古希腊哲学家亚里士多德的简约观念与现代代数学之间的联系

时间的数学抽象是一条几何轨迹，即通常所说的“空间化时间”。这是现代科学最基本的概念之一。人们这样看待时间的心理学原因，在于我们把时间看成是一维的直线。在某一瞬间，我们可以专心地注意某一件事，但是不可能不带恍惚地长时间注意下去。因此，人们最初时间概念的形成，或多或少与思维过程中具有线性连续的形式相联系。然而，这种线性连续是由注意力的不连续行为组成的。因此，在认识的初始阶段，同几何学的连续性相比，时间便自然地与计数相关联，因而与数相关联。我们已经讨论了节律在时间意识中的作用。计数是最简单的节律活动。计数能力是注意力的一个基本节律。“数”和“节律”这两个词的英文名称“number”和“rhythm”分别来自希腊文的“αρθμσζ”和“συθμσξ”，而后者是从共同的词根导出的。这表明，在古希腊人看来，时间和计数之间有着特别接近的关系。

时间和计数之间的这种特殊关系，很早以前就得到哲学家和数学家的认同。例如，古希腊哲学家亚里士多德在竭力区分时间和运动的区别时，非常接近于把时间简约为数。他有一句非常有名的话，叫做“时间是运动得以计量的数目”。著名荷兰数学家布鲁沃（L.E.J.Brouwer）以时间间隔叠加概念为基础建立了自然数结构理论。他认为这是人类智力的初始直觉。这一学术思想来源于德国哲学家康德（I.Kant）。康德认为，算术通过时间单元的连续叠加产生数的概念。虽然他没有把算术认为是时间的科学，因为算术关系独立于时间，但是他认为时间和空间是人类对现象的纯粹的感性直观形式。按照康德的观点，空间本质上是客观的和欧几里得的空间；同样，时间也必然是客观的，尽管他没有这样明确地阐述过这样的观点。

康德的时空理论对19世纪前半叶的伟大数学家哈密顿（W.R.Hamilton）产生了深刻影响。哈密顿认为，正如几何学是空间的纯数学科学那样，所以也必然存在一个纯数学科学的时间，而且它必然是代数学。哈密顿不同意当时把代数学说成是符号及符号组合的形式主义看法。他尽力要为代数学寻求一个“真实”的基础，这个基础存在于直觉时间之中。不过，他的目的是从直觉时间导出代数学，而不是用代数学去阐明直觉时间。哈密顿从以下3个基本前提出发开展他的研究工作。

（1）时间的概念与现存的代数学相联系。

（2）时间的概念可能发展成为独立的纯科学。(www.xing528.com)

（3）由此发展的时间纯科学与代数学是共存和相同的。在以时间为基础的代数学研究中，哈密顿遇到了这样的困难：作为二次方程的根，会出现虚数时间。他从耦合矩理论出发，导出了代数学的数对理论，建立了包含负根的复数代数学概念。他认为这样便可以克服他所遇到的困难，因为虽然负数方根在传统观念上不是一个数，但它服从经典的数的所有形式代数规则，是一个新的算术实体而不是一个新的代数元素。在发现了著名的四元数之后，哈密顿的代数学研究达到了顶峰。他的代数学和时间相联系的观点在经过差不多半个世纪以后，才被英国的一位代数学家所评判，使数学同时间概念联系在一起。在整个纯数学中，连续变化是一个基本概念。任何变化只能在时间中发生；也可以说，数学上的绝大部分变化是完全不考虑时间的。与此同时，德国的一位数学家在讨论数字连续性含义的文章中也指出，我们不可能求助于时间概念或空间概念去精确地决定连续性概念。因为时间和空间概念本身只能借助于连续性概念才能得到清楚的解释。连续性概念必须是更为基本的并且独立于时空的概念。

于是，有一位新康德主义哲学家对康德的算术理论作了重新解释。他认为康德自己最初关心的是作为指定顺序原型的时间的“先验”决定。他指出，代替我们时间直觉的是序列和顺序的逻辑概念，由此可以导出算术定律，我们的时间概念绝对依赖于这些概念。

布鲁沃反对这一观点。但他在反对康德的空间理论的同时，关于时间问题又回到了康德的立场。在19世纪下半叶，随着非欧几里得几何学的出现，欧洲的哲学家和数学家明显地分成两派。尽管人类科学一般继续认可欧几里得几何学在描述物理空间方面的重要作用，但许多数学家相信，其他几何学是“可以加以思考的”，即逻辑上应该是允许的。但大多数哲学家并不这样认为。对于非欧几里得几何学的认可，大大巩固了形式主义与直观论者关于纯数学性质争论中的观点。所以布鲁沃说，抛弃康德的先验空间而重新找回的，是更应该绝对地坚持的先验时间。时间的先验性并不仅仅把算术的性质当作先天判断力的综合，而对几何学也是一样，不仅对基本的二维和三维几何学，而且对非欧几里得几何学以及n维几何学也是这样。因为自笛卡尔起，我们已经知道借助于计算可以把所有几何学问题转化为算术问题。

关于康德的先验论时空理论以及对于它的评论，我们在以后各章中还会讨论。在结束本节的讨论之前，我们希望指出，后康德学派的数学家们在对待数学的基础和性质问题上的错误观点。以布鲁沃为代表的后康德学派的数学家，认为以时空为基础的数学知识是先天的。这当然不符合事实。数学并不是先天的，它是客观事物的反映。数学知识是人们经过实践对现实世界的空间形式与数量关系进行抽象概括而产生的。数学具有抽象性，但它是在一定物质基础上的抽象，只是在抽象过程中撇开一些具体因素，集中研究它的数量与形式。数学的抽象性来源于现实存在，只是为了能够从纯粹的状态中研究这些形式和关系，必须使它们完全脱离自己的内容，把内容作为无关重要的东西放在一边。因此，数学抽象是一种科学抽象，它更深刻、更全面、更正确地反映被抽象客体的客观内容。而布鲁沃等人把算术和几何学看成是“先天判断力的综合”，当然就歪曲了包括算术和几何学在内的数学的本质。