土-结构相互作用中第一阶模态主共振的精细化动力学

对于第一阶模态主共振情况（Ω≈ω1），弹性地基梁平均方程的极坐标形式可以写成：

图5.1　弹性地基梁的幅频响应曲线（f1=0.002；Ω≈ω1）

图5.1给出了第一阶模态主共振时（Ω≈ω1）弹性地基梁第一阶模态和第二阶模态的幅频响应曲线，其中f1=0.002；HB为Hopf分岔点。可以看出，由于激励幅值较小并且梁受地基反力的约束，弹性地基梁的幅频响应曲线并没有呈现出明显的非线性特性和多值区域。而且，弹性地基梁的幅频响应曲线仅存在两模态解。此外，当调谐参数σ2＞-0.08时，直接激发模态和间接激发模态的幅值a1和a2均随调谐参数σ2的增大而增大，而且第一阶模态主导了弹性地基梁的非线性响应。当外激励频率接近共振点（σ2=0.00）时，调谐参数的轻微增大导致间接激发模态响应幅值迅速增大，相反直接激发模态的幅值出现了一定程度的减小。显然，更多动能通过模态作用从直接激发模态传输到间接激发模态，从而导致间接激发模态主导了弹性地基梁的非线性响应。此外，随着调谐参数σ2的继续增长，弹性地基梁的幅频响应曲线出现另外一个明显的峰值。另外可以看出，弹性地基梁的两模态解通过在HB1处的Hopf分岔（σ2≈-0.058）后失去稳定性，而通过在HB2处的Hopf分岔（σ2≈0.137）可重拾稳定性。值得注意的是，在这两个Hopf分岔点之间幅频响应曲线并不存在任何稳定解。(www.xing528.com)

由于这些Hopf分岔，平均方程存在周期为2π/|β|的周期解（其中β为Jacobian矩阵特征值的虚部）。为了进一步研究弹性地基梁的非线性动力学，接下来利用打靶法确定平均方程的周期解，同时利用Eloquet理论判断相应的周期解稳定性。图5.2给出了弹性地基梁平均方程的周期解分支，其中PD为倍周期分岔点，幅值为p1的最大（小）值，实心圆和空心圆分别为稳定和非稳定的周期解。可以看出，从HB1处衍生出了稳定的周期解，因此相应的Hopf分岔为超临界分岔，相反在HB2处的Hopf分岔为亚临界型。当调谐参数σ2≈-0.058开始增大，稳定的周期-1解（P-1）经过PD1处的倍周期分岔后失去其稳定性。随着调谐参数的继续增大，系统经过一系列倍周期分岔从而导致混沌的发生。当调谐参数σ2增大至特定的临界值时，系统发生了激变现象，从而导致另外一个更大的混沌吸引子，如图5.2所示。值得指出的是，当调谐参数σ2∈（-0.058，0.137），平均方程不存在稳定解，因此在该频率区域内系统并不会发生任何跳跃现象。

图5.2　弹性地基梁平均方程周期解分支（σ2∈（-0.058，0.014））

图5.3　弹性地基梁的激励响应曲线（σ2=0.04，Ω≈ω1）

图5.3给出了弹性地基梁前两阶模态的响应幅值随外激励幅值变化的情况，其中调谐参数σ2=0.04；SN为鞍结分岔点。从图中可以看出，在两鞍结分岔点SN1和SN2之间存在一个较窄的多值区域。相反，在两鞍结分岔点SN3和SN4之间存在一个较宽的多值区域。当激励幅值f1从鞍结分岔点SN1处开始增大，不同模态的幅值单调增大。同时可以看出，当激励幅值f1增大至某特定值时，弹性地基梁的第二阶模态将主导其非线性动力响应。此外，当激励幅值f1从0.028（SN2）继续增大时，系统的平衡解通过在点HB1处的Hopf分岔失去其稳定性。