不规则流函数波理论的分析原理

与斯托克斯波求解中基于傅里叶级数的小参数摄动展开来计算不同，流函数采用直接求解非线性方程来数值确定相关系数。对于不同的求解阶数，采用这种数值处理方法而言更易于扩充实现。整体而言，流函数波理论包括两类[3]：其一是对称的或规则的流函数波理论，描述了对称的周期波，具有预定的周期、波高和水深的不变形波；其二是不规则流函数波理论，流函数和相应波浪运动学参数具有预定的波形，这种理论特别适于分析波浪水池或场试数据。

不规则流函数波理论的一般形式，对波浪形状没有限制。当各种相速度及分量相互作用引起波浪传播和相对运动时，波浪可以改变形状。在规则流函数波理论中，假定波浪以常速c传播，形状不变。若选择与波浪相同方向、相同速度c移动的坐标系，坐标系跟随波浪运动，坐标原点总处于波峰上，在此坐标系中，波形不变，边值问题得以简化。此时，运动是定常的，时间变量消失。相对移动坐标系的水平速度为u—c，微分方程用拉普拉斯方程描述，坐标系如图4-9所示。

图49 分析坐标系定义

求解流体波动的解析函数问题依照数学的观点可以归结为求解边界值问题。也即在流体波动内部存在着为某个函数必须满足的运动微分方程，在流体波动的边界上存在着为这个函数必须满足的边界条件。如果假定在均匀不变水深中沿正方向传播的表面波，其波动无旋，流体无黏性且不可压缩，则上述边界值问题的二维形式可写成[8]

式中 φ——速度势函数；

ψ——流函数；(www.xing528.com)

u、w——水质点速度的水平分量和垂直分量；

η（x，t）——波剖面；

p——压力；

ρ——水的质量密度；

g——重力加速度；

x、z——水平坐标和垂直坐标；

d——平均水深。

式（4-88）为φ或ψ所满足的运动微分方程，式（4-89）为底部边界条件，式（4-90）为运动学自由表面边界条件，式（4-91）为动力学自由表面边界条件。