亚谐波共振响应：建模理论、分析与动力设计

对于1/2次亚谐共振情况（Ω≈2ωn），引入调谐参数σ，使其满足：Ω=2ωn+ε2σ；并将黏滞阻尼系数c和外激励幅值p分别调整为ε2c和ε2p。此时激励项出现在ε2阶：

由式（4.19）可知，若弹性地基梁存在非平凡解：an≠0，则外激励幅值需满足如下方程：

在此基础之上，弹性地基梁1/2次亚谐共振位移v（x，t）的二阶近似表达式可以表示为：

对于1/3次亚谐共振情况（Ω≈3ωn），引入调谐参数σ，使其满足：Ω=3ωn+ε2σ；并将黏滞阻尼系数c和外激励幅值p分别调整为ε2c和εp。此时激励项出现在ε阶[46]：

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将An的极坐标形式代入式（4.27），并分离实部和虚部，可以得到：

图4.2　弹性地基梁亚谐波共振幅频响应曲线（p=3.2）

（a）1/2次亚谐共振（Ω≈2ωn）；（b）1/3次亚谐共振（Ω≈3ωn）

图4.2（a）给出了1/2次亚谐共振情况下弹性地基梁的幅频响应曲线（Ω≈2ωn），其中外激励幅值p=3.2。可以看出非线性响应包括平凡解：an=0和非平凡解：an≠0。还可以看出，随Winkler参数K0的增大，弹性地基梁非线性响应的软化特性增强，并且非平凡解减小。同时，Winkler参数K0对多值区也有一定影响。

图4.2（b）给出了1/3次亚谐共振情况下弹性地基梁的幅频响应曲线（Ω≈3ωn）。可以看出，弹性地基对非线性响应有一定的约束作用。此外，Winkler参数K0明显影响弹性地基梁的非平凡解，但并不影响平凡解的稳定性。此外还可以看出，Winkler参数K0的增大导致非平凡解的多值区减小，同时提高了非线性响应的软化特性。