混凝土结构板的受冲切承载力计算

（一）考试要求

1.《考试大纲》的要求：掌握

2.“试题”回顾

【试题4.3.1】～【试题4.3.2】 （2002年）

某无梁楼盖的柱网尺寸为6m×6m，柱子截面尺寸为b×h=500mm×500mm，柱帽尺寸为1500mm×1500mm，如图4.3.1所示。混凝土强度等级为C20，板上均布荷载标准值：静荷载（含板自重）q₁=20kN/m²，活荷载q₂=3kN/m²。

提示：柱帽周边板冲切破坏锥体有效高度，h₀=250-30=220mm。

【试题4.3.1】 板所承受的冲切集中反力设计值（2002年）

柱帽周边楼板所承受的冲切集中反力设计值F_l（kN），与下列何项数值最为接近？

（A）1015 （B）952

（C）828 （D）909

图 4.3.1

【试题4.3.2】 楼板的受冲切承载力设计值（2002年）

在不配置箍筋及弯起钢筋的情况下，柱帽周边楼板的受冲切承载力设计值（kN）与下列何项数值最为接近？

（A）999 （B）850 （C）1016 （D）1135

【试题4.3.3】～【试题4.3.4】 （2008年）

某单层多跨地下车库，顶板采用非预应力无梁楼盖方案，双向柱网间距均为8m，中柱截面尺寸为700mm×700mm。已知顶板板厚h=450mm，倒锥形中柱柱帽尺寸如图4.3.2所示，顶板混凝土强度等级为C30，a_s=40mm。

图 4.3.2

【试题4.3.3】 顶板的受冲切承载力设计值

试问，在不配置抗冲切箍筋和弯起钢筋的条件下，顶板受冲切承载力设计值（kN）应与下列何项数值最为接近？

（A）3260 （B）3580

（C）3790 （D）4120

【试题4.3.4】 顶板上允许的土厚

假定该顶板受冲切承载力设计值为3390kN，当顶板活荷载按4kN/m²设计时。试问，车库顶板的允许最大覆土厚度H（m）与下列何项数值最为接近？

提示：①覆土容重按18kN/m³考虑，混凝土容重按25kN/m³考虑。

②按永久荷载效应控制的组合计算。

（A）1.68 （B）1.88 （C）2.20 （D）2.48

（二）《混凝土结构设计规范》规定

6.5.1 在局部荷载或集中反力作用下，不配置箍筋或弯起钢筋的板的受冲切承载力应符合下列规定（图6.5.1）：

图6.5.1 板受冲切承载力计算

a）局部荷载作用下 b）集中反力作用下

1—冲切破坏锥体的斜截面 2—计算截面 3—计算截面的周长 4—冲切破坏锥体的底面线

F_l≤（0.7β_hf_t+0.25σ_pc，m）ηu_mh₀ （6.5.1-1）

公式（6.5.1-1）中的系数η，应按下列两个公式计算，并取其中较小值：

式中 F_l——局部荷载设计值或集中反力设计值；板柱节点，取柱所承受的轴向压力设计值的层间差值减去柱顶冲切破坏锥体范围内板所承受的荷载设计值；当有不平衡弯矩时，应按本规范第6.5.6条的规定确定；

β_h——截面高度影响系数：当h不大于800mm时，取β_h为1.0；当h不小于2000mm时，取β_h为0.9，其间按线性内插法取用；

σ_pc，m——计算截面周长上两个方向混凝土有效预压应力按长度的加权平均值，其值宜控制在1.0～3.5N/mm²范围内；

u_m——计算截面的周长，取距离局部荷载或集中反力作用面积周边h₀/2处板垂直截面的最不利周长；

h₀——截面有效高度，取两个方向配筋的截面有效高度平均值；

η₁——局部荷载或集中反力作用面积形状的影响系数；

η₂——计算截面周长与板截面有效高度之比的影响系数；

β_s——局部荷载或集中反力作用面积为矩形时的长边与短边尺寸的比值，β_s不宜大于4；当β_s小于2时取2；对圆形冲切面，β_s取2；

α_s——柱位置影响系数：中柱，α_s取40；边柱，α_s取30；角柱，α_s取20。

（三）算例

【例4.3.1】 局部荷载作用于板的抗冲切承载力计算

条件：一受有局部荷载的钢筋混凝土板，如图4.3.3所示，该荷载均布于300mm×700mm范围内。板的混凝土强度等级为C25，板厚为100mm。

要求：求板按抗冲切承载力计算所能承受的最大均布荷载设计值（包括自重）。

解答：由《混规》表4.1.4查得，f_t=1.27N/mm²；由《混规》第6.5.1条查得，β_h=1.0；h₀=100-20=80mm，取另一个配筋方向h₀=100-30=70mm，平均值为h₀=75mm。

图 4.3.3

u_m=2×（300+h₀+700+h₀）=2×（300+75+700+75）=2300mm

0.7β_hf_tηu_mh₀=0.7×1.0×1.27×0.915×2300×75≈140318N=140kN

板能承受的最大均布荷载设计值为：

【例4.3.2】 无梁楼板（无孔）的受冲切承载力计算

条件：如图4.3.4所示，一钢筋混凝土无梁楼盖，柱网尺寸为6m×6m，柱的截面尺寸为0.45m×0.45m，柱帽高度为400mm，柱帽宽度为1200mm，楼板上作用有荷载设计值q=18kN/m²（包括自重），混凝土强度等级为C20，f_t=1.1N/mm²。安全等级为二级，环境类别为一类。

图 4.3.4

要求：验算受冲切承载力。

解答：（1）查《混规》表8.2.1得板的保护层厚度c=20mm。

设纵向钢筋合力中心到近边距离a_s=25mm。

（2）计算柱所承受的轴力N N=6×6×18=648kN

（3）验算柱帽上边缘与板交接处的受冲切承载力

1）确定基本尺寸

冲切破坏锥体有效高度h₀=h-a_s=200-25=175mm；

冲切破坏锥体斜截面的短边长b_t=1200mm；

冲切破坏锥体斜截面的长边长b_b=b_t+2h₀=1200+2×175=1550mm(www.xing528.com)

距冲切破坏锥体斜截面短边h₀/2的周长：

u_m=4×（b_t+2×h₀/2）=4×（1200+175）=5500mm

2）所受的集中反力设计值F_l

集中反力设计值为柱所承受的轴力N减去冲切破坏锥体范围的荷载设计值：

F_l=N-b²_bq=648000-1550²×0.018≈604.8×10³N

3）验算受冲切承载力

采用《混规》式（6.5.1-1），因未采用预应力，故σ_pc，m不必考虑。

因板厚h=200mm<800mm，故β_h=1.0。

因集中反力作用面积为正方形，长边与短边尺寸的比值相等，故取β_s=2，由《混规》式（6.5.1-2）得：

因该柱为中柱，取α_s=40，由《混规》式（6.5.1-3）得：

因_η2=0.82<η=1.0，故取η=0.82。

代入《混规》式（6.5.1-1）：

F_l=（0.7β_hf_t+0.15σ_pc，m）ηu_mh0

=0.7×1.0×1.1×0.82×5500×175≈607723N≈607.7kN

>604.8kN，满足要求。

（4）验算柱帽下边缘与板交接处的受冲切承载力

1）确定基本尺寸

h₀=h-a_s=400-25=375mm

b_t=450mm

b_b=b_t+2h₀=450+2×375=1200mm

u_m=4×（b_t+2×h₀/2）=4×（450+375）=3300mm

2）所受的集中反力设计值F_l

F_l=N-b²_bq=648000-1200²×0.018≈622.1×10³N

3）验算受冲切承载力

因h=400mm<800mm，取β_h=1.0。

因集中反力作用面积为正方形，故取β_s=2。

由《混规》式（6.5.1-2）得η₁=1.0。

因为是中柱，α_s=40，由《混规》式（6.5.1-3）得：

因η₁=1.0<η₂=1.64，故取η=1.0。

代入《混规》式（6.5.1-1）：

F_l=0.7×1.0×1.1×1.0×3300×375N≈952900N

=952.9kN>622.1kN 满足要求

（四）模拟考题

【4.3.1】 钢筋混凝土板上作用一个局部荷载P，该荷载均布于直径d=300mm的圆面积内，板采用C25级混凝土，HRB335级钢筋，板厚120mm，a_s=25mm板内纵筋为10，板能承受的最大局部荷载设计值P（kN）应为下列何项数值？（图4.3.5）

图 4.3.5

（A）83.8 （B）105 （C）139.6 （D）150.8

答案：（B）

f_t=1.27N/mm²，c=15+5=20mm，a_s=25mm，h₀=95mm，

h≤800mm，β_h=1；无预应力，σ_pc，m=0；u_m=π（d+h₀）=π（300+95）mm=1240.3mm

局部面积为圆形，β_s=2，

故取η=1.0。

由《混规》式（6.5.1-1）：F_l≤（0.7β_hf_t+0.15σ_pc，m）ηu_mh₀

P=F_l≤0.7β_hf_tηu_mh₀=0.7×1×1.27×1×1240.3×95≈104.8kN

【4.3.2】～【4.3.3】 已知某无梁楼盖，其柱网6m×6m，柱截面尺寸为500mm×500mm，柱帽高450mm，柱帽宽1200mm，如图4.3.6所示，楼盖上作用荷载设计值q=20kN/m²（已包括自重），混凝土等级C30，安全等级为二级，环境类别为一类。a_s=25mm。

【4.3.2】 柱帽上边缘处所承受集中反力F_l（kN）与下列各项最接近的是何项？

（A）612 （B）671

（C）715 （D）720

答案：（B）

图 4.3.6

由《混规》第6.5.1条式（6.5.1-1）：

冲切破坏锥体有效高度h₀=h-a_s=200-25=175mm；

冲切破坏锥体斜截面短边边长b_t=1200mm；

冲切破坏锥体斜截面长边边长b_b=b_t+2h₀=1550mm；

距冲切破坏锥体斜截面短边h₀/2的周长u_m=4（b_t+2h₀/2）=5500mm

F_l=N-b²_bq=20×6²-1550²×20/10⁶=671.95kN

【4.3.3】 柱帽下边缘与板相交处最大冲切力（kN）与下列各项最接近的是何项？

（A）1574 （B）1692 （C）1951 （D）2597

答案：（A）

由《混规》第6.5.1条式（6.5.1-1）：

冲切破坏锥体有效高度h₀=h-a_s=450-25=425mm；

冲切破坏锥体斜截面短边边长b_t=500mm；

冲切破坏锥体斜截面长边边长b_b=b_t+2h₀=1350mm；

距冲切破坏锥体斜截面短边h₀/2的周长u_m=4（b_t+2h₀/2）=3700mm；

由《混规》式（6.5.1-2）及式（6.5.1-3），中柱α_s=40，因为是正方形，长边与短边尺寸相等。

h=400mm<800mm取β_h=1.0，另取β_s=2.0

0.7β_hf_tηu_mh₀=0.7×1.0×1.43×1.0×3700×425≈1574kN