计算组合空间量子体积的方法

1）量子四面体

如上以形成3维空间的两种最基本的元素，即体积量子与面积量子，所做的描述，是在空间等价类图景下进行的。这两种量子作为累积空间的粒片状砖瓦，如何形成了3维空间Σ，这里指出，其过程可通过圈量子引力中的空间编织手段完成。具体的编织方法，不止一种。我们这里将着重介绍空间四面体堆叠方法。简单说来，这种方法就是利用四面体堆积成3维空间区域R，从而堆积成3维空间Σ。形象地讲，可以认为这种方法的原型是利用四面体中心顶角的体积量子作为“砖块”，体积间的面积量子作为“界面”，经堆叠而形成空间区域R。我们把这种四面体称为量子四面体。这种堆叠的最初图景是由体积块与面积片形成的一种可用于组合描述的3维空间关系。利用这种关系的概率配合，并经以欧几里得几何代表的几何化之后，便形成了3维平坦空间。从而欧几里得几何以及而后的Riemann（黎曼）几何，便有了可以建立的几何空间基础。图3.4为一量子四面体图，图中的4顶角将提供该四面体的量子化体积（见加黑的阴影），该四面体的四个侧面三角形上由腿刺出的面积量子，将提供四面体侧面面积（见四个浅阴影）。这里指出，在3维空间Σ尚未形成之前的原初图景下，由于欧几里得几何尚不能建立，这里并不要求这一四面体贡献的体积量子与面积量子符合欧氏几何数量关系，它们提供的是一种相互之间的组合关系。

图3.4　量子四面体

由如上描述可知，对于量子动态宇宙而言，它的3维空间Σ的体积是可以描述的。粗略地讲，空间体积是有如由沙粒叠积成沙堆一样形成的。空间体积的特点是，它具有由量子力学激发原理描述的离散（或弥散）与组合性质。

2）量子四面体的体积与侧面面积

体积　这里指出，由来自不同方位的4个三角形吻合成的四面体，对于研究3维空间的组合性质，将具有独特的作用。这4个三角形将边与边重合而形成四面体的6条棱。四面本的中心顶角具有穿过4个侧面三角形的4条腿，穿过每个三角形的腿中都有来自穿过其余3个三角形的圈线族通过。这样的圈线族共有6个，它们与四面体的6条棱共轭，即在形成四面体中心顶角时，每个圈线族分别绕过一条棱。这样的中心顶角与四面体相互对偶，如图3.4所示。现将与图中四面体对偶的4顶角由图3.5给出，图中，p1，p2，p3，p4分别表达4顶角的4条腿，也同时代表它们的颜色。iαβ（α，β=1，2，3，4），代表通过腿pα和pβ的圈线族及其颜色。

图3.5　4顶角的6条圈线族

我们把这一4顶角当作是体积算符的本征态，它的4条腿分别当作是面积算符的本征态。对于4顶角而言，它在体积算符作用下激发出的体积本征值，即体积V4，可由下式给出(www.xing528.com)

式中，代表4顶角的3顶角展开，表示展开的一种，的定义为

这里

由（3.3）式～（3.6）式可知，4顶角的体积V4是个只与腿中圈线族的颜色有关的顶角不变量。这是用圈量子引力中的圈线法进行体积计算得到的一个更具物理意义的结果。

面积　对于面积而言，以腿pα，α=1，2，3，4为例，它在侧面三角形tα上激发出的面积，将分别由圈线族iαβ（α≠β）激发出的面积量子组合而成。在三角形tα上，一个固定的圈线族iαβ激发出的面积为

而整条腿pα激发出的面积为

由于3维空间Σ可以看成由四面体堆垒而成，故四面体的量子特征对了解3维空间的形成，具有特殊的作用。在第4章，我们还将进一步看到，四面体还具有描述引力场的生成的量子特性。这里指出，圈量子引力中的体积和面积量子所具有的数值信息，将作为一种核心密码，支承着圈量子引力态的运动学与动力学。