应用Mindlin解答的相关桩基沉降计算方法之前，首先介绍Mindlin基本解答与其对应的不同积分结果。对于如图6-2所示的半无限弹性体和对应的三维坐标系，弹性体性质为均匀各向同性，弹性体内部作用集中荷载Q，荷载Q的方向垂直于半无限体表面并指向弹性体内部，荷载Q（0，0，c），c为荷载作用的深度，荷载作用点对应于半无限体表面的镜像点坐标为（0，0，-c），弹性体内部应力和位移计算点M（x，y，z），计算点至荷载作用点的距离为R1，计算点至荷载作用点对应镜像点的距离为R2。
Mindlin（1936）给出了均质半空间弹性体内作用集中荷载Q下弹性体内部竖向应力σz的分布表达式，即Mindlin应力基本解答[6]为
式中 v——弹性介质的泊松比；
c——集中力荷载作用点的竖向深度；
z——计算点的竖向深度；
r——柱坐标中计算点至荷载作用点的水平距离；
R1——计算点至荷载作用点的距离；
R2——计算点至荷载作用点对应镜像点的距离。
基于上述Mindlin应力基本解答，结合桩基侧摩阻力和端阻力的分布特性可以积分计算得到相关应力积分解析解，包括Geddes应力积分解和考虑桩径影响的Mindlin应力积分解。
2.Geddes应力积分解
根据均匀土体和非均匀土体中刚性桩的侧摩阻力分布性态，侧摩阻力沿深度基本呈现线性分布（也即梯形分布），而在软土地区由于桩土刚度比很大故常规桩基多表现出刚性桩性状，因此采用侧摩阻力的线性分布假定是合理的。如果在桩侧摩阻力线性分布模式基础上，再假定桩侧摩阻力为沿桩轴线连续分布的竖向集中力，桩端阻力简化为集中力荷载，从而通过竖向一维解析积分运算直接可以求得荷载作用下土体内部的应力分布，而Geddes应力积分解提供了这一分析的结果，从而大大简化了桩基分析的繁琐程度。
对于如图6-3所示的单桩基础，在竖向荷载Q作用下，不考虑桩径影响，假定桩侧摩阻力沿着桩身轴线按照线荷载方式分布，端阻力简化为集中力，并定义系数α为桩端荷载在总荷载中的比例，系数β为沿深度均匀分布的桩侧摩阻力占总荷载的比例。Geddes（1966）分别给出了上述3种荷载分布型式（集中力、矩形分布力和三角形分布力）作用下的竖向应力σz为[16]
图6-3 单桩荷载分担与荷载分布模式（线积分）
式中 σzb——桩端集中力作用下引起的深度z处的竖向应力；
σzr——沿深度均匀分布（矩形分布）桩侧摩阻力引起的深度z处的竖向应力；
σzt——沿深度线性增大分布（三角形分布）的桩侧摩阻力引起的深度z处的竖向应力；
Ib——桩端单位荷载作用下引起的竖向应力系数；
Ir——均匀分布（矩形分布）单位摩阻力引起的竖向应力系数；
It——线性增大分布（三角形分布）单位摩阻力引起的竖向应力系数；
Pb——桩端荷载大小；
Pr——均匀分布（矩形分布）的侧摩阻力大小；
Pt——线性增大分布（三角形分布）的桩侧摩阻力大小；
L——桩长。
对于任意计算点深度z，取变量m=z/L，当计算桩端阻力和桩侧摩阻力对桩轴线上地基土中应力系数时，系数Ib、系数Ir和系数It计算为
当m＜1时
式中 z——应力计算点的深度；
L——桩长；
r——应力计算点距离桩轴线的水平距离；
ν——土体泊松比。
由于地基土中应力计算点均位于桩端以下，也可以采用n=0.002代入式（6-52）～式（6-54）来近似计算桩轴线（n=0）位置上的地基土应力。
图6-4 单桩荷载分担与荷载分布模式（面积分布）
3.考虑桩径影响的Mindlin应力积分解
地基中的桩基可看作是放置于土体中的柱体，侧摩阻力沿着桩侧面分布，端阻力作用在桩端处桩身截面范围内。上一部分中的Geddes应力积分解不考虑桩径的影响，即假定桩身侧摩阻力和端阻力为线荷载或点荷载，实际中桩身侧摩阻力和端阻力的分布更接近于面荷载形式。当考虑这一分布特性，仍然采用上一部分中桩顶荷载划分为桩端分布和沿桩身矩形分布与沿桩身三角形分布的荷载形式，以Mindlin应力基本解答为基础通过面积分布可得到考虑桩径影响的Mindlin应力积分解。桩顶荷载的分担和沿桩身的分布模式如图6-4所示。
考虑桩径影响，桩端面荷载引起的竖向应力系数影响系数Ib计算为
式中 μ——地基土的泊松比；
r——桩身半径；
l——桩长；
z——计算应力点离桩顶的竖向距离。
考虑桩径影响，沿桩身矩形分布的荷载引起的竖向应力系数影响系数Ir计算为
考虑桩径影响，沿桩身三角形分布的荷载引起的竖向应力系数影响系数It计算为
4.沉降计算方法
应用上述Mindlin应力解不同积分形式的积分解析解可以完成桩基沉降的相关计算。我国国家规范《建筑地基基础设计规范》（GB 50007—2011）中采用Geddes应力积分解进行桩基沉降计算。我国行业标准JGJ 94—2008中采用考虑桩径影响的Mindlin应力积分解来计算桩间距Sa＞6d下的桩基沉降；对于桩间距Sa≤6d则采用等效作用分层总和法计算群桩沉降，其核心为Mindlin位移基本解答，可参见文献[17]，该方法一般不适用于海上测风塔桩基沉降计算。
依据Geddes应力积分解进行桩基沉降计算时，采用单向压缩分层总和法时沉降的计算为(www.xing528.com)
式中 s——桩基最终计算沉降量；
Q——桩顶荷载；
l——桩长；
K——总桩数；
ψpm——沉降经验系数；
m——桩端平面以下压缩层范围内土层总数；
nj——桩端平面下第j层土的计算分层数；
Δhj，i——桩端平面下第j层土的第i个分层厚度；
Esj，i——桩端平面下第j层土第i个分层在自重应力至自重应力加附加应力作用段的压缩模量；
Ib，k——第k根桩桩端荷载产生的应力影响系数，按式（6-52）计算；
Ir，k——第k根桩桩侧均匀分布荷载产生的应力影响系数，按式（6-53）计算；
It，k——第k根桩桩侧三角形分布荷载产生的应力影响系数，按式（6-54）计算。
对于摩擦型桩，桩侧摩阻力基本沿三角形规律分布，此时可假定β=0，则式（6-58）可简化为
在应用单向压缩分层总和法计算时还应确定压缩层的计算厚度，压缩层厚度采用变形比的确定原则。地基变形计算深度zn应符合
式中 Δs′i——分层计算时在计算深度范围内第i层土的计算变形值；
Δs′n——在由计算深度处向上取厚度为Δz的土层计算的变形值，Δz按表6-14确定。
当计算深度下部仍有较软土层时，应继续计算。
表6-14 Δz的取值
注：b为基础宽度。
桩端阻力比α和桩基沉降计算经验系数ψpm应根据当地工程的实测资料统计确定。无地区经验时，ψ值可根据变形计算深度范围内压缩模量的当量值（
）按表6-15选用。
pm
表6-15 桩基沉降计算经验系数Ψpm
注：表内数值可以内插。
变形计算深度范围内土体压缩模量的当量值
，应计算为
式中 Ai——第i层土附加应力系数沿土层厚度的积分值；
Esi——第i层土的压缩模量，应取土的自重压力至土的自重压力和附加压力之和的压力段计算。
对于单桩、单排桩、桩中心距大于6倍桩径的疏桩基础的沉降计算，桩端平面以下地基中由桩引起的附加应力，按考虑桩径影响的Mindlin积分解计算确定。将沉降计算点水平面影响范围内各桩对应力计算点产生的附加应力叠加，采用单向压缩分层总和法计算土层的沉降，并计入桩身压缩se。考虑通常情况下桩基侧阻力分布特点，桩基的最终沉降量可计算为
式中 m——以沉降计算点为圆心、0.6倍桩长为半径的水平面范围内的桩数；
n——沉降计算深度范围内土层的计算分层数，分层厚度不应超过计算深度的0.3倍；
σzi——水平面影响范围内各桩对应力计算点桩端平面以下第i层土1/2厚度处产生的附加竖向应力之和，应力计算点应取与沉降计算点最近的桩中心点；
Esi——第i计算土层的压缩模量，采用土的自重压力至土的自重压力加附加压力作用时的压缩模量；
Ψ——沉降计算经验系数，无当地经验时，可取1.0；
Δzi——第i计算土层厚度；
se——计算桩身压缩量；
Qj——第j桩在荷载效应准永久组合作用下桩顶的附加荷载；
lj——第j桩桩长；
aj——第j桩总桩端阻力与桩顶荷载之比，近似取极限总端阻力与单桩极限承载力之比；
Ib，ij、It，ij——第j桩的桩端阻力和桩侧阻力对计算轴线第i计算土层1/2厚度处的应力影响系数，分别按式（6-55）和式（6-57）计算。
桩身压缩量se计算为
式中 ξe——桩身压缩系数，端承型桩，取ξe=1.0；摩擦型桩，当l/d≤30时，取ξe=2/3；l/d≥50时，取ξe=1/2；介于两者之间可线性插值；
Ec——桩身混凝土的弹性模量（当为钢桩时则采用钢材弹性模量）；
Aps——桩身截面面积。
对于单桩、单排桩、疏桩复合桩基础的最终沉降计算深度Zn，可按应力比法确定，即Zn处由桩引起的附加应力σz、由承台土压力引起的附加应力σzc与土的自重应力σc应符合
除低桩承台基础外，通常海上测风塔桩基中σzc=0。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
