塑性内力重分布及对梁端负弯矩调幅的影响

《考试大纲》的规定：

（一）考试要求

1.《考试大纲》的要求：掌握

2.“试题”回顾

【试题1.3.1】 调幅后边横梁的跨中弯矩设计值（2001年）

在重力荷载代表值作用下，已知二层横梁的支座弯矩如图1.3.1所示。当考虑梁端塑性变形内力重分布而对梁端负弯矩进行调幅，并取调幅系数为0.8时。则边横梁的跨中弯矩设计值M（kN·m）最接近下列何项数值？

（A）73 （B）88 （C）93 （D）111

图 1.3.1

【试题1.3.2】～【试题1.3.3】 用调幅法计算梁的弯矩（2001年）

有一根三跨的钢筋混凝土等截面连续梁，q=P+g=30kN/m（设计值）如图1.3.2所示。混凝土强度等级为C20，梁纵向受力钢筋采用Ⅱ级钢，纵向受力主筋合力点至截面近边的距离a_s=35mm，梁截面尺寸为b×h=200mm×550mm。

图 1.3.2

【试题1.3.2】 假定该连续梁的B、C支座弯矩相同，即M_B=M_C=140.23kN·m（设计值），两支座调幅系数均为0.7，并假定L₁=8m，试问BC跨中的计算配筋量A_s（mm²）与下列何项数值相近？

（A）A_s=888 （B）A_s=1034 （C）A_s=690 （D）A_s=1275

【试题1.3.3】 改变连续梁右端支座，并给出一般用调幅法计算梁的弯矩系数α，如图1.3.3所示。当使用图中系数α时，应满足一定条件，试指出下列表述中何项是错误的？

（A）只能用于均布荷载作用下的梁弯矩计算

（B）连续梁各跨跨度差别需小于10%

（C）纵向钢筋宜采用Ⅰ级和Ⅱ级钢筋

（D）与纵向钢筋配筋率没有关系

图 1.3.3

【试题1.3.4】～【试题1.3.5】 确定调幅后的弯矩设计值（2004年）

图1.3.4所示为一现浇钢筋混凝土多层框架房屋结构平面布置图。巳知各层层高均为3.6m。

图 1.3.4

【试题1.3.4】 按弹性计算方法计算的梁L1各截面的弯矩设计值如图1.3.5所示，试问，当支座弯矩调幅系数为0.22时，距边支座2700mm处调幅后的弯矩设计值（kN·m）与以下何项数值最为接近？

（A）82.2 （B）103.6 （C）71.64 （D）87.64

图 1.3.5

【试题1.3.5】 假定柱的线刚度小于主梁线刚度的1/5，计算中可将主梁简化为铰，按支承在柱顶的连续梁进行内力分析。设某层框架梁KL1中间跨按弹性方法计算的弯矩设计值如图1.3.6所示。试问，当调幅系数为0.22时，梁1/3跨度处（A点）确定调幅后的弯矩设计值（kN·m），与下列何项数值最为接近？

图 1.3.6

（A）156.92 （B）133.4 （C）115.3 （D）97.3

（二）预备知识

1.钢筋混凝土梁的弯矩-曲率关系

试验表明，混凝土梁在受力过程中正截面的应力状态经历了3个阶段。

第Ⅰ阶段：从加载到混凝土开裂的开裂前整体工作阶段。

第Ⅱ阶段：从混凝土开裂到受拉钢筋屈服的带裂缝工作阶段。

第Ⅲ阶段：从受拉钢筋屈服到截面破坏的破坏阶段。

图1.3.7 受弯构件的弯矩-曲率关系

图1.3.7所示为跨中受集中荷载作用的简支梁，梁跨中截面在各级荷载下，根据实测的应变ε_s、ε_c及h₀值而绘制的弯矩与曲率（M-φ）关系曲线，其中曲率。从图中可以看出，在第Ⅰ阶段，梁基本处于弹性阶段，M-φ成直线关系。出现裂缝后，梁进入第Ⅱ阶段，随着弯矩的增大，M-φ逐渐偏离原来的直线。当钢筋达到屈服，构件进入第Ⅲ阶段工作后，M-φ曲线斜率急剧减小，M与φ间明显地呈水平放置的曲线形，以后随着截面内力臂的增长，M稍有增加，但φ却增长很快，曲线几乎为一水平延长线。截面破坏时，曲线有所下降。显然，从钢筋屈服到截面破坏，截面相对转角剧增，在第Ⅰ阶段，构件受荷载小，基本处于弹性状态工作，故弹性理论基本适用。随着荷载增加，混凝土受拉区裂缝的出现与开展。受压区混凝土塑性变形不断发展，特别是在受拉钢筋屈服后，这种塑性变形发展得更加充分。

由于钢筋混凝土不是理想的弹塑性材料，截面相对转动的能力是有限度的，其限度与截面的受压区高度的相对值=x/h₀有关，如图1.3.8所示，越大，截面的塑性转动能力或极限塑性转角就越小。当配筋偏多、接近超筋时，截面基本上不存在塑性转动能力。这个现象表明只有在配筋率合适的适筋梁才能考虑钢筋混凝土的塑性性能。

2.钢筋混凝土梁的塑性铰

混凝土受弯构件的塑性铰是其塑性分析中的一个重要概念。现以跨中作用集中荷载的简支梁（图1.3.9a）为例。说明塑性铰的形成，梁内受拉纵筋为热轧钢筋，且配筋率合适，为适筋梁。当加载到受拉钢筋屈服（图1.3.9c中的A点），弯矩为M_y，相应的曲率为φ_y。此后如荷载少许增加，则受拉钢筋屈服伸长，裂缝继续向上开展，截面受压区高度减小，内力臂增加，从而截面弯矩略有增加，但截面曲率增加颇大，梁跨中塑性变形较集中的区域犹如一个能够转动的“铰”，称之为塑性铰。可以认为，这是受弯构件的受弯屈服现象。

图1.3.8 不同配筋率梁的M-φh₀曲线

图1.3.9 塑性铰长度及曲率分布图

a）构件 b）弯矩 c）M-φ曲线 d）曲率 e）塑性铰

弯矩图上相应于M_u>M_y的部分为塑性铰的范围，相应的长度l_p称为塑性铰长度（图1.3.9b）。图1.3.9d中实线为曲率的实际分布，虚线为简化后假定的曲率分布，将曲率分为弹性部分φ_y和塑性部分φ_p（图中的阴影部分）。跨中截面全部塑性转动的曲率可由曲率差（φ_u-φ_y）表示，其值越大，表示截面的延性越好。塑性曲率的积分即为塑性铰的转角θ。

塑性铰具有以下特点：

①塑性铰能承受弯矩。

②塑性铰是单向铰，只沿弯矩作用方向旋转。

③塑性铰转动有限度，从钢筋屈服到混凝土压坏。

由上述分析可知，塑性铰与普通铰相比，有以下两点区别：

①普通铰截面可以任意转动，不承受弯矩；塑性铰截面在承受相当于截面塑性承载力的弯矩后，可以转动，但不再承受新增加的弯矩。

②普通铰截面的转动幅度不受限制，塑性铰截面的转动幅度不能过大，否则会引起结构过大的变形和挠度，影响正常使用。

3.塑性内力重分布的过程

以一个算例来讨论塑性内力重分布的过程。该算例是一个跨中作用有集中荷载的两跨等跨连续梁（图1.3.10）。假定按受弯构件计算，连续梁跨中截面的极限正弯矩M_u与中间支座截面的极限负弯矩M_u′均为0.188Pl。

当荷载较小时，由两个集中荷载引起的弯矩分布与弹性计算结果一致。由结构力学可知，当集中荷载增加到P时，中间支座截面的负弯矩为：

M′=0.188Pl

而荷载作用点处的最大正弯矩为：

M=0.156Pl

可见，此时中间支座截面的负弯矩已达到极限负弯矩M_u′。按照弹性理论分析方法，集中荷载P就是该连续梁所能承受的最大荷载。

但是实际上，在P作用下，连续梁并未丧失承载能力，仅仅是中间支座处形成了塑性铰（图1.3.10b），跨中截面还有0.188Pl-0.156Pl=0.032Pl的强度储备，结构仍能承担继续增加的荷载，只是在继续加荷的过程中，塑性铰处的弯矩值不再增加。当加荷增量ΔP=0.128P时，连续梁跨中截面的总弯矩为：

于是，跨中截面处也形成了塑性铰（图1.3.10c），整个结构成为可变体系而告破坏。

图1.3.10中所讨论梁的跨中截面和支座截面的M-P曲线见图1.3.11。

加载初期，混凝土出现裂缝之前，结构基本上为弹性体系，梁的内力符合按弹性理论的计算结果，其M-P关系见图1.3.11中的“弹性阶段”，支座及跨中截面的M-P关系分别按图1.3.11中直线1、2变化。

图1.3.10 连续梁的弯矩重分布

a）弹性理论弯矩图 b）第一个塑性铰形成时 c）破坏机构形成时

加载至中间支座处梁截面受拉区混凝土开裂，而跨中截面尚未出现裂缝。由于中间支座处梁截面刚度有所降低，使该处梁截面弯矩的增长率低于弹性分析结果（即M-P关系不再沿直线1变化），而跨中截面弯矩的增长率则大于弹性分析结果（即M-P关系在直线2之上）。这时梁中已发生了内力重分布。随着荷载继续增大，梁跨中也出现裂缝，结构又一次发生内力重分布。此阶段始于支座截面出现裂缝，结束于支座截面即将出现塑性铰，其M-P关系见图1.3.11中的“弹塑性阶段”。

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图1.3.11 两跨连续梁内力变化图

1，2—支座、跨中截面弯矩按弹性规律变化

继续加载至中间支座处梁截面受拉纵筋屈服，该截面首先出现塑性铰，这时相应的外荷载值为P，弯矩图见图1.3.10b所示。两跨连续梁原为一次超静定结构，由于中间支座处梁截面出现了塑性铰，则梁由超静定结构变为静定结构，如图1.3.10b所示。此后再继续加载，直到梁跨中截面刚刚出现塑性铰，设其荷载增值为ΔP，这一过程中中间支座处梁截面弯矩保持不变为M_u（图1.3.11中的水平线），由各跨荷载增值ΔP所引起的弯矩，则由左、右两个简支梁各自分别负担，中间支座处塑性铰发生转动，跨中截面弯矩分别达到M_u。在这最后阶段，结构已成为机动体系，如图1.3.10c所示。梁的最终承载能力为P+ΔP，其最后弯矩图见图1.3.10c。

上述内力重分布现象可概括为两个过程：第一过程发生于裂缝出现至塑性铰形成以前的阶段，主要是由于裂缝形成和开展，使构件刚度变化而引起的内力重分布；第二过程则发生于塑性铰形成以后，内力重分布由于塑性铰的转动而引起。一般第二过程的内力重分布较第一过程显著。由于塑性铰的出现使超静定结构的破坏不是某一截面达到其极限承载力，而是一个从有多余联系的几何不变体系，经历陆续出现截面塑性铰而达到几何可变体系的过程。在这个过程中，可以继续增加整个结构所承受的荷载，因而提高了承载力。

4.考虑塑性变形内力重分布的计算方法——弯矩调幅法

以一个算例来讨论考虑塑性变形内力重分布的计算方法，算例是一个承受均布荷载作用的单跨固端梁。图1.3.12a所示的梁，假定：l=6m，梁各截面的尺寸及上下配筋量均相同，所能承受的正负极限弯矩均为M_u=36kN·m，当荷载p₁=12kN/m时，按弹性方法计算，支座弯矩M_A=M_B=-36kN·m，跨中弯矩M_C=18kN·m，如图1.3.12b所示。此时支座截面的弯矩已等于该截面的极限弯矩M_u，即按弹性方法计算内力时，该梁能承受的最大均布荷载为p₁=12kN/m。但实际上p₁并不能使梁破坏，而仅使支座截面A及B形成塑性铰，在梁上仍可继续加载，在继续加载的过程中，由于支座截面已形成塑性铰，其承担的弯矩保持M_u=36kN·m不变，而仅使跨中弯矩增大，此时的梁如同简支梁一样工作，如图1.3.12c。当继续增加p₂=4kN/m时，跨中弯矩按简支梁计算增加18kN·m，此时跨中弯矩M_C=（18+18）kN·m=36kN·m。即跨中截面也达到了它的极限弯矩M_u而形成塑性铰，全梁才由于形成破坏机构而破坏。因此这根梁承受的极限均布荷载应为p₁+p₂=16kN/m，而不是按弹性方法计算确定的12kN/m。

由此可见，自支座形成塑性铰到梁变成破坏机构，梁尚有承受4kN/m均布荷载的潜力。考虑塑性变形的内力计算就能充分利用这部分材料的潜力，取得更为经济的效果。

在支座截面形成塑性铰以前，支座弯矩M_A与跨中弯矩M_C之比为2∶1，到支座截面形成塑性铰以后，上述比值就逐渐改变，最后成为1∶1（两者都等于M_u）。这说明材料的塑性变形引起了内力重分布，所以这种内力计算方法就称为“考虑塑性变形内力重分布的计算方法”。

图1.3.12 固端梁的塑性内力重分布

从上面的例子可以得出如下结论：

（1）考虑塑性变形内力重分布的内力计算方法就是在结构即将形成破坏机构时，应用内外力平衡（极限平衡）的原理来分析结构的内力。例如在上例中，支座截面的塑性铰出现后，支座与跨中弯矩的比例发生改变，但始终遵守力的平衡条件，即跨中弯矩加上两个支座弯矩的平均值始终等于简支梁的跨中弯矩M_u，如图1.3.13a所示。对均布荷载作用下的梁来说，就是：

（2）超静定结构的塑性内力重分布在一定程度上可以由设计者通过控制截面的极限弯矩M_u（即调整配筋数量）来掌握。控制截面的弯矩值可以由设计者在一定程度内自行指定，这就为有经验的设计人员提供了一个计算钢筋混凝土超静定结构内力的简捷手段。

如前所述，若把支座截面的极限弯矩指定为36kN·m，则在p₁=12kN/m时就开始产生塑性内力重分布。假如支座截面的极限弯矩指定的比较低，即配筋率比较低，则塑性铰产生得就较早，为了满足力的平衡条件，跨中截面的极限弯矩就必须调整得比较高，即配筋率比较高，如图1.3.13b所示。反之，如果支座截面的极限弯矩指定的比较高，则跨中弯矩就可调整得低一些，如图1.3.13c所示。这种控制截面的弯矩可以相互调整的计算方法常称为“弯矩调幅法”。

图1.3.13 弯矩调幅法

但弯矩的调整也不能是随意的，如果指定的支座截面弯矩比弹性方法计算的支座截面弯矩值小得太多，则该截面塑性铰出现得太早，内力重分布的过程太长，也就是塑性铰转动幅度过大，裂缝开展过宽，就不能满足使用要求。甚至截面受压区混凝土被压坏，形不成完全的塑性内力重分布。所以，按弹性方法所算得的弯矩应进行适当的调整，截面弯矩调整的幅度应进行控制。

考虑塑性变形内力重分布计算连续梁的内力，就是先按弹性计算方法求出弯矩包络图，然后人为地调整某截面的弯矩，再由平衡条件计算其他截面相应的弯矩。

5.按塑性变形内力重分布计算的一般原则和特点

由于按弹性计算连续梁内力的结果，一般支座截面负弯矩较大，使得支座配筋密集，造成施工不便。所以，一般都将支座截面的最大负弯矩值调低，即减少支座弯矩，这样不但可以节约钢筋，还可以改善配筋过于拥挤的现象。但弯矩减少的程度，必须遵守下列原则：

（1）调整后的支座弯矩应大于或等于按弹性计算的弯矩的75%。

M_塑≥0.75M_弹

也就是不希望调幅大于25%。这是考虑到如果调幅过大，即内力重分布的过程过长，结构产生的裂缝及变形过大，将影响结构的正常使用，所以《混凝土结构设计规范》规定了调幅的范围。

（2）为保证弯矩调幅25%的内力重分布充分实现，塑性铰的转动能力与该截面相对压区高度有关，越大、塑性铰转动幅度越小。《混凝土结构设计规范》规定相对压区高度应满足下列要求：

截面相对压区高度过小，会出现因塑性铰区的裂缝太宽、压区太小而混凝土被压碎，导致内力重分布无法充分展开。故《混凝土结构设计规范》又规定了相对压区高度应满足下列要求：

如果截面按计算配有受压钢筋，在计算时，可考虑受压钢筋的作用。

在中等或较低的配筋率下，塑性铰的转动能力取决于钢筋的流幅。由于软钢具有足够长的流幅，所以在钢筋屈服后截面还要经历一段较长的变形过程才破坏，因此，可以认为其内力重分布是充分的。按塑性内力重分布计算的结构杆件钢筋应具有良好的塑性性能，宜采用HPB300级、HRB335级、HRB400级、HRBF335级、HRBF400级、RRB400级钢筋作为纵向受力钢筋。

（3）为保证结构的安全，应使调整后的每跨弯矩遵循梁的弯矩分布规律，例如均布荷载时，每跨两端支座弯矩绝对值的平均值（M_A+M_B）/2与跨中弯矩M_C之和，不小于相当的单跨简支梁跨中弯矩M₀，即：

弯矩调整后的跨中弯矩M（绝对值）应满足下式：

（4）如果支座附近的受剪承载力不足，在梁中尚未形成塑性铰前，支座截面就已发生斜截面破坏，就会导致过早地结束了结构的内力重分布。这在设计中也应予以避免。所以，考虑结构内力重分布后，结构构件应具有足够的受剪承载力，以防过早发生斜截面破坏。

（三）《混凝土结构设计规范》规定和算例

《混凝土结构设计规范》规定：

5.4.1 混凝土连续梁和连续单向板，可采用塑性内力重分布方法进行分析。

重力荷载作用下的框架、框架-剪力墙结构中的现浇梁以及双向板等，经弹性分析求得内力后，可对支座或节点弯矩进行适度调幅，并确定相应的跨中弯矩。

5.4.2 按考虑塑性内力重分布分析方法设计的结构和构件，应选用符合本规范第4.2.4条规定的钢筋，并应满足正常使用极限状态要求且采取有效的构造措施。

对于直接承受动力荷载的构件，以及要求不出现裂缝或处于三a、三b类环境情况下的结构，不应采用考虑塑性内力重分布的分析方法。

5.4.3 钢筋混凝土梁支座或节点边缘截面的负弯矩调幅幅度不宜大于25%；弯矩调整后的梁端截面相对受压区高度不应超过0.35，且不宜小于0.10。

钢筋混凝土板的负弯矩调幅幅度不宜大于20%。

《高层建筑混凝土结构技术规程》规定：

5.2.3 在竖向荷载作用下，可考虑框架梁端塑性变形内力重分布对梁端负弯矩乘以调幅系数进行调幅，并应符合下列规定：

1.装配整体式框架梁端负弯矩调幅系数可取0.7～0.8，现浇框架梁端负弯矩调幅系数可取为0.8～0.9；

2.框架梁端负弯矩调幅后，梁跨中弯矩应按平衡条件相应增大；

3.应先对竖向荷载作用下框架梁的弯矩进行调幅，再与水平作用产生的框架梁弯矩进行组合；

4.截面设计时，框架梁跨中截面正弯矩设计值不应小于竖向荷载作用下按简支梁计算的跨中弯矩设计值的50%。

【例1.3.1】 框架梁的塑性内力重分布计算

条件：某高层建筑有三跨现浇框架梁，跨度为6.1m、3.0m、6.1m，已知梁上作用有均布荷载设计值q=40kN/m，经计算已知三层横梁的支座弯矩如图1.3.1所示，负号表示梁上部受拉。当考虑梁端塑性变形内力重分布而对梁端负弯矩进行调幅，并取调幅系数为0.8时。

要求：求边横梁的跨中弯矩设计值。

答案：（1）根据《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.2.3条第1款，取梁端调幅系数为0.8，调整后的支座弯矩为

M_左=-92×0.8=-73.6kN·m

M_右=-102×0.8=-81.6kN·m

（2）根据《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.2.3条第2款：

按简支梁计算跨中弯矩

由平衡条件

（3）根据《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.2.3条第4款：检查

取 M_中=108.45kN·m

【例1.3.2】 计算调幅后的跨中弯矩

条件：某高层建筑有三跨现浇框架梁，左边跨的跨度为6.1m，梁上恒荷载标准值为25.75kN/m，活荷载标准值为8kN/m。梁左边跨的内力标准值见表1.3.1。

表 1.3.1

要求：若取梁端调幅系数为0.8，对重力荷载的弯矩进行调幅。计算调幅后的跨中弯矩标准值M_中（kN·m）。

答案：根据《高层建筑混凝土结构技术规程》第4.3.6条规定：

M_左=-54.50+0.5×（-17.20）=-63.10kN·m

M_中=54.16+0.5×16.83=62.58kN·m

M_右=-76.41+0.5×（-25.74）=-89.28kN·m

根据《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.2.3条第1款：

M_左=-63.1×0.8=-50.48kN·m

M_右=-89.28×0.8=-71.42kN·m

根据《高层建筑混凝土结构技术规程》第5.2.3条第2款：

[1]GB 50010—2010《混凝土结构设计规范》的简称，全书余同。