弹性地基梁的非线性运动方程及影响因素

利用Hamilton变分原理可以得到弹性地基梁的非线性运动方程：

其中，T为梁的动能；U为梁的势能；δW为系统非保守力所做虚功的变分；δ为一阶变分。如果考虑转动惯量的影响，那么梁的动能T可以表示为：

其中，一点代表对时间t的微分；j=∫Aρy2dA为转动惯量；A为梁的横截面积；ρ为梁的密度；m=ρA为梁的单元长度质量。那么梁的势能U可以表示为：

其中，E为梁的弹性模量；I为梁的截面惯性矩。系统非保守力所做虚功的变分δW可以表示为：

其中，c为阻尼系数；q为地基反力。如果将弹性地基理想化为Winkler模型或双（三）参数模型，地基反力可以用统一公式描述：q（x，t）=k0v（x，t）-k1v″（x，t）。此外，式（6.2）最后一项是由激励分量和地基反力纵向分量引起的二次弯矩所做的虚功，可以表示为：(www.xing528.com)

将式（6.3）～式（6.5）代入式（6.2），在考虑式（6.6）的基础之上进行变分，可以得到弹性地基梁的非线性运动方程：

总体而言，运动方程包括了弹性地基梁转动惯量（）的影响。另外，由于地基反力的二次弯矩，弹性地基梁的运动方程包括了平方非线性项和参数激励项。应该指出的是，目前的梁-地基系统包括了梁和土-结构相互作用，并且平方非线性主要由地基参数（k0，k1）确定。因此，从物理的角度，土-结构相互作用的二次弯矩可能破坏系统的保守特性。另外，引入无量纲参数和变量：

此时，弹性地基梁的无量纲非线性面内运动方程可以写成：

其中忽略了上式中的星号。同时不可伸长弹性地基梁的边界条件可以写成：