空间坐标转换与海上测风塔基础设计

对于空间三维杆件系统，有限元分析时需要将单元局部坐标系内建立的单元特性矩阵转换到系统的总体坐标系中。有限元求解中基本未知量采用的是结点位移，因此只需要建立局部坐标系到整体坐标系中位移向量的转换关系，其他向量或矩阵的转换关系可由此得到。基于位移向量下局部坐标系和总体坐标系的转换矩阵T为[10]

式中 x、y、z——局部坐标系3个坐标轴；

——总体坐标系3个坐标轴；

cos（x，）——局部坐标x轴与总体坐标轴之间的方向余弦，以顺时针旋转为正，其他相似变量的含义可以类推。

式（7-52）中矩阵t中的元素分别表示局部坐标轴在整体坐标系内的方向余弦。其第一行元素可由杆件结点的坐标来求解，表达式为

而子矩阵t的其他行元素的确定需要借助一个参考坐标系x′y′z′。辅助参考坐标系x′y′z′与整体坐标系间的转换矩阵为

矩阵t1中各元素的计算方法为

而辅助参考坐标系x′y′z′与局部坐标系xyz之间的转换矩阵为(www.xing528.com)

式中 α——局部坐标系y轴相应于辅助坐标系y′轴的夹角。

根据式（7-54）和式（7-56），子矩阵t可进一步表示为

局部坐标系下的单元结点位移δe与总体坐标系中的单元结点位移的关系可写成

将式（7-58）代入到有限元整体求解方程中，同时考虑T-1=T T，则总体坐标系下的单元刚度矩阵为[10]

式中 K e——局部坐标系下的单元刚度矩阵。

同理可以得到总体坐标系下载荷向量的表达式为

式中 P e——局部坐标系下的荷载列阵。