时间的几何化与微积分学的发现

图13　纳皮尔的对数定义

在17世纪，由于运动学理论的完善，时间的几何化大大促进了数学的发展。为了简化天文、航海、工程等应用中的算术计算，苏格兰的纳皮尔（J.Napier）发现了对数，发表于1614年。在16～17世纪，数学广泛应用于物理学，数学研究主要是创立简化算术计算的方法。尽管纳皮尔创立对数是为了简化当时在天文学中应用的球面三角学方法，但它在以后的计算数学上有巨大影响。它使得包含乘法和除法的问题简化为等价的但更为简单的加法和减法问题。因为对数简单地就是一个指定的底数的幂指数，因此数的相乘和相除分别等价于它们对应的幂指数的相加和相减。从如何选择底数的角度上看，对数是代数性质的。但纳皮尔当年创立的对数却更多地是几何性质的。事实上，纳皮尔当初是以图13所示的2个运动的点为基础创立对数的。图13中，P点沿直线AB运动，另外一点Q从C点开始沿一条无限长直线运动，在P离开A，Q离开C的时候，这2个点的运动速度相同。Q在所有时间都保持相同速度，而在任一瞬间P点的速度都与距离PB成比例，于是纳皮尔定义由PB测定的数作为用CQ测定的数的对数。

同几何化时间相联系的突出的数学成就当然是牛顿的流数微积分学的发现。流数是牛顿引入的表示导数的原始名称。牛顿把一个变化的（流动的）量称为流量，而称它的瞬时变化率为流数。他说无穷小分析的基本问题是：①已知流量（现在称为函数）求它的流数；②已知流数求对应的流量（不定积分）。因此，如果y=x3，那么量y的流数等于3x2乘以x的流数[7]。用现代符号则记为dy/dt=3x2（dx/dt）。

牛顿的流数概念以人们对运动的不言而喻的直觉要求为基础。在这一点上，他主要受他的老师巴罗（I.Barrow）的影响。

巴罗是17世纪英国的古典文学家、神学家、数学家。他提出了确定切线的一种很接近微积分的方法，最先认识到微积分中的积分与微分互为逆运算。他与他的同时代的数学家霍布斯（T.Hobbes）一起，极力反对牛津大学的一位教授鼓吹的数学算术化主张，共同强调连续几何量的基本重要性。不过，他们的观点之间还有重要差别。

伽利略把动力学建立在速度变化取得的成功，对霍布斯的影响很大。霍布斯甚至由此力图改变他的全部哲学。他认为在某一点的运动，是在一个最小的可分间隔里的运动。他把时间定义为“纯粹的幻觉”，或人们头脑中关于运动前后的衰变影像。他不认为时间是运动的测量，因为人们用运动去测量时间，而不是用时间去测量运动。在他的观点中“现在”只是一个性质上的存在，事件的过去只存在于记忆之中，而未来的事件根本不存在，它只是人们头脑中由目前出现的活动虚构的适用于继之而来的活动。

巴罗虽然反对数学算术化主张，并赞成霍布斯所持的数学的几何化观点，但他明白时间的重要性。在这一点上，他应该被认为他是那个时代的中坚。因为那个时代的许多思想家都认为空间比时间更重要，甚至就连笛卡尔也认为时间相对地不重要，他把空间的延伸认为是物理事件的基本属性，而时间只是人们思考事件的一种模式。

巴罗的时间观点的意义不仅在于它本身所具有的极大重要性，而且还在于它对牛顿产生的影响。事实上，牛顿的空间哲学来源于剑桥柏拉图学派的莫尔（H.More），他的时间哲学则来源于他的老师巴罗。他在其所著的《几何学讲义》中认为，数学家常常使用时间，但对这个词的含义应该有清楚的概念，否则，他们就是“庸人”。尽管他相信在空间和时间之间存在某种类同或类似，但他还是仔细地区分了它们。虽然时间可以用运动去测量，但巴罗指出，时间不可能既是运动的测量，而它本身又被运动所测量。(www.xing528.com)

按照巴罗的观点，同时并非表示一个实际的存在，而是存在连续性的某种能力或可能性，正像空间表示出干预长度的能力那样。就所涉及的它的绝对和固有性质而言，时间不含有运动的意思，只是包含静止的意思。不管事物是运动的还是静止的，也不管人们是睡着了还是醒来，时间都是按它自己的方式继续着。在这里，我们可以清楚地看到牛顿关于“绝对的、真的及数学的时间，只自身在那里流，而因其性质，是等速的且不与外界任何对象有关系”的定义源头。

巴罗还认为，时间含有可以被测量的运动的意思，没有运动我们便不能觉察时间的推移。显然，我们必须视时间为稳定流动的通过。因此，它必须与某些方便的稳定运动，例如恒星的运动，特别是太阳和月亮的运动相比较。正是这些天体的运动而不是天体本身构成了时间测量的基础。

巴罗以下述方式回答了时间与运动的基本关系问题：时间可以被用来测量运动，正像我们按某个大小来测量空间那样，然后利用这个空间去估计与它相应的空间的大小。就是说，利用时间作为中介相互比较运动。他认为时间在本质上是一个数学概念，它与直线有许多相似之处。因为时间只有长度，它的各部分都是相同的，可以被认为是由连续瞬间的简单叠加，或一个瞬间的连续流动所组成。时间既不是直线，也不是圆周线。这些清楚的陈述或许是几何学时间概念最早的最明晰的阐述。

关于时间和直线的关系，巴罗指出，直线既可以认为是由点所组成，也可以认为是由点的运动轨迹所组成。同样，时间既可以被想象为各个瞬间的聚集，也可以被想象为是一个瞬间的连续流动。

在数学上，巴罗的运动学方法是富有成效的。如果他不为此而绝对地坚持古代几何学综合方式，并采用代数学方法，他或许会在牛顿之前就可以建立起流数微积分学。在对待连续性和瞬时速度的性质问题上，牛顿和巴罗之间出现了明显分歧。其实，巴罗对于这些问题的看法并不十分严密，而牛顿则不同，在打破数纯属单位的集成的观念方面，他倾向于同意数学算术化的主张。在瞬间增量的极限速率研究上，牛顿接近于现代极限概念的先行者。不过，在牛顿的著作中，并没有把极限引申地认为是一个数，而只被认为是2个量的商。在这方面，牛顿倒是一个传统主义者，因为在欧几里得观念中，几何大小的比率代替了我们现在常说的“实数”。

牛顿把数学看作是解决物理学问题的基本方法。例如，在《原理》的前言中，他说：“几何学是，但仅仅是一个‘部分的普适方法’。”因此，他的极限观点自然地与几何学和时间直觉密切相联系，特别与时间直觉密切相联系，因为他倾向于认为时间是标准的独立变量。哲学家伯克利曾批评牛顿的流数定义，指出牛顿的流量瞬时变化率既不是有限的量，又不是零，而是“死去的量的幽灵”。实际上，牛顿自己并不是不知道问题的困难所在，所以他用自变量去克服它。这个自变量就是时间。有了这个自变量就可以说，到达某个位置并在那里停下来的物体没有速度，因为物体运动的极限速度，既不是它到达它的最后位置之前运动停止，也不是之后，而正是它到达的瞬间，就是说，是物体到达它最后位置的速度和运动停止的速度。同样，流量瞬时变化率也可以理解为不是消失之前，也不是之后，而正是在消失时的量的速率。

按照无限序列极限的现代定义，极限概念已经从运动概念的直观中分离出来。因此，尽管时间和运动观念在16世纪引出新的数学分析方法中扮演过中心角色，但最终却以尴尬的结果而告终。按照新的观点，变量不代表渐次推移通过一个间隔的所有值，而是在这一间隔中这一值的分离的潜越。由此可以看出，人们含糊的运动直觉，虽然在启发产生微积分中发挥过重要作用，但冷静思考会发现，这种直觉往往是不可靠的，而且常常引错路。