基于有限元法的海上测风塔基础设计

有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个，且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解[6]。

从确定单元特性和建立求解方程的理论基础和途径而言，早期提出有限单元法时采用直接刚度法，它来源于结构分析的刚度法，但只能处理一些比较简单的实际问题。后续逐步出现了变分原理和伽辽金（Galerkin）法来建立有限元方程，进而有限单元法的应用领域得到进一步拓宽，并发展为工程计算领域广泛应用的方法。在此不再详细介绍有限单元法的原理，本着以应用为主的目的，下面给出有限单元法分析时的基本步骤。

海上测风塔基础结构为连续体，实际的自由度数量为无穷多个，若要得出准确的分析结果势必需要一个封闭型式的解答，否则难以实现。而运用有限单元数值分析方法进行工程结构分析时，假定连续体能够采用有限个未知量来表达，也即对无限问题采用有限解答的近似解决方法。应用有限元法分析问题的第一步就是将整个结构离散化，即将要分析的结构对象用一些假想的线或面进行分割，使其成为具有选定切割形状的有限数量的单元体，这些单元体被认为仅在单元的一些指定的单元结点位置相互连接，这些单元之间相互连接的点称为结点，这一过程称为结构的离散化[7]。

当完成单元离散化后，对任一典型的单元展开单元特性分析。对位移元来说，先假设单元内部任意一点的位移分布模式，用具有有限自由度的简单位移模式来代替真实位移，将单元中任意一点的位移近似地表示成该单元结点位移的函数。不管采用哪类位移元，单元中任意一点的位移δ均可用该单元结点位移排列成的矩阵表示，即

式中 N——形函数矩阵，其元素是坐标的函数；

δe——单元结点位移矩阵。

确定单元位移模式后，利用应变和位移之间的关系（几何方程），将单元中任意一点的应变ε用单元结点位移δe来表示，即

式中 B——应变矩阵，其元素一般也是坐标的函数。

利用应力应变之间的关系（物理方程），可推导出用单元结点位移δe表示单元中任意一点应力σ的矩阵方程，即

式中 D——由单元材料弹性常数所确定的弹性矩阵；

S——应力矩阵，S=DB。

整个系统的总位能π可表示为

式中 p——单位体积力；

q——作用的面力；

V——结构体积；

S——结构表面积。

连续体的总位能等于各单元的能量之和，即(www.xing528.com)

式中 πe——单元e的总位能。

将式（7-8）～式（7-10）代入式（7-11）后，可得

式中 Ve——单元体积；

Se——单元表面积。

基于变分原理，也即对单元e的位能相对于结点位移δe取极小化可得

式中 Ke——单元刚度矩阵；

F e——单元等效结点力。

在得到上述单元分析结果的基础上，对各单元按照式（7-15）和式（7-16）来确定各自的单元刚度矩阵和等效荷载，对于结构中的所有单元按照结点位移自由度顺序号进行单元刚度到总体刚度的叠加，从单元等效结点力到总体等效结点力的叠加，最终建立起表示整个结构（单元集合体）结点平衡的方程组，即

式中 K——整体刚度矩阵；

F——整体综合结点荷载矩阵；

Δ——结构的整体结点位移矩阵。

当结构存在边界约束条件时，常用的边界条件处理方法有以下几种：

（1）直接代入法。若总结点位移为n个，已知结点位移m个，将式（7-17）中的刚度矩阵和荷载列阵中与已知位移相关的各项进行分离，从而n阶刚度矩阵K变为n-m阶刚度矩阵K*，原来n个方程中只保留与待定结点位移相对应的n-m个方程，将方程中左端的已知位移和相应刚度系数的乘积移至方程右端作为荷载修正项。

（2）对角线元素改1法。该法适用于零结点位移约束情形，将与已知零位移边界所对应的刚度矩阵中主对角线元素改为1，对应的其余行列元素皆改为零，对应的荷载向量中的元素也设定为零。

（3）对角元素乘大数法。结点位移中第j个元素为已知位移，若其值为wj，则可直接将该位移自由度对应的刚度矩阵K中的元素kjj乘以一个很大的数a（量级可取1020），并将荷载向量中的第j个元素替换为akjjwj来引入位移边界条件。

在考虑上述位移边界条件修正后，求解式（7-17）表示的线性联立方程组的方法可分为两大类，分别为直接解法和迭代解法。当方程组阶数不太高时可采用直接解法，常用的方法包括高斯消去法、三角分解法、分块解法和波前法等。当方程组的阶数过高时，相对而言采用迭代法的效率更高一些，常用的迭代计算方法包括高斯赛德尔迭代法和超松弛迭代法等。求解完毕后可得到结构各结点的位移值Δ，再将相应于各单元结点的位移值δe代入式（7-8）～式（7-10）可分别求得单元中任意一点的位移、应变和应力，即求得结构任意位置处的变形和应力应变或内力结果。