)。κ+1时刻的表达式也可类推,如是,则不难写出式(2-30)的显式、隐式和中心式差分格式。显式差分格式的收敛,稳定是有条件的,后两种格式虽无条件稳定,但要解一个庞大但相对稀疏的、系数矩阵为七对角线矩阵的方程组,麻烦是不言而喻的。

需要特别注意的是,按照适用于二维问题的Peace-Rachf or d格式建立起来的三维问题差分方程却不是无条件稳定的,所以不能用。此处无条件稳定的ADI算法是Douglas-Rachf or d格式的推广,对应于式(2-30)有

式中:为(i,j,k)结点周围分别沿x、y、z方向上渗透系数值的某种平均值;为中间解。(www.xing528.com)

式(2-31)可以写成更一般的形式

其中

对均质含水层等间距网格来说,λx=λy=λz=λ。运算时,先由式(2-32a)算出中间解;然后利用此,由式(2-32b)算出中间解;最后由式(2-32c),根据算出的计算κ+1时刻的。如此重复进行,即可求得全部解。它们都是三对角线方程组,很容易求解。

Douglas-Rachf or d格式虽然无条件稳定,但只有中等精度,误差为O([Δt]2+[Δx]2+[Δy]2)。为此,Douglas(1962)和Brian(1961)各自独立发展了一种更精确的ADI差分格式。此格式在一个维上用了中心式差分,另两个维上用Peaceman-Rachf or d格式,有

为中间解。经整理,同时分别把第二、第一式相减,第三、第二式相减,便得下列便于应用的形式(Douglas-Brian格式)

运算方法与Douglas-Rachford格式相似。误差为O([Δt]2+[Δx]2+[Δy]2+[Δz]2)。此算法是无条件稳定的。但使用式(2-34)时要特别小心,如式(2-34c)中换成了,那这种方法就不是无条件稳定的了。