爱利亚学派的芝诺提出的时间和运动的悖论，重要成果

芝诺（Zono，公元前495—前430年）是意大利南部爱利亚的一个姓坦留德格勒斯的人的儿子，是爱利亚学派创始人帕米尼德（Parmenides）的学生，亚里士多德称他为雄辩术的发明者。爱利亚学派提出世界是一而不是多，是静而不是动的假说。他们认为时间是独立存在的，物质不在时间中变化，时间也不参与事物之中。在他们看来，时间似乎是毫无意义的东西。爱利亚学派在科学史上本没有什么重要地位，但由于它的重要成员芝诺提出的时间和运动的著名悖论而使该学派长存于科学史中。

按照亚里士多德在其《物理学》中的介绍，芝诺提出的悖论或曰诘难共有4个，它们是：

第一，叫做“飞矢不动”。芝诺说，既然运动是地点的变化，那么射出的箭在每一个瞬间都存在于一个等于它自身的空间，它没有移动的地方，所以在任意瞬间，飞矢是不动的。

第二，叫做“赛跑运动场”。说的是运动场上3列物体相对运动所造成的悖论。如图14所示，假定有3列物体A、S、B，在开始时按（a）排列，其中S列不动，A和B按相反方向相对于S运动，运动速率相同，均为每单位时间移动一个点。经过第一时间单位后，A、S、B呈（b）的排列，再经过一个时间单位，它们便呈（c）的排列。这样，A移动到S的位置和B移动到S的位置，所花的时间是相等的，但A越过S列2个点，而越过B列4个点，A越过S的1个点的时间可以等于越过B的2个点的时间，而它的速度是每个单位时间越过1个点，这样就出现1个单位时间等于2个单位时间的荒谬事情。所以这个悖论又被叫做“一半的时间可以等于一倍的时间”。

第三，叫做“艾奇利斯永远追不上乌龟”。艾奇利斯（Achilles）是希腊神话中的善跑者，乌龟是爬行很慢的动物。这个悖论是说，艾奇利斯跑得再快，也不可能追上在他前面爬行的乌龟。因为追赶者在他追上被追赶者之前，必须先到达被追赶者开始爬行的起点。但是追赶者到达这一点所花的时间里，被追赶者又向前前进了一定的距离，即使这段距离同追赶者所走过的距离相比是很短的，但它是在前进，并未停下来。因此，在经过任意时间间隔之后，追赶者和被追赶者之间的距离可以逐步减小，但由于被追赶者不停地运动，它总是向前前进一个正的距离，距离大小是可以无限分割的，所以艾奇利斯永远也追不上乌龟。

图14　“赛跑运动场”示意图

第四，叫做“两分法”悖论。它是说，任何物体想要由A点运动到B点，必须先到达AB的中点C，而要到达C点，又必须首先到达AC的中点D，要到达D，则必须到达AD的中点，如此等等，两分法的过程可以无限地进行下去，其结果便是这个物体不可能离开A点而向前运动。还有一种说法是，你要想由A到达B，必须先通过AB的中点C，到了C点之后，又必须通过CB的中点D，到了D点之后，又必须通过DB的中点。这样的中点有无穷个，所以你不能在有限的时间内通过无穷个点，因此你始终到不了B点。

这个悖论同中国战国时期惠施提出的辩论命题“一尺之棰，日取其半，万世不竭”相比，在逻辑推理上有惊人的相似。前者是说在有限时间内不能通过空间中的无限个点；后者则是说，在无限的时间里分割不完有限的空间。在惠施的其他辩论命题中也包含有“飞矢不动”的命题。

“飞矢不动”悖论是反对时间的瞬时存在，即时间是由不可分的瞬间组成的，由此引出了关于运动特性的意义深远的讨论。

哲学家胡塞尔（B.Russell）在讨论“飞矢不动”悖论时指出，芝诺把物体的运动状态与静止状态截然分开，在他看来不可能有运动状态中的物体，箭矢在每一个瞬间是简单地处在它所在的位置，因此位置没有运动。这一论证引出的正是恩格斯指出的运动和静止的矛盾统一问题。在芝诺看来，运动的状态是运动的本质，运动只能用位置改变来识别，它只可以分解为运动状态而不可能分解为静止状态。换句话说，运动只能转化为运动，而不能转化为静止。因此，可以说，芝诺的认识来源于直观感觉。恩格斯在《反杜林论》中指出：“运动本身就是矛盾，简单的机械移动之所以能够出现，也只是因为物体在同一瞬间既在一个地方又在另一个地方，如在同一个地方又不在同一个地方。这种矛盾的连续的产生时的解决，就是运动。”在芝诺悖论中，飞矢因受力而运动，处在同一个地方又不在同一个地方的矛盾之中，“这种矛盾的连续的产生及其同时的解决”，就使飞矢不断前进。

“飞矢不动”还涉及运动的连续性和间断性问题。有些学者认为，如果把运动过程看成是连续的，就不会陷入哲学家的困难。然而，我们已经采用的关于运动的定义，看来似乎并没有给出确切的含义。例如，14世纪经院派学者在讨论运动时，坚持认为运动不能被划分成相继状态的连续流动的形式，是一个可辨别其状态的连续序列。运动物体在运动期间时时刻刻都获得独立的空间属性。看来，用运动过程的连续性去解决芝诺诘难似乎不一定可靠。当然，这里所说的“空间属性”和芝诺所说的“存在于一定空间”应该是2个概念。但问题是，我们还没有证据去证明一个运动着的物体在某一特定的瞬间“存在于”某个特定的空间。

“赛跑运动场”的诘难并不难解决。A和B以相等速度向相反方向运动。相对于相对静止的S，A和B越过的点数（距离）和所用的时间都是相等的，只是运动方向不同，但A和B相互观察对方时，它们相互离去的时间与离开S的时间虽然相同，但越过对方的点数（距离）却不相同。正好是越过S的2倍。芝诺把点数（距离）的2倍换成了时间的2倍，混淆了时间测量和距离测量的关系，A和B的时间测量是参照于S的，而A和B之间的距离测量是互为参照的。另外，A相对于S是运动与静止的关系，A相对于B是运动与运动的关系。将A相对于S越过的点数与A相对于B越过的点数进行比较，就犯了非同类比较的错误。

在前2个悖论中，芝诺想要证明的是，如果时间是由不可分的瞬间所组成，则运动就不可能出现。现在，我们来看他的另外2个悖论。这2个悖论想要证明的是，如果时间是无限可分的，运动同样会出现问题。“两分法”和“艾奇利斯”悖论是密切相关的：每一个都包含无限连续的时间。在“两分法”中，运动不可能有开始。因为要跨越一定距离之前，也必须先跨越该距离的一半。同样，它在跨越这一半的距离之前，也必须先跨越该距离的一半的一半。如此无限下去，不管是在什么样的一个有限时间，如果它要跨越任何距离，它必须在那个时间完成无限次的跨越动作。这是不可能的。因此，运动就不可能发生。另一方面，在艾奇利斯悖论中，芝诺倾向于表明，承认运动的可能性，但最慢的赛跑者也决不可能被跑得最快者超过。因为追赶者必须首先到达追赶开始的起点，而在他前面的这种起点是一直存在的，因此，慢者必然总是在前面。(www.xing528.com)

值得注意的是，在如何认识这一悖论的重要性方面，历史上出现了不同的意见。例如，有人认为，这是一个糊涂的但又很难的问题，对于一个具有一定数学和逻辑知识的人来说，它决不会有什么困难。另一方面，胡塞尔把4个悖论描述为“全是不可测量的微妙的诡辩”。芝诺似乎认为函数极限“倾向于”某个固定值，而这个函数就是时间。我们用简单的算术可以计算出在哪里和在什么时间，艾奇利斯可以赶上乌龟，而且我们然后会问这个函数的极限是否就是“达到”，即被计算出来的函数的相应值。我们知道，牛顿在《原理》中似乎也有函数的极限就是“达到”的意思，只是对牛顿来说，问题的模糊性没有充分显示出来罢了。极限问题的解决是在19世纪。在此之前，时间和运动概念不可避免地会与“倾向于”和“达到”这类术语相联系。因此才会出现芝诺考虑的时间与运动的实际问题和数学表达联系在一起的情况。

集合论创立者，德国教学家坎特（G.Cantor）对这一问题有所了解，但他关心的是连续的纯数学概念，而不是包含时间和运动的问题。几个世纪以来，思想家们都在试图解决线性连续问题，但在坎特之前，在把线性连续表征为带有空间结构的线性集合方面，无人取得成功。事实上，这个问题作为一个远古概念的思考，既难以作进一步的逻辑学和数学的分析，又是以超逻辑学和非数学概念的时间为基础。坎特在讨论连续概念含义时提出这样的论点：连续概念应该被认为是比时间、空间或任何其他独立变量更为基本的概念。他指出，我们不可能从时间或空间概念开始我们的讨论，因为它们本身只能用独立于它们的连续性概念来解释。艾奇利斯超过乌龟可以不必考虑时间的临界点。为了说明这个问题，他取艾奇利斯的速度10倍于乌龟。艾奇利斯到达每一个时间间隔端点所走过的连续距离之和可以用一个无限序列来表示：

(A)10+1+1/10+1/100+1/1000+…

相应的时间间隔之和为：

(T)1+1/10+1/100+1/1000+…

坎特指出，如果A序列收敛于一个有限的极限，则T序列也如此。A序列的收敛性与时间无关，它是收敛的，因此，艾奇利斯可以赶上乌龟。

坎特的这一论点得到著名哲学家胡塞尔等人的支持。

但是有人指出，坎特利用连续序列极限理论，仍然不能帮助艾奇利斯追赶上乌龟。因为事实上，他是在按照芝诺的思想方式行事：把不间断的对象割裂开来进行考察，而又没有把间断和非间断统一起来。

列宁指出，艾奇利斯追不上乌龟的悖论，是没有把思维中分割出来考虑的各个环节，同本来就相互联结的对象统一起来。它把运动看成是物体在某一瞬间在某一个地方，在相邻的另一瞬间又在另一地方，而不是把运动理解为物体在某一个地方同时又不在某一个地方，所以它描述的是运动的结果，而不是运动本身，没有指出运动的可能性，把运动视为一些静止状态的总和与联结，就是说，没有消除辩证的矛盾，而只是把它掩盖、推开、隐藏、搁置起来。列宁的这一分析是深刻的。按照列宁的看法，芝诺以运动结果代替了运动的过程，把运动的连续性割断，把运动看成是在各个点上静止状态的相加，因此，在时空上连续性与间断性矛盾也就被取消了。这样，艾奇利斯永远追上不乌龟。2000多年前的亚里士多德回答得倒也干脆：艾奇利斯可以追上乌龟，只要允许他“越过界限”！

芝诺涉及时间和运动的4个悖论，似乎可以分为2组。前2个为一组，它们以不可分的瞬间概念为基础；后2个为一组，它们以时间无限可分为基础。前者似乎没有逻辑矛盾，尽管它们与通常感觉相冲突。然而，后者显示出一定的逻辑矛盾，如果我们试图以连续理论去解释的话。

关于芝诺提出这些悖论的动机，我们认为，芝诺可能是想凭借这些悖论来介绍帕米尼德关于“1”（即不可分的实体）的存在性的学说，并以此试图反驳通常意义下的关于“多”（即可辨别的性质和能运动的东西）的存在的信念。为了回答那些认为帕米尼德关于“1”的存在性的理论中包含着不相容性的人们，芝诺试图证明：假定事物关于时间和空间的众多性的存在将带来更为严重的不相容性。芝诺在这些悖论中用到了3个前提：第一，任一作为整体的单位都有大小；第二，任一作为整体的单位都是无穷可分的；第三，任一作为整体的单位都是不可分的。他还对每一个前提作了论证。对第一个，他的论证是，如果乙加到甲上去，或从甲减去乙，而且既不使甲增加也不使乙减少，则乙只能是无。对第二个他认为，一个单位既然是“1”，就是均匀的，所以，假如可分，那就不可能在某一点可分而在另一个点不可分。对第三个，他认为，一个单位假如可分，那就或者分成更小的单位而与第二个命题相矛盾，或者由于第一个命题而分为无。他掌握了两难推理中的一种非常复杂的论证，一是假定了不可分性，另一是假定了无穷可分性，两者都导致和原来的假设矛盾。他的方法有极大的影响，可以说他是继承了帕米尼德的抽象、解析的方式，但是他是从对方的论点出发，并用反证法把其论点驳倒。芝诺可能一直在和他的主要论敌毕达哥拉斯学派的信徒论战，后者相信由数学组成的众多性（即我们前面所说的万物由数组成），可以把这些数想象为广义的单位。这可能就是芝诺提出这些悖论的目的所在。