海上测风塔基础设计：单元类型和刚度分析

海上测风塔基础结构多由空间杆件系统组成，桩基承台基础形中的承台结构可采用板壳有限元分析，也可根据本章7.3节给出的简化分析方法来计算承台弯矩，在此不再进行介绍。杆件是指长度远大于其截面尺寸的一维杆件。在结构力学中常常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁，在此以杆件作为统称。测风塔基础结构体系中杆件往往同时承受轴力、扭矩、弯矩和横向力的共同作用，而且各杆件的轴线方向在空间上相互交错。为了更清晰地揭示各类型单元的特性，将轴力杆、扭转杆和弯曲梁3个子类的单元类型予以单独介绍。

1.轴力杆单元

轴力杆承受轴力作用，假定应力在截面上均匀分布，垂直于轴线的截面变形后仍保持与轴线垂直，以位移u为基本未知量，轴力杆的基本求解方程包括几何方程、应力应变方程和平衡方程等[8]。坐标系采用笛卡尔坐标系，杆件轴线沿着x轴正向。

几何方程表达式为

式中 εx——应变。

联系应力与应变的物理方程表达式为

式中 σx——应力；

E——弹性模量。

平衡方程为

式中 A——杆件截面积；

f（x）——分布荷载。

对于杆单元，其为一维C0型单元，每个结点i只有一个位移参数ui，单元内任一点的位移u（x）可采用Lagrange插值多项式表达的插值函数计算为

式中 Ni——插值函数；

n——单元的结点数量；

u e——单元结点位移向量，u e=[u1u2… un]T。

采用等参单元时，单元内的自然坐标和杆件总体坐标存在

式中 l——单元长度；

xc——单元中心点总体坐标；

x1、xn——单元两端结点的坐标。

简单情形下，当单元采用两结点单元时，插值函数为

当单元采用三结点单元时，插值函数为

基于变分原理可得到轴力杆有限元求解方程，单元刚度矩阵表达式为

当采用两结点单元时，上式表示的单元刚度矩阵可简化为

当单元上作用的分布荷载为f（x），对应单元的等效荷载列阵为

基于上述单元刚度矩阵，最终可得到有限元的整体求解方程[6]，即

2.扭转杆单元

对于承受扭矩作用的扭转杆，其基本求解方程包括几何方程、应力应变方程和平衡方程等。坐标系采用笛卡尔坐标系，杆件轴线沿着x轴正向。

几何方程表达式为[9]

式中 θx——截面绕杆的中心轴线的转角；

α——截面的扭转率，即单位长度的转角变化。

联系扭矩M与扭转率的物理方程表达式为

式中 J——截面的扭转惯性矩；

G——剪切模量。(www.xing528.com)

平衡方程为

式中 mt（x）——外加的分布扭矩。

该单元仍然属于一维C0型单元，单元的插值函数仍可采用式（7-21）～式（7-24）给出的对应方法来计算。基于变分原理可得到扭转杆有限元求解方程，单元刚度矩阵表达式为[6]

式中 l——单元长度。

当单元上作用的分布扭矩为mt（x），对应单元的等效荷载列阵为

3.弯曲梁单元

梁单元的分析中，根据不同的梁截面变形假定可以得到不同理论原理的梁单元型式。当梁截面高度相对于梁跨度较小时，可采用Kirchhoff假定，即忽略横向剪切变形的影响，其对应的是Euler-Bernoulli梁分析方法。当梁截面高度相对于梁跨度较大时，此时不应忽略横向剪切变形的影响，可采用考虑横向剪切变形的Euler-Bernoulli梁分析方法，也可采用挠度和转角独立插值的Timoshenko梁分析方法。鉴于海上测风塔基础结构中杆件尺寸要比海上风力发电机组基础结构的杆件小得多，采用Euler-Bernoulli梁方法可满足工程精度要求，下面对该方法形成的弯曲梁单元予以介绍。

图7-1　承受横向荷载作用的Euler梁[6]

承受横向荷载和弯矩作用的梁单元如图7-1所示，q（x）为横向作用的分布荷载，Pi和Mi分别为第i个横向集中荷载和弯矩。经典梁弯曲理论中采用Kirchhoff假定[8]，假设变形前垂直于梁中心线的截面，变形后仍保持平面，且仍垂直于中心线。

梁单元分析中以中面挠度函数w（x）为基本未知量，弯曲梁单元问题的基本方程分别如下：

几何方程表达式为

式中 κ——梁中面变形后的曲率。

联系弯矩M与曲率的物理方程表达式为

式中 M——截面上的弯矩；

I——截面弯曲惯性矩；

E——弹性模量。

平衡方程为

式中 Q——截面上的横向剪力。

由式（7-36）进一步可得到

弯曲梁单元分析中可采用两结点Hermite插值多项式表示的插值函数，结点位移包括横向位移和转角两部分，单元内任一点位移的表达式为

式中 ξ——等参变量，计算式为ξ=（x-xi）/l，x为ξ对应点的整体坐标，xi为单元初始结点坐标，l为单元长度。

式（7-38）中的4个插值函数分别为

该单元属于C1型单元，基于变分原理可得到弯曲梁有限元求解方程，即

式中 K e——单元刚度矩阵；

P e——单元荷载列阵；

a e——单元位移列阵；

——对结构中所有单元进行求和运算。

弯曲梁单元的刚度矩阵表达式为[6]

当单元上作用横向分布荷载q（x）以及横向集中荷载Pj和弯矩Mk时，对应单元的等效荷载列阵为

式中 ξj和ξk——横向集中荷载和弯矩作用点的自然坐标；

和——对单元内的横向集中荷载和弯矩求和。

若集中荷载直接施加于单元结点处，分布荷载q作用下的单元荷载列阵可以直接得到，即