时间简说：几何学与函数变化

时间意识和数学“结构”相联系是从康德到布鲁沃都强调的观点。数学结构概念和时间概念的联系甚至导致布鲁沃拒绝“排中性”逻辑学原理。在对待数学实体概念时，布鲁沃认为它的存在与它的构成的可能性是同义的。一个特定的定理在人们具有解决问题的数学结构之前，既非真理，亦非谬误。另一方面，形式主义和数理逻辑论者认为，数学的“存在”没有时间特征。

可以认为，这些早期的数学概念是从柏拉图开始的直线思维的产物。

柏拉图哲学吸收了毕达哥拉斯哲学中关于数的学说的部分内容。毕达哥拉斯及其学派认为，事物的本原必然被追溯到数。万物的本原是1。从1产出2，2是从属于1的不定的质料，1则是因。从圆满的1与不定的2中产生出各种数目。从数产生出点，从点产生出线，从线产生出面，从面产生出体，从体产生出感觉所及的一切形体，产生出4种元素：水、火、土、气。这4种元素以各种不同的方式互相转化，于是创造出有生命的、精神的、球形的世界。亚里士多德在评论这种理论时说：由于他们在数目中间见到了各种各样和谐的特性与比例，而一切其他事物就其整体本性来说都是以数目为范型的，数目本身则先于自然中的一切其他事物，所以他们从这一切出发进行推论，认为数目的元素就是万物的元素，认为整个的天是一个和谐，一个数目。又说：这些哲学家显然是把数目看作本质，把它既看作存在物的质料因，又拿来描写存在物的性质和状态。亚里士多德还简要地把毕达哥拉斯学派的万物产生于数的理论概括为，他们“把数目的元素描述为奇和偶，认为前者是有限的，后者是无限的；他们认为1这个数目是由这两个元素合成的（因为它既是奇数又是偶数），并且由1这个数目产生出其他一切数目，世界只不过是一些数目。”[6]

毕达哥拉斯学派认为，凡数都以“1”为基础，所有的数都产生于“1”。因为“1”加于奇数便得到一个偶数（例如5+l=6），而加于偶数则得到一个奇数（例如2+1=3），所以，“1”也可以说是奇偶数。其次，由于连续奇数相加之和总是一个数的平方，例如：

所以奇数是平方数。而连续偶数相加之和总是两个连续因数的乘积，例如：

所以偶数是长方数。毕达哥拉斯学派还认为，偶数可以平分为二，所以是无限的；奇数不能平分为二，所以是有限的。宇宙就是由奇和偶或有限与无限者组成的，无限者就是气，有限者就是火。火与气的相互作用构成了宇宙。

毕达哥拉斯学派还从所有的数都来源于“1”出发，提出长方形数、正方形数和三角形数概念，并且认为这些数都是由1，2，3，4，…，n这一系列数字所派生的，长方形数=2n，正方形数=2n+l，三角形数=n（n+1）/2。因此可以说，在西方，首先提出级数概念的是毕达哥拉斯学派。在几何学方面，该学派证明了三角形三个内角之和等于180°的定理。

尽管毕达哥拉斯在人类认识发展史上首次提出数的观念，在数学上的建树也有值得称道的地方，但他把数看成是万物之源，显然是错的。正如恩格斯所说，数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的；“线、面、角、多角形、立方体、球体等观念都是从现实中得到的”。

柏拉图崇尚几何学，也从毕达哥拉斯学说中吸取了关于数构成世界和谐的神秘色彩的理论。但是柏拉图摒弃毕达哥拉斯的更趋严格的算术计算方法。在他看来，在几何学上，数是以具有位置的“点”或单元的形式表现出来；而且，许多用来求得数学结果的算术技术具有几何学特征。纯粹算术技术因为缺乏普遍性，不仅没有几何学方法那样有力，而且还导致一些困难。其实，柏拉图摒弃算术技术是从他的基本理念出发的。因为毕达哥拉斯学派认为万物来源于数，数是由“1”或算术单位连续相加产生的。尽管柏拉图认为时间是感觉世界的一种本质特征，但毕达哥拉斯算术涉及时间、过程和产生的联系，所以他坚决把它排除在几何学之外，他认为只有几何学与永恒世界的理想形式联系在一起。他不喜欢把时间引入纯粹几何学。由此出发，柏拉图还反对用圆规和直尺以外的任何工具来解当时存在的所谓3大难题。这3个难题是：①化圆为方，即求圆的面积；②三等分任意角；③双倍立方，即求立方体的边长，使其体积等于已知边长的立方体的2倍。运用别的工具或数学方法，这些问题是不难解决的。有些人当时就提出了很有创造性的解法，但柏拉图都一一加以拒绝，因为他们使用了直尺和圆规以外的工具。柏拉图把几何图形理想化，反对用其他机械工具研究几何学，而直尺象征直线，圆规象征圆，直线和圆是最基本的几何图形，所以柏拉图允许使用。

其实，柏拉图的担心是多余的。一个角度的等分与圆弧和直线的构造有关，无须参考时间。例如希皮亚斯对一个角度的三等分，就只涉及直线运动而没有涉及时间。

柏拉图的一个学生还应用运动几何学去分析行星运动。运动几何学和天文学的这一联系是古希腊的一个最原始的和影响最深远的知识成就。另外，对数学天文学做出过精心研究的古代民族，还应包括古代中国人利用数学排列预卜未来和天象，以及巴比伦人和中美洲玛雅人发展的算术技术。

亚里士多德在他的《物理学》中，对均匀运动也作了冗长的讨论。在这些讨论中，他把时间看作如同空间一样具有无限可分性。虽然他的论证在数学上并不精密，但在《物理学》中所表现的时间的几何学观点是非常明显的。实际上，他用以标注时间间隔的符号ZH，正是希腊几何学家标注线段的符号。

不过，应该看到，希腊人的运动几何学倾向于给出比较定义而不是度量定义，他们既比较假定时间相同2次均匀运动所通过的距离，又比较距离相同时2次均匀运动所经历的时间。这些比较正是欧几里得观念上的介于相同性质的量之间的比例。因此，这些希腊学者很难得到不同于时间和距离的速度概念。(www.xing528.com)

速度概念是13世纪前半叶，由布鲁塞尔的一位并不引人注目的几何学家首先提出的。他虽然没有明确定义速度，但指出运动的快慢可以用一个数或量来标定，这个量既不是距离，也不是时间。大约到14世纪，牛津大学默顿学院的哲学家中才有人去研究非均匀运动，或加速运动。在他们探索加速运动这一概念的前进过程中，由于尚未发明微积分计算，是很难公式化的，虽然他们的讨论纯属咬文嚼字，但还是为人类知识大厦贡献了一块重要的基石。

在建立运动学加速度表达公式之前，必须先建立2个另外的概念。它们是：

（1）作为独立的时间概念和作为隶属变量的空间概念。

（2）瞬时速度概念。

变量的数学概念是由追随亚里士多德哲学的后经院哲学家们在13世纪提出的。在《物理学》中我们可以看到，亚里士多德在数学和物理学之间给出了硬性的区分。前者与不包含运动的“事件”相联系，后者则与包含运动的事件相联系。不过，因为在地球上运动并未被认为是“数”而宁可说是通过各部分彼此结合既不增加又不减少的“量”。但有人打破这一传统观念去研究量的变化。这个问题起因于计算观测到的量和强度变化的需要。例如，如果增加或减小光的强度，光线将会变亮或变暗。因此，强度是光的内在性质，“幅度”这一术语则表示在这个范围内量的强度是可变的。量的强度从一点到另一点是变化的这个问题，在数学上就成为描述强度随时间或空间变化的模型问题，幅度属于在时间或空间中强度变化的结构。在对变量的初步研究中，研究者比较完整地引进了数学函数，这一点是值得注意的。在14世纪前半叶，默顿的学者们把加速度定义为速度的速度，提出了流数和流数变化概念。大约300年后，牛顿在研究流体变量和流数变化时使用了这些概念。

尽管默顿学派取得了初步成果，但研究变量的基本数学成就是法国的奥斯姆（Oresme）做出的。他生于1323年，逝世于1382年。作为中世纪后期伟大的数学家、哲学家，他取得了不少成就，成为那个时代的一位多才多艺的人。他似乎是西方第一个系统地使用小数点和幂的学者。他一改希腊人认为数是不连续的，几何大小是连续的传统看法，抛弃默顿学派关于变化的烦琐讨论，而用一条水平线表示空间的延伸或时间的变化，用一条垂线表示量的变化。水平线被均匀划分成相等的分划，他称连接所有垂线顶点的线为量的线性变化率。

奥斯姆的工作是瞬时速度概念研究中的一个突出成就。他似乎也是用直线表示瞬时变化率的第一个人。亚里士多德曾明确地拒绝瞬时速度概念。这在很长时期内禁锢了物理学研究者的思想。当然，在极限理论提出之前，要得到满意的瞬时速度概念也是不可能的。

尽管奥斯姆明确宣布瞬时速度将用直线表示，但还是遵从亚里士多德原理，继续保留每一个速度在整个时间继续存在的思想。他在阐述瞬时速度概念时指出，瞬时速度越大，它所包含的距离就越大，如果运动是按这一速率连续均匀的话。虽然默顿学派和奥斯姆都有比较正确的加速度的运动学概念，并且都认为时间是一个独立变量，但是在伽利略时代之前，在他们的文章中仍然包含有很多混乱。历史地看，这些混乱可以追溯到亚里士多德对“快”的2个定义：

（1）在较短的时间里通过相同的空间。

（2）在相同的时间里通过较大的空间。

前者在历史上曾经引出这样的错误结论：自由落体的加速运动速度随距离的增加而增加。这个结论曾经得到不少学者的支持。在得到正确的公式之前，甚至伽利略也曾支持这一结论。

现代研究已经表明，在数学运动学上，伽利略比一般了解的那样更接近于他的14世纪的前辈们的观点。马赫说伽利略创造了崭新的加速概念并非完全正确。在运动加速度概念的提出上，伽利略晚于默顿学派和奥斯姆；在把这一概念正确地应用于落体运动定律时，在一定程度上，伽利略又被一个西班牙人抢了先。因此，尽管伽利略在建立完整的运动学并把它应用于自然发生的运动时走在了他的前辈们前面，但不像一般所说的那样，他是一个首创者，事实上，他也不是把时间应用于几何学概念的第一人。