时间简说：数学约定-时间简说

自人类文明开始以来，人们总是用数字去标注时间。但是，将接续绵延的时间表示为形同于实数的连续序列，并不能导出任何时间测量系统。因为在任何有限的持续时间中包含有无限个连续的瞬间时刻。根据不同持续的各自瞬间数目不可能得到数学的时间测量。持续具有时间“密度”并在其自身内保留时间推移的性质。而瞬间没有时间外延，它如同直线上的点，其自身没有大小变化。

科学意义上的时间测量从中世纪起就开始被讨论了。最著名的是英国牛津学院的一批自然哲学家们的讨论。他们认识到，从毕达哥拉斯试图把所有长度分解为最小单元有限数目的努力之所以失败，是因为任何直线必须被看成是由无限个无外延的点构成的；为了克服测量的消元式困难，必须引进约定单位。按照他们的看法，对于没有把握的情况而言，由于连续对无限性是可分的，因此按性质，连续中不存在基本的和唯一的测量，通常所说的测量只是按照人的规定进行的。13世纪的一位英国学者在评论亚里士多德把时间定义为“相对于之前和之后的运动数目”时，坚持认为，同所有测量相联系，存在一个不可避免的不精确性，它源于事物的性质并成为所有人类测量的特征[3]。

然而，瞬间的线性排列意味着，我们可以用数字去标注它。这样，“前”“后”和“同时”的关系就可以用“小于”“大于”和“等于”的数字关系来表示。当然，用数字标注的瞬间不能是任意的。例如，如果用整数n标注α瞬间，用n+1标注β瞬间。这里α先于β，则在原则上，任意数p，n＜p＜n+1，可以被用来标注某个特定瞬间τ，则τ必先于β而后于α。同样，任意数q，n＜q＜p，可以标注某个瞬间，该瞬间必后于α而先于τ，等等。以这种方式标注的数字符号仅仅指出线性序列的相对位置，是定时的方法，不是测量时间的方法；是定性的，不是定量的。

对于时间测量问题，我们一般期望能有这样一个基本原则，即如果x和y是2个相邻的持续时间，则对由它们组成的相应的持续时间的测量，应该等于对这2个分量各自测量x和y的算术和（x+y）。事实上，在时间测量中这个原则一般都是得到遵守的。但是也应该指出，不能认为它对所有测量方式都是适用的。我们在理论分析中应该更一般地处理问题。

于是，人们引进了这样一个基本原则：如果我们用数字标注持续时间，则时间相加必须符合交换律和结合律。换句话说，我们将假定：x和y相继持续时间的“和”x+y=y+x。我们还假定3个持续时间x、y和z的复合和中的任一持续具有相同的测量，即不论是x“加”到y和z的“和”上，还是z“加”到x和y的“和”上，它们的结果都是一样的。如果x和y的时间和表示为单值函数f（x，y），因此我们要求f[f（x，y），z]对x，y和z是均匀连续的。令f（x，y）和f[f（x，y），z]的函数算子分别为θy（x）和θz[θy（x）]，可以证明：

即函数算子θy和θz符合交换律。由于x和y可以取连续统中的任意值，因而可以看出，如果和函数是可以微分的，则有

式中，φ是与x和y无关的单调函数算子。因为f（x，y）是均匀连续函数，所以α（y）=φ（y），因而f（x，y）=φ-1[φ（x）+φ（y）](www.xing528.com)

相应地，如果ω是x和y两个持续时间之和的持续时间，则有

时间相加符合交换律和结合律这一基本原则意味着，对于某个单调函数，可以分解出ω持续测量的任意2个接续持续x和y的测量，必须服从上式，这是一个重要结论。因为它表明，即使初始选择的测量尺度不是算术相加的，它也可以被“绘制”在可以相加的另一个尺度上，就是说可以转换为另一个测量尺度，实施这一转换时所需要的只是将原尺度下的x转换为新尺度X，这里X=φ（x）。于是，如果Y和W表示新尺度对原尺度下y和ω的新测量，则很清楚，W=X+Y。因此，对服从加法交换律和结合律的持续时间进行标注测量的任何方法，在原理上最终都可使其能给出服从算术相加通常定律的量。然而，只有满足方程f（X+Y）=f（X）+f（Y）的连续函数f才有f（X）=λX（λ为附加常数），新的测量尺度也才能是唯一的。

时间间隔简单算术相加定律还受以下准则影响：作为一般规则受物理学定律影响。一般认为，物理学定律与事件发生的次数无关；重要的是各次事件发生之间的时间差，而不是每一次事件发生的本身。因此，时间测量取决于标准间隔或周期的选择。它类似于距离测量中的标准距离单位的选择。

在实践中，人们总是按照所考虑的时间间隔的大小，选择不同的时间测量单位。迄今为止，人们所选择的时间测量单位都是用单位周期的数值倍数进行测量的，因此这些选择符合算术相加定律的约定。

这一约定的重要性可以从机械钟发明的历史作用中得到说明。发明机械钟的决定性意义不在于它的计时精度有多高，而在于它所依赖的是周期过程而非连续过程这一事实。与日晷、水钟和沙漏不同，机械钟依赖于机械运动。这种运动反复出现导出了类似于长度单位的更精密的时间单位概念。