人工智能与船海工程：结构计算方法

船舶结构可分为板结构、简支梁结构和复杂梁结构三个模块。板结构主要从局部和全局的角度进行评估，例如底板可以用施加在由横向框架和纵向加强件限定的板上的局部海洋压力载荷来分析，并计算应力、挠度、振动和屈曲。如果船由于全局力而弯曲，则底板承受整体应力和挠度。

复杂梁结构是承受简单或组合载荷的2D／3D结构，例如上部结构，包括同时承受甲板压力和海压力的侧框架、甲板框架、纵梁和压缩柱，需要对应力、挠度和振动进行分析。有限元分析（finite element analysis，FEA）是计算偏微分方程（partial differential equation，PDE）和积分方程（integral equation，IE）近似解的一种数值方法。求解方法既可以基于消元法，也可以基于将偏微分方程分解为常微分方程（ordinary differential equation，ODE）的近似系统，然后用标准技术进行数值积分。从数学方面来看，在求解PDE时，主要的挑战是创建数值稳定的近似控制方程，这意味着输入和中间计算中的误差不会累积。当域（如移动边界或自由表面）改变，期望精度在整个域上变化，或者解缺乏平滑性时，FEA是解决复杂域（如船舶、浮式结构和输油管道等）上的PDE的良好选择。例如，在船舶和浮式结构的正面或侧面碰撞模拟中，可以提高诸如浮式结构的前柱、甲板、船舶的侧壳和梁等重要区域的预测精度，并在其后侧减小预测精度。这种方法允许有效的模拟与较少的计算成本。结构模拟与有限元分析有助于产生刚度和强度可视化，重量、材料和成本最小化。此外，FEA允许对结构弯曲或扭转或屈曲的位置进行详细的可视化，并给出应力和挠度、位移的分布。

偏微分方程的复杂促使研究人员推导出用于PDE的弱公式，这些公式为解方程提供了存在性和唯一性结果，并且非常适合于这类问题的数值近似，这种计算方式可以开发高效的有限元分析技术。弱公式允许传递线性代数的概念来求解偏微分方程。在弱公式中，方程不绝对成立，并且相对于某些“测试向量”或“测试函数”具有弱解（广义解）。从数学上讲，这等同于将问题表述为分布或离散形式，而不是采用连续的方式求解。常微分方程或偏微分方程的弱解是一个函数，其导数可能不存在，但在某些精确定义的条件中满足方程。广义解有助于找到这些解决方案，正因为如此，该方法在微分方程中很重要，而微分方程在模拟不允许充分光滑解的问题时失效，求解这些方程的唯一方法是使用弱公式。即使对于存在可微解的微分方程，从数学分析的角度证明弱解的存在性和光滑性也是可行的。

弱公式的另一个变化是超弱变分公式（ultra weak variational formulation，UWVF）［89］，UWVF中，在每个单元上导出不连续局部解，通过分段积分导出一个变分公式，该变分公式通过阻抗边界条件在单元之间建立适当的连续性条件，由Galerkin方法导出的最终方程满足离散解。UWVF是对空间的有限元分解，因此能够近似几何特征和有限元。然而，UWVF不是使用分段多项式离散问题，而是在每个单元上使用底层波动方程的平面波解。平面波是一种恒定频率波，其波前（恒定相位的表面）是具有恒定的峰值到峰值振幅与相速度矢量垂直的无限平行平面。通过改变在每个元素上使用的这些解的数量，可以改变方法的有效收敛阶，并且在一定程度上控制问题的条件。用UWVF得到的矩阵方程也比有限元矩阵问题更容易求解。在实践中，UWVF是复杂的，并且具有若干局限性：除非对解进行后处理，否则它不能直接提供对空间所有点的场的近似；它只能处理分段常数弹性系数；线性系统对于每个元素上近似函数的正确选择是敏感的，并且与声波的波长相比需要足够精细的离散化。通过使用更大的单元和每个单元更多的平面波，未知的密度可以减小到低阶有限元格式所需的密度以下，这使得UWVF在求解线性时谐弹性方程方面有较大优势。

现阶段对于船舶结构有限元分析技术来说，已经日趋成熟，以下一些方法已经得到了较为广泛的应用。

（1）广义有限元法　有限元方法需要每个波长有5～10个元素的非常精细的空间分辨率，并且为了增加波数和恒定的相对误差，每个波长的元素数也需要增加。对精细空间网格分辨率的期望要求导致问题在尺寸上变得更大，由于对精细空间网格分辨率的要求越来越高，使得地震波传播及无损检测中模拟域大、波数高的振荡问题的求解越来越困难。这些大问题的数值解对计算提出了严重的挑战，特别是在内存分配、利用和计算时间方面。研究人员已经研究了许多解决这些困难的方法。计算时间的问题可以通过数值求解器方案的有效并行化来解决，虽然在理论上很容易但在实际应用中是困难的，在工业应用中更是如此。此外，并行化只降低了内存分配、利用率，而不是问题的维数。为了减少问题的维数和内存的分配／使用，需要专门的广义有限元法（generalized finite element method，GFEM）。

GFEM使用由反映未知解的可用信息的函数组成的局部空间，从而确保有效的局部逼近。然后利用统一的分区将这些空间结合在一起形成近似子空间。拓扑空间x的单位分解（partition of unity，Po U）是从x到单位区间［0，1］的连续函数的集合，首先要求对于每个点存在一个邻域，其中除有限个数外的函数都是0；x的所有函数值之和是1。第二个要求是在一个特定的点上所有函数值的总和是正的，统一的分区是非常有用的，因为它们允许局部结构的扩展到整个空间。在PoU中，基函数由底层PDE的齐次解建立或扩展，由于测试和基函数已经结合了问题的物理本质，所以这种方法可以减少自由度（degree of freedom，DoF）。在数学上，Po U扩展丰富了近似空间中某些特定应用中所期望的特征（与不连续性、奇异性和边界层有关的问题）。例如，Po U允许将不连续基函数局部添加到属于与裂纹相交的元素的节点的多项式基函数中，以提供包括裂纹张开位移的基础。在这种方法中，不更新有限元网格来跟踪裂纹路径，这些特征意味着GFEM可以用于解决奇异性、材料界面和微结构空洞等问题。Po U允许将问题的局部特征嵌入到近似空间中，从而提高收敛速度和精度。通过局部富集处理不连续性问题，不需要不连续表面的网格重新划分，避免了投影误差，并降低了计算成本。此外，PoU包括关于近似子空间中解的先验信息，这导致计算复杂度的降低。根据NURBS理论，基函数具有单位划分性质，这使得NURBS在GFEM中是一个很好的选择，可确保NURBS在GFEM中有效和准确地应用以解决具有复杂边界与边界层的问题，例如船舶周围的流体流动和浮式结构。基于NURBS的船舶和浮式结构流体流动的有限元方法有待探索，是一个值得研究的热点技术。(www.xing528.com)

（2）hp-FEM　hp-FEM是一种基于分段多项式逼近的求解偏微分方程的数值方法，它采用可变尺寸（h）和多项式次数（p）为元素进行求解［90］，当网格采用h-细化（将单元划分成更小的单元）和p-细化（增加它们的多项式次数）的合适组合细化时，有限元法将收敛更快。hp有限元法的指数收敛速度使得它成为计算密集问题的一个非常有吸引力的途径。hp-FEM的优点：高阶形状函数的广泛可用选择；自动hp-自适应性；高效解决中央处理器时间。尽管hp-FEM的计算效率很高，但是其应用仍然很困难，缺乏关于维数≥2的hp-FEM的离散最大值原理（discrete maximum principle，DMP）的信息。此外，由于高阶正交计算、高阶形状函数的计算以及关联形状函数的连通性和方向信息的算法实现的难度较大，导致hp-FEM求解器的开发是非常困难的。

（3）谱元法　谱元法（spectral element method，SEM）是一种高阶有限元法［91］，SEM将有限元方法的一般性与光谱技术的精度相结合。SEM具有优良的误差特性和指数收敛性，然而该方法不是通用的，具有有限的应用范围。从“谐波分析”中可知，函数或信号可以表示为基本波的叠加，即利用傅里叶级数和傅里叶变换概念的推广。这些“基本波”可以用来给出一些PDE（如流体流动和流体声传播等物理过程）的有效算法。在SEM中，关键步骤是：用傅里叶级数求解，将此级数代入PDE中，得到该级数中三角项的时变系数（复指数形式）中的ODE系统，并采用时间步进法求解这些ODE。这意味着SEM遵循全局方法，并且它被限制于平滑问题的适用性，例如波列的非线性演化（即以相同速度并且通常具有相同波长的一系列波周期）和组；船尾表面波与水流、底部碎石和淹没物体的非线性相互作用等。SEM的挑战在于开发SEM用于计算具有冲击波的无粘流，以及具有跨越冲击的流动变量（即压力、温度、密度和速度）的急剧和不连续变化的流。

（4）不连续Galerkin方法　不连续方法（discontinuous galerkin methods，DGM）结合了“有限元”和“有限体积”技术，并已成功地应用于求解双曲线、椭圆和抛物型偏微分方程。它们现有的理论解决对于PDE中具有支配性的一阶部分的问题是有效的。

（5）有限元极限分析　有限元方法可用于均质、非均质和非均质结构的极限状态分析，这可归结为有限元极限分析（finite element limit analysis，FELA），并且利用优化技术直接计算结构的上限或下限塑性坍塌、极限载荷。FELA可以基于“运动学”或“平衡”的形式，它可以与局部分析耦合，例如不连续布局优化（discontinuity layout optimization，DLO）。在DLO中，使用数学优化方法识别坍塌固体或结构中的失效面或“不连续面”的布局，同时假设失效发生在延性、塑性机制中［92］。有限元分析面临的挑战是开发用于不同失效机制拓扑的高效线性和非线性规划技术，以及开发将FELA和DLO结合到船舶和浮式结构塑性问题的混合方法。

此外，有限元方法的概念可以应用于随机建模，例如船舶的天气路线、波浪和水流预测，以及概率稳定性（完整和损坏）模型的数值解。有限元方法也可以有效地解决水动力模拟与现代最优控制理论之间的耦合问题，使运动最小化；高性能和常规飞行器在随机环境中的燃料效率导航；表面波水动力学；深水系泊、立管、系泊系统的非线性静力学和动力学；恶劣天气环境下的响应模拟。船舶和浮式结构是弯曲的结构，可以看作弯曲壳。对于壳体，有限元分析可用于多种类型的结构分析，例如线性分析、屈曲分析、固有频率分析、温度分布分析、二阶分析（直至服役极限状态的几何非线性）、几何非线性分析、物理分析、非线性分析、瞬态分析等。