不同桩的Fredholm积分方程建立

图4.1 所示为半空间土体中任意两根直径分别为d1、d2弹性模量分别为Ep1、Ep2和长度分别为L1、L2的水平向荷载作用下的桩B′1和B′2，两根桩之间的桩心距为s，连接桩中心线与荷载作用方向线的夹角为β，称为偏离角。桩体的横截面积分别为A1、A2，设两根桩桩顶分别作用大小相等的单位水平向荷载V（0）和单位弯矩M（0）。分析时将真实桩分解为虚拟土B 和虚拟桩B*1、B*2，第i 根虚拟桩的弹性模量为

式中，E*i为第i 根虚拟桩的弹性模量，Es为土的弹性模量。

图4.1　长短桩桩基础计算模型

根据梁的伯努利—欧拉的挠度理论，第i 根虚拟桩B*i的挠度曲线微分方程为

第i 根虚拟桩的平衡方程为

根据Reissner（1940）、Muki 等（1968）假设桩两端通过集中力的方式直接传递给桩周围的土，不考虑桩身与土之间的摩擦力。图4.1c 表示作用在虚拟桩B 上的外力：①-p*i（z）（i =1，2）表示半空间扩展土作用在虚拟桩i 单位长度上的力；②V*i（0 +）、-M*i（0 +）分别表示直接作用在第i 根虚拟桩桩顶上的剪力和弯矩；③-V*i（L -i）、M*i（L -i）分别表示作用在第i根桩桩底上的剪力和弯矩。根据力的作用与反作用原理，作用在半空间扩展土B 上的力包括：①p*i（z）表示虚拟桩作用在半空间扩展土单位长度上的力；②V（0）-V*i（0 +）、-［M（0）-M*i（0 +）］分别表示真实桩在截面Π0i上直接作用在半空间扩展土上的剪力和弯矩；③V*i（L -i）、-M*i（L -i）分别表示虚拟桩在截面ΠLi上作用在半空间土上的剪力和弯矩。Pak（1989）进一步假定桩身横截面发生小的旋转，则由真实桩的底端直接传递给虚拟桩的弯矩以及真实桩在截面Π0i上直接作用在半空间扩展土上的弯矩可以忽略不计，即

半空间扩展土中第i 根桩中心轴线上的点X =（0，0，z）在x 方向上的位移为

式中，（z，ξ，s，β）表示对于每一点z ∈［0，Li］和ξ ∈［0，Lj］，第j 根桩所在位置弹性半空间土任意截面Πξj处作用合力为单位力的均布荷载时在第i 根桩所在位置的弹性半空间土任意截面Πzi圆心处所产生的水平向位移，其值可由Mindlin 基本解进行积分得到，详见第2章。

虚拟桩的位移与半空间扩展土的位移协调，所以在虚拟桩中心轴线上虚拟桩的位移与半空间扩展土的位移相等，即

由式（4.7）和位移协调条件式（4.8），虚拟桩的位移可以表示为

利用式（4.4），式（4.9）可以写为(www.xing528.com)

对式（4.10）中右边最后一项进行分部积分，并由式（4.3）可以得到

利用式（4.5）和式（4.6），并考虑的间断性，式（4.11）可以写为

将式（4.12）代入式（4.10）并化简，则得到

式中，分别表示荷载作用在第i 根桩Πξi截面分别从上侧和下侧无限趋近第i 根桩Πzi截面时所引起的Πzi截面处圆心的水平向应变。

假设第i 根虚拟桩u*i（z）为

其中，

为了进行无量纲分析，假设以下参数

式中，Gs和vs分别是土的剪切模量和泊松比。由式（4.13）、式（2.20）和式（4.14）可得到用无量纲参数表示的控制方程为

式中

式（4.18）就是求解第i 根桩顶在不同水平向荷载作用下混合桩型桩基问题所需要的第二类Fredholm 积分方程，与式（4.5）和式（4.6）联立可以直接求解，其中待求的未知量为虚拟桩的桩身弯矩、桩顶水平位移和桩底的水平位移。