土-结构相互作用中的精细化动力学

首先考虑低幅激励情况，并假定无量纲激励幅值为0.05。图6.3给出弹性地基梁稳态幅值随激励频率在主共振区（Ω/ω1≈1.0）和亚谐波共振区（Ω/ω1≈2.0）的变化情况，其中跨中位移的最大幅值为[54]：

总体而言，因为较小的激励幅值作用在弹性地基梁上，所以参数激励的影响基本可以忽略。然而，由截止频率导致的模态变化影响了离散模型中的非线性系数，因此刚性地基梁和柔性地基梁的幅频响应曲线存在明显的不同，如图6.3所示。另一方面，由于地基对弹性地基梁非线性振动的约束，柔性地基梁的非线性效应基本可以忽略。然而，运动的稳定性受土-结构非线性相互作用和非保守特性的影响，在共振区域中存在由于环面分岔或倍周期分岔导致的不稳定区域（见图6.3（b）和（d））。

相反，刚性地基梁的非线性振动呈现出非常复杂的非线性行为，如图6.3（a）和（c）所示。在主共振区可以明显发现一个较大的峰值，并且第二阶模态的幅值远大于第一阶模态的幅值。事实上，这种显著的振幅差异是因为第二阶模态的模态质量远小于第一阶模态的模态质量，因此更多的动能被传输到第二阶模态。此外，弹性地基梁的幅频曲线存在一个较宽的多值区，其中幅值较大的周期解分支由于两个倍周期分岔而存在一个不稳定区域。在这一区域里，随着激励频率的变化，弹性地基梁呈现出非常复杂的非线性动力学。另一方面，这两个倍周期分岔点衍生出2条2T周期解分支，如图6.3（a）所示。可以看出这两条周期解分支基本重合，同时幅值远大于1T周期解分支的幅值。从非线性动力学的角度可以看出，这两条周期解分支主要由参数激励导致的失稳确定。(www.xing528.com)

另一方面，由倍周期分岔导致的2T周期解分支同样可以在亚谐波共振区（Ω/ω1≈2.0）被激发（见图6.3（b）和（d）），而且这些周期解通过环面分岔从而失去（获得）稳定性。值得指出的是，如果忽略所有的参数激励项，那么同样可以得到大体相近的周期解分支。因此这些周期解主要由2∶1内共振激发。

图6.3　刚性地基梁的幅频响应曲线（p=0.05）：（a）Ω/ω1≈1.0；（b）Ω/ω1≈2.0
柔性地基梁的幅频响应曲线（p=0.05）：（c）Ω/ω1≈1.0；（d）Ω/ω1≈2.0