在这一小节中，考虑自由-铰支约束情况，并选取轴向荷载F=94.257，桩基前两阶固有频率分别为：ω1=18.196，ω2=36.412。此外，选取小幅激励和阻尼系数：fi=0.004，μi=0.003。图7.8给出了当桩基发生第一阶模态主共振时（Ω≈ω1），在端部横向外激励作用下桩基第一阶模态和第二阶模态的幅频响应曲线，其中f1=0.004。可以看出，间接激发模态响应幅值明显小于直接激发模态。此外，当调谐参数σ2∈（-0.015，0.01）时，第一阶模态的幅值存在一个小的峰值。然而，第二阶模态的幅值存在一个明显的峰值。值得指出的是，当σ2≈0.046时，桩基的两模态解通过Hopf分岔（HB1）失去其稳定性。然后，在σ2≈0.062时，通过另一个Hopf分岔（HB2）重新获得稳定性。此外，随着调谐参数σ2的继续增大，幅频响应曲线存在一个明显的多值区。然而，间接激发模态对桩基非线性响应的影响基本可以忽略。
图7.8 桩基的幅频响应曲线（Ω≈ω1，f1=0.004）
为了进一步研究桩基的非线性动力学，图7.9给出了平均方程在两个Hopf分岔之间的周期解分支。可以看出，从这两点衍生出的周期解均为稳定，因此相应的分岔为超临界分岔。同时还可以看出，这些稳定的周期解分别在CE1和CE2处通过折叠分岔失去其稳定性。(www.xing528.com)
图7.9 桩基平均方程周期解分支（Ω≈ω1，f1=0.004）
图7.10给出了桩基前两阶模态响应幅值随横向外激励幅值变化的情况，其中σ2=0.045。可以看出，当f1∈（0.0002，0.0008）时，桩基的两模态响应存在一个狭窄的多值区域。而且，随着激励幅值f1的增大，第二阶模态的响应幅值迅速增大。当f1超过某一特定值时，第二阶模态主导了桩基的非线性响应。此外，在SN3和SN4之间，幅频响应曲线同样存在一个较宽的多值区。值得注意的是，从SN4处的鞍结分岔开始，第二阶模态的幅值随激励幅值f1的增大而单调减小。相反第一阶模态的幅值呈单调增大趋势。
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