时间简说：同时性与时间顺序

在数学上，没有持续时间的瞬间是几何点的同义语。它不可能与人们感觉意识的“现在”相联系。人们感觉意识的“现在”不是确切的持续时间。然而，我们对芝诺悖论的考察已经引出了这样的结论：对于可能的运动来说，类点瞬间必然是逻辑虚构。这表明，我们只有在把它当做计算辅助手段的数学工具使用时才接受类点瞬间概念。

在这一过程中没有什么异常的东西。事实上，数学物理学中充满瞬间，在那里使用工具的逻辑虚构特征非常明显。尽管可微分性以连续性为前提，但按其性质必然是离散的一些物理量还是经常用微分符号来表示。例如，在统计力学中，符号dN代表粒子数的微分；还有，在电子学中，尽管我们已经清楚电荷电子量的性质，但还是用dq表示电荷的微分。这些自相矛盾的处理方法，逻辑学上似乎是很介意的，但物理学家们从未对此提出质疑。如果遇到挑战，这些物理学家将会争辩说，他们这样做是正确的，因为在所讨论的条件下，同粒子总量相比，dN是小量；同样，对于问题中的总电荷来说，dq是小量。当然，对于这种工具式的功效而言，这是必要条件，但说它们正确只是数学上的方便。同样，在时间以及空间的情况下，物理学家们坚持连续性假说，因为微分问题常常比差分问题更容易处理（至少在分析上）。因此，物理学家坚持这一假说的基本原因也还是数学的方便。

不过，在过去的几十年里，有些哲学家和数学家已经表现出不满意这种脱离实际的处理方式。胡塞尔和其他一些学者都指出，没有大小的点和瞬间应当是“结构”，而不仅仅是假设。他们试图用有限间隔的可感事件以及它们的可感的时间关系去定义无大小瞬间的数学时间，并称这是“广延抽象”方法。其实，这种方法最初是为了通过可感物体去定义空间点而设想出来的。虽然这是一个难以捉摸的方法，但由于它富有成效的各种应用，所以仍不失为是现代时间方法论的一个创新。当一个无限序列的极限实际上等同于该序列本身时，这一方法得到了纯数学应用。例如，无理数2，等同于平方小于2的所有有理数的序列的极限。因此，尽管广延抽象难以捉摸，最后还是被广泛接受。

乍看起来，我们或许认为无持续时间的瞬间的定义会比空间定义较为简单，因为时间是一维的，而空间是三维的。不过，数学物理学家们要求的是从非无持续时间的事件导出瞬间的连续性。这种连续性是顺序上的线性连续，或相似于实数的连续。

胡塞尔提出了解决问题的2种不同方式：瞬间可以由事件（非零持续时间）构成，或者用时间的交叠方式构成。不过，要用前一方式产生一个连续瞬间序列，必须要求有任意短间隔的事件，而我们现在还没有理由认为这样的事件会实际出现。所以，我们还是将注意力放在交叠方法上，因为它更接近于符合我们的经验。

我们对时间的实际经验可以从2个基本关系来分析：同时性和时间顺序。任何2个事件要么是同时的，要么是一个比另一个较早或者较晚。在同一时间共同出现的2个事件叫做同时性或交叠事件。因此，不相交叠的2个事件，其中必有一个与另一个相比，是较早的，或在前面的。这个关系是可转换的，即如果一个事件先于另一事件，而这个事件又先于第三个事件，则第一个必先于第三个。如果我们从考虑2个同时性事件开始，任何相互同时的其他事件必然存在3个共同交叠的时间。因而，胡塞尔把瞬间定义为同时性的任何2个事件以及与它们都是同时的其他所有事件的序列。若一个事件是定义瞬间序列的事件中的一员时，就说它“处于”那个瞬间。

有了这一定义，我们现在面临一个极其困难的问题：这一定义能够给出物理学家们要求的瞬间的时间连续吗？我们用T代表这个连续，它应该具有以下性质：

（1）T是一个简单的顺序序列。在这个序列中，如果p和q是任意的两个瞬间，则要么p与q是同时的，要么p先于q，或q先于p。这3种关系是相互排斥的。进而，如果p先于q，而q先于另一瞬间r，则p也先于r，且q就被说成是介于p和r之间。

（2）T是一个致密序列。这意味着，如果p先于r，则在p和r之间至少存在1个瞬间q。

（3）T满足这样的逻辑要求：如T1和T2是T的任意2个非虚空部分，且T的每一个瞬间要么属于T1，要么属于T2，而T1的每一瞬间先于T2的每一瞬间，则至少存在1个瞬间t，任意早于t的瞬间属于T1，而任意晚于t的瞬间属于T2。

（4）T相当于一个线性结构可数子集F。这样，在T的任意2个瞬间之间至少存在1个属于F的瞬间。

针对上述问题，有人首先求得了满足性质（1）并可导出（2）的条件。胡塞尔自己也研究了一个事件至少“处于”1个瞬间的条件。他指出，满足性质（2）的条件必须：①在1个瞬间没有持续事件；②任意2个交叠事件至少有1个共同瞬间。他关心的主要是瞬间存在问题，他认为瞬间只是一个逻辑概念，无限接近是可能的，但不可能达到。

有一位叫沃克（A.G.Walker）的研究者，在分析基本粒子时，导出了利用切片概念，以持续定义瞬间的方法。在他看来，与事件序列或持续相联系的先后顺序概念只是部分成立。因为给出的序列中的任意2个成员，一个可能先于另一个发生，也可能不发生。他假定，如果a、b、c、d是任意4个持续，且a先于b，b交叠于c，c先于d，则a先于d。这个假设被称为“沃克假设”。它具有这样的性质：如果a先于b，b先于d，则a先于d。瞬间被定义为按以下方式构成的3个集持续（A，B，C）的一个整合。A是a的所有持续的集，B是b的所有持续的集，C是既不属于A也不属于B的所有持续的集。如果C的任一成员被A或B的某个成员所交叠，则这3个集就定义了一个瞬间。如果A和A′集是同一的，且B′与B，C′与C一致，则说（A′，B′，C′）瞬间与（A，B，C）瞬间是同时的。

可以证明，这样定义的瞬间序列是简单设定。因为：①对任意2个瞬间p和q，要么p先于q，要么q先于p，或p与q是同时的；②对任意三个瞬间p，q，r，如果p先于q，q先于r，则p先于r。为了证明这些结果，我们可首先证明这样一个引理：如果A集中每一个持续a先于B集中每一个持续b，并且如果A′集中每一持续a′先于B′集中每一持续b′，则要么A和A′是同一的，要么一个包含在另一个之中。

沃克用反证法证明了这一引理。即如果这个引理是错误的，则它将表明，存在一个持续a（属于A），它不是A′的成员；也不存在一个持续a′（属于A′），它不是A的成员。这样，a和a′必须交叠。这就表示a和a′不可能相互先于。因为，如果a先于a′，则由于a′先于b′，按基本假设，a必须先于每一个b′，因此，a将是A′的一个成员。这与a不是A′的成员的假设相矛盾。同样，a′不可能先于a。因此a和a′必然交叠。接着可以证明存在一个B的成员b，b与a′交叠。因为由于a′不在A中，B集的持续b要么先于a′，要么交叠于a′。然而，前一选择是可能的，因为a先于b，它将由基本假设决定，该假设是a必先于a′，我们已经看到这是可能的。因此b必交叠于a′。同样，我们也可以证明a′必交叠于b′。因而我们发现，a先于b，交叠于先于b′的a′。因此，根据基本假设，a必先于b′，然而这就与前面的a必交叠于b′的结果矛盾。因此引理的逆定理不能成立。所以，要么A和A′是同一的，要么一个包含另一个。

现在，我们可以证明，2个瞬间p和q，要么是同时的，要么是一个先于另一个。因为如果p=（A，B，C），q=（A′，B′，C′），则根据引理，要么A等同于A′，要么A′包含A或A包含A′，因而，p要么与q同时，要么p先于q，或q先于p，如果p先于q，q先于r，当r=（A″，B″，C″）时，则A′包含A，A″包含A′，由此可得A″包含A′。因此p先于r。

用同样的方法可以证明，按这种方式构成的瞬间序列是封闭的，其中每一个有约束的单调序列都有一个极限，该极限是瞬间序列的一个成员。例如，我们考虑一个无限序列

p1，p2，p3，…，pn，…

这里pn（An，Bn，Cn），且p1先于p2，p2先于p3，等等。假定该序列中的每一个成员都先于某个瞬间q=（A*，B*，C*），则该序列的极限可以被表示为p=（A，B，C），这里A至少是序列

A1，A2，A3，…，An，…

中的一个成员的所有的集。B是序列

B1，B2，B3，…，Bn，…(www.xing528.com)

所有持续的集。C是既不属于A又不属于B的所有持续的集。由于定义p的集是存在的，所以瞬间p是存在的；又因为B包含B*，所以B也是存在的。然而，如果p′=（A′，B′，C′）是先于p的任意瞬间，则A包含A′，并且由于n总是有限的。这样An包含A′，这表明p′先于pn，而pn先于p，因此p是该序列的极限。在这个意义上，先于p的每一个p′均为pn序列的成员。这样，pn介于p′和p之间。对于p2先于p1，p3先于p2，等的无限序列也可以求得同样的结果。

这表明，初始持续相应于由它构成的简单有序瞬间序列的间隔。间隔被定义为所有这样瞬间的序列，它们要么后于给定的瞬间p，要么先于给定瞬间q，或两者兼有。属于C集的持续c被看成包含瞬间t，t=（A，B，C）。假定c后于a而先于b，我们可确定p和q，如果t包含c，则p先于t而t先于q；如果t后于p而先于q，则c包含t。这些瞬间便可以确定为：p=（A1，B1，C1）。这里A1是先于c的持续的集，A2和C2与A集和C集相同。因此，如果t包含在c中，就表示c是C集的成员，c不是B集的成员。然而c是B1集的成员，因此B 1必须包含B，这就表示p必先于t。同样，我们可以证明t必先于q。

如果t后于p而先于q，则A2包含A，A包含A1，B1包含B，B包含B2。为了证明c包含t，我们必须证明c是C集的成员。我们可以证明c既不属于A，也不属于B。如果c是A集成员，则c将先于B集中的每一个持续x。因此x将是B2集成员，因而B1将包含B。这就与我们的B包含B2的条件相矛盾，因此c不可能属于A。我们可以同样证明c不属于B。因此，c必属于C，且c包含t。

尽管这一方法使我们能够以初始持续相当于瞬间序列间隔的方式，根据部分有序持续序列求得简单有序的瞬间序列，但它并不能够给出物理学家们所要求的连续时间。事实上，这一分析只得到以上的条件（1）和条件（3）。而且是相对于每一个有限持续都包含有限整数瞬间的假说而言的。但是，该方法表明，如果假定持续符合沃克的要求，则可以认为持续是瞬间的复合，它是物理学家们要求的一维序列。

为了构造出连续时间，根据观测者对持续的经验求得的简单有序的瞬间序列T还必须附加另外条件。我们看到，如果这一序列具有前面的性质（2），则它也将具有性质（4）。因此，它也就具有实数连续的同型性。这样，也就能使我们对它增加像时钟致密序列那样的进一步的条件。

令t0为T集的任意瞬间，且t0先于T集的另一瞬间t1。根据性质（2），我们可选择t2，使t2先于t1而后于t0，即t0＜t2＜t1。同样，我们可选择t3，使得t0＜t3＜t2，一般来说，我们可以选择tn，使t0＜tn＜tn-1，n为正整数。按照我们前面的瞬间序列是封闭的要求，或者根据条件（3），可以看到，T集中任何这类序列tn必然有一个唯一极限τ，因为任意先于τ的瞬间也先于tn，而任意后于τ的瞬间也都后于tn。我们可以按照下述准则将T分为2个非空序列T1和T2，这个准则是：T集的任意瞬间t都是T1集的成员，如果它先于每一个tn的话；它也是T2的成员，如果存在一个先于它的tn的话。显然，每一个瞬间，要么属于T1集，要么属于T2集，并且这些序列都不是“空”的，因为t0是T1的成员，t1是T2的成员。然而，由于T是简单有序的，所以T1集的每一个瞬间先于T2集的每一个瞬间，因而，至少有一个瞬间属于t，使任何早于τ的瞬间属于T1，晚于τ的瞬间属于T2。而T集是致密的，所以τ必然是唯一的。

下面我们引进“时钟”单调有序致密序列概念。首先，这里所说的“时钟”指的是一个假想“器械”。如果在给定瞬间x把它“启动”，它将在x以后的瞬间y开始“报时”。这2个瞬间的函数关系可表示为y=θ（x）。我们还规定，如果x1＜x2，则y1＜y2，这里y1和y2分别对应于x1和x2。我们可以由任意瞬间开始构造一个瞬间的时间链。因此，如果时钟在t瞬间被启动，则它将在瞬间θ（t）开始报时；如果在θ（t）启动，它将在θ[θ（t）]报时。一般地说，如果它在θp（t）被启动，它将在θp+1（t）报时，这里θp+1（t）=θ[θp（t）]，p为正整数。这个链也可以反向外推：如果时钟在瞬t报时，它就在瞬间θ-1（t）被启动；一般地说，如果它在θ-q（t）报时，它就在θ-q-1（t）=θ-1{θ-q（t）}被启动，q为正整数。有了“时钟”的这个定义，我们假定由任意给定瞬间t，借助于一个给定的时钟构造的瞬间（报时）链将包含T集的所有瞬间，在这种意义上，T集的任何其他瞬间t*，要么是该链上的一个瞬间；要么是这样的一个瞬间，它使整数p（正的，负的，零）有

如果时钟在相同瞬间x启动，任意一对报时指令都是独立的x，则该时钟序列将被认为是单调有序的。我们假定存在一个这样的时钟致密序列，以致给定任意两瞬间α和β，α＜β，则有一个序列成员，它在先于β的瞬间报时。这些定义和假设加在一起，就确定了一个包含T的时钟单调有序连续序列。在理想情况下，除了为分离形成时间链的子集而假定存在某些规则之外，对“器械”不需作任何假设。

下面，我们来证明，T包含一个线性构架F，它是这样的瞬间的可数子集：在T的任意两个瞬间α和β之间至少有一个属于F的瞬间。我们先选择确定的瞬间序列t1，t2，t3，…，tr，…；此处tr+1先于tr，r=1，2，3，…；再由上面引进的与函数θr有关的时钟中，选择在τ瞬间启动，报时瞬间为θr（τ）的时钟θr，此处

每当它们在相同瞬间启动时，时钟θτ+1在时钟θr之间报时。我们再一步选择与函数θ有关的时钟，使得如果在α瞬间启动，它将在θ（α）瞬间报时，此处

由于瞬间序列tr收敛于τ，我们可以发现，一个实际的序列成员tn，它先于θ（τ）。因此，由于θn（τ）＜tn，这就表示θn（τ）＜θ（τ）。因而，对于任意瞬间t，θn（τ）＜θ（t），它表明θn（α）＜θ（α）。又由于θ（α）＜β，我们可以推出θn（α）＜β。因为时钟θn包含T集的所有瞬间，所以必然存在一个整数p（正的，负的，零），使得

符号“≤”表示先于或一致。由于

因此，我们可以求出

因为p和n都为整数，τ又是固定的，所以瞬间子集（τ）是可数的。这样，我们就构造了一个瞬间F的线性构架，使得T集的任意两个瞬间之间至少存在一个成员F，F是T集的可数子集。

数学物理学家抽象的一维连续瞬间，与数学家的实数连续是等同的，与计量学家的连续观点也一致，看起来，它是来自观测者有限交叠持续经验的一种逻辑构造。它具有这样一些假设：

（1）如果持续a先于b，b交叠于c，c先于d，则a先于d。

（2）瞬间T序列是致密序列。

（3）可以选择瞬间子集以便得到一个包含T的时钟的单调有序致密序列。

在构造这种线性连续的数学时间中，我们只应用了通常的定义和假设，没有必要求助于度量概念。虽然引进“时间链”概念，它也不涉及度量概念的周期性。因而，特殊瞬间与各个实数的联系仍然是任意的。

总之，我们的目的不在于证实类点瞬间的“真实性”，而在于分析它们理论构造的基本原则，并由此说明为什么我们对数学时间求得的是算术连续的原因，就像人们对形成几何直线的点的序列所做的那样。尽管这样求得的无持续瞬间的连续，本质上还是数学抽象，但是，正是在这一意义上，我们认为伽利略几何化时间观念是正确的。