对于第二阶模态主共振情况（Ω≈ω2），图7.11给出了自由-铰支桩基的幅频响应曲线，其中f2=0.004。可以看出，桩基在外激励作用下呈现出更复杂的非线性动力学。总体而言，桩基的单模态响应呈现出明显的硬弹簧特性，并且在PE1处通过叉形分岔失去其稳定性，同时相应的两模态响应被激发。此外，两模态响应中存在两个不同的Hopf分岔，从而导致两模态解稳定性的转换。值得指出的是，当调谐参数σ2较大时，桩基的幅频响应曲线存在另外一个多值区。此时，间接激发模态的幅值远大于直接激发模态的幅值。因此，前者主导了桩基的非线性响应。
图7.10 桩基的激励响应曲线（σ2=0.045和Ω≈ω1）
图7.11 桩基的幅频响应曲线（Ω≈ω2，f2=0.004）
图7.12给出了平均方程在σ2∈（-0.0395，-0.0338）范围内周期解分支。可以看出，从HB1衍生出稳定的周期解。因此，相应的Hopf分岔为超临界分岔。同时稳定的周期解在PD1处通过倍周期分岔失去其稳定性。另一方面，从HB2衍生出不稳定周期解与前面的周期解汇合，并且在PD2处存在另处一个倍周期分岔。(www.xing528.com)
图7.12 桩基平均方程的周期解分支（Ω≈ω2）
图7.13 桩基的激励响应曲线（Ω≈ω2，σ2=0.2）
图7.13给出了桩基的激励响应曲线，其中调谐参数σ2=0.2。可以看出，桩基的单模态解在PE1处通过叉形分岔失去其稳定性，同时导致相应的两模态解。随着激励幅值f2的增大，两模态解在PE2处通过另外的叉形分岔转变为单模态解。因此，两模态解仅存在于特定的激励幅值区域。在此区域内，间接激发模态明显影响桩基的非线性响应。值得指出的是，两模态解在HB1处通过Hopf分岔失去稳定性，并在HB2处通过Hopf分岔重新获得其稳定性。
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