至此，我们主要用量子物理学考察了孤立的粒子和原子。我们已经了解到，电子以确定的能量状态（即定态）位于原子内部，尽管原子可能处于不同状态的叠加。我们还了解到，电子可以从一个能态跃迁到另一个能态，并同时发射出一个光子。这种光子发射使我们能探测到原子能态；原子跃迁的特征色彩随处可见。然而，我们的物理经验中并没有孤立的原子，而是巨量原子结成的块。就算只出于这个原因，现在也应当开始考虑原子聚在一起会怎么样。
对原子团的深入思考，将带领我们走向化学键，导体和绝缘体的差异，并最终来到半导体。这些有趣材料具有必要的特性，可被用于制造能进行基本逻辑运算的微小器件，它们被称为晶体管。通过将数百万个晶体管连接起来，我们可以制造微芯片。我们将看到，晶体管的理论深植于量子物理学。很难想象如果没有量子理论，晶体管会如何被发明和利用，而没有它们的现代世界也是难以想象的。晶体管是科学中妙手偶得的绝佳范例。在好奇心的带领下，我们花费了那么多时间去探索大自然，得以描述其所有反直觉的细节，最终引向了一场针对日常生活的革命。晶体管的发明者之一、美国贝尔电话实验室[159]固体物理研究组组长威廉·布·肖克利[160]（William B. Shockley）曾经很好地概括了试图对科学研究进行分类和控制的危险性[161]：
我想对一些常用于对物理学研究进行分类的词汇发表一些观点，例如纯粹、应用、不受限、基本、基础、学术、工业、实用等。在我看来，这些词中的一部分常用作贬义，一方面是贬低了产生有用之物的实际目标，另一方面只因无法事先预见这些探索能否带来有用成果，就淡化了探索新领域所带来的潜在长期价值。经常有人问我，我所计划的实验是纯粹还是应用研究；对我而言更重要的是，知道这项实验是否会产生关于自然的新知，并可能是不朽真知。如果有可能产生这样的知识，在我看来，这就是好的基础研究；而这一点，比起动机究竟是实验工作者纯粹的审美满足还是提高大功率晶体管的稳定性要重要得多。这两种类型的动机都能赋予人类最大的福祉。
既然这句话来自发明了或许是自车轮以来最有用设备的人，那么全世界的决策者和管理者就应该注意到它。量子理论改变了世界，而当今的尖端物理学研究中无论出现了什么新理论，都几乎肯定会再次改变我们的生活。
一如既往，我们将从头开始，把只研究包含一个粒子的宇宙，扩展到包含两个粒子的宇宙。想象一个特别简单的宇宙，只包含两个孤立氢原子；两个电子分别束缚在绕两个质子的轨道上，相距遥远。在几页以后，我们会开始把这两个原子拉近，看看会发生什么；但现在，我们要假设它们相距遥远。
泡利不相容原理说，因为电子是不可分的费米子，两个电子不可能处于相同的量子态。你可能会说，如果原子相距甚远，则两个电子一定处于不同的量子态，这个问题没什么好说的。但事情比这有意思得太多。试想将1号电子放入1号原子中，2号电子放入2号原子中。等待一会儿后，再说“1号电子仍然在1号原子中”就没有意义了。它现在可能在2号原子中，因为电子总有机会做量子跳跃。前面说过，只要可能都会发生，而电子从一个时刻到下一个时刻是自由漫游在宇宙中的。用小钟的语言说，即使开始时，用钟群描述的是位于一个质子附近的一个电子，我们也会在下一个时刻被迫引入位于另一个质子附近的钟。即使另一个质子周围的钟非常小，都受“量子干涉的狂欢”的影响了，它们的大小也不为零，电子总有有限的概率处于那里。想要更清楚地思考不相容原理的含义，就不能再从两个孤立原子的角度去思考，而是把系统作为一个整体：我们有两个质子和两个电子，任务是了解它们如何自我管理。为了简化，我们忽略两个电子间的电磁相互作用。如果质子相距甚远，这个省略也不会对我们的论证产生任何重大影响。
对于两个原子中电子的允许能量，我们知道什么呢？我们运用已经知道的东西，无需计算就能略知一二。对于相距甚远的质子（想象它们相距数英里），电子的最低允许能量必须对应于它们分别被质子束缚后所形成的两个孤立氢原子的情形。在这种情况下，我们可能希望得出结论：拥有两质子、两电子的整个系统的最低能态，对应于两个完全无视彼此且处于最低能态的氢原子。尽管这听起来没错，但它不可能正确。我们必须将系统看作一个整体，就和一个孤立的氢原子一样，这个四粒子系统必须有其独特的电子能谱。且根据泡利原理，两个电子不能在质子周围处于相同能级，安逸地对对方的存在一无所知[162]。
看来，我们必须得出结论：两个遥远的氢原子中的一对全同电子，不可能具有相同的能量；但我们也说过，希望电子处于最低能级以对应理想化的、完全孤立的氢原子的情形。两件事情不可能同时为真。而稍加思考就会发现，这个问题的解决办法是，对应于理想化的孤立氢原子的每个能级，我们的四粒子系统有两个能级，而非一个。这样，就可以容纳两个电子，而不违反不相容原理。对于相距甚远的两个原子，能级的差异必须很小，这样就能假装原子相忘于江湖。但实际上它们无法相忘，因为泡利原理让它们藕断丝连：如果其中一个电子处于一个能态，则另一个电子必须处于另一个不同的能态；无论相距多远，两个原子间的这种亲密联结都会持续存在。
这个逻辑可以推广到两个以上的原子：如果有24个氢原子散布在宇宙中，则对于每个单原子宇宙中的能态，现在都有24个能态，它们的值几乎相同，但又不完全一样。当其中一个电子填入一个特定的能态时，它的确完全“了解”其他23个电子的态，而不管它们间距多远。因此，宇宙中的每个电子，都知道每个其他电子的能态。我们进一步推论可知——质子和中子也是费米子，所以每个质子都知道其他所有的质子，而每个中子也知道其他所有的中子。组成我们宇宙的粒子之间有一种亲密关系，贯穿整个宇宙。在某种意义上，对于相距甚远的粒子，亲密关系只是短暂的，不同的能量之间其实非常接近，以至于对我们的日常生活几乎没有可辨的差别。
这是本书中我们目前为止被引至的最奇怪的结论之一。说宇宙中每个原子都与其他所有原子联结，可能看似钻开了小孔，各种荒唐之言都可以渗过。但对我们来说，这里没有什么是之前未曾遇到的。想想我们在第六章考虑过的方阱势。阱的宽度决定了允许的能级；而随着阱的大小变化，能谱也会变化。这里也是一样的：电子们所处的势阱的形状，同时也包括它们允许的能级，由质子的位置决定。如果有两个质子，能谱就由它们的位置共同决定。而假设有1080个质子组成一个宇宙，则每一个质子的位置都会影响到1080个电子所坐落的势阱的形状。自始至终只有一组能级，当发生任何改变（例如，一个电子从一个能级变到另一个能级），那么其他的一切必须瞬间调整自己，使得永远不会出现两个费米子处于同一能级。
电子能瞬间“了解”彼此的观念，听起来很可能违反爱因斯坦的相对论。或许我们可以制造某种信号装置，利用这种瞬间通讯，完成超光速传递信息。1935年，爱因斯坦及合作者鲍里斯·波多尔斯基[163]（Boris Podolsky）和纳森·罗森[164]（ Nathan Rosen）首次意识到量子理论这个明显矛盾的特征；爱因斯坦称之为“幽灵般的超距作用”，并且他不喜欢它。过了一段时间，人们才意识到，尽管它如幽灵一般，但不可能利用这些长程关联（long-range correlation）超光速传递信息，这意味着因果律可以安然无恙。
这种颓废的多重能级，并非只是为规避不相容原理的限制而采用的玄奥手法。事实是，它并不玄奥，因为这就是化学成键背后的物理原理。这也是解释为何某些材料能导电而其他一些不能的关键；如果没有它，就无法理解晶体管是如何工作的。要开始我们的晶体管之旅，我们要回到第六章中简化版的“原子”；那里我们把电子束缚在一个势阱里。虽然这个简单模型不能让我们计算出氢原子的正确能谱，但它的确教给了我们关于单原子行为的知识，并且在这里也会很好地服务于我们。我们将把两个方势阱放在一起来构造两个相邻氢原子的玩具模型。先想一想，单个电子在两个质子产生的势中运动的情形。图8.1中的上方图展示了我们要如何做。除了双势阱之外，势是平的，这模仿了两个质子对电子束缚能力的效果。中央的台阶只要足够高，就有助于将电子束缚在左侧或者右侧。用术语来说，就是电子在双势阱中运动。
我们的第一个挑战是，用这个玩具模型来理解当两个氢原子被放到一起时会怎么样——我们将看到，当它们足够接近时，就会结合在一起，形成一个分子。随后我们要考虑多于两个原子的情形，这将使我们能理解固体内部发生的事情。
图8.1：顶部为双势阱。以下依次为四个有趣的波函数用以描述一个位于势中的电子。只有下面两个波函数对应具有确定能量的电子。
如果阱很深，就可以用第六章的结果来确定最低能态所对应的应该是什么。对于单方势阱中的单个电子，最低能态由波长等于盒子两倍大小的正弦函数所描述，倒数第二的能态由波长等于盒子大小的正弦函数所描述，依此类推。如果把一个电子放进双势阱的一侧，并且如果阱足够深，则允许的能量一定接近于这些被束缚在单势阱中的电子，而它的波函数也会因此看起来很像正弦波。我们现在要关注的是，一个完全孤立的氢原子和一对相隔很远的氢原子中的一个之间的微小差异。
可以有把握地预期，图8.1中上方的两个波函数对应无论是位于左侧还是右侧阱（记住，“阱”和“原子”可以交替使用）的单个电子。这些波近似正弦波，波长等于阱宽的两倍。由于波函数的形状完全相同，我们可以说，它们对应于具有相同能量的粒子。但这是不正确的；如前所述，无论阱有多深，或间距多大，电子总有微小的概率能从一个势阱跃至另一个。正如我们暗示的，当把正弦波概述成是“渗”过阱壁，在相邻的势阱中有很小的概率能找到大小不为零的钟。
电子能从一个势阱跳到另一个的概率总是有限的，事实说明，图8.1上方的两个波函数不可能对应于能量确定的电子；因为我们从第六章得知，能量确定的电子由驻波描述，而驻波的形状不随时间变化；换句话说，是由一些大小不会随时间改变的钟所描述。如果随着时间推移，新的钟在原本空的势阱里产生，则波函数的形状几乎肯定会随着时间推移而改变。那么，对于双势阱来说，确定能量的态该是什么样子的呢？答案是，更有民主精神的量子态得表达出在任何一个势阱内找到电子的可能性都是平等的[165]。只有这样才能形成驻波，阻止波函数从一个势阱到另一个势阱来回搅动。
图8.1下方的两个波函数就有这种性质，它们是最低能态实际的样子。这两个是我们唯二能构造出的与每个单独势阱中的“单势阱”波函数相类似的波函数，也描述了在两个势阱中找到概率相同的一个电子。事实上，如果要把两个电子放在两个相距遥远的质子的轨道上，形成两个几乎全同的氢原子，并满足泡利原理，那么按照我们之前的推导，这两个能态就是必然存在的。如果一个电子由这两个波函数之一来描述，则另一个电子须由剩下那个波函数来描述——这就是泡利原理所要求的[166]。对于足够深的势阱，或者说如果原子间的距离足够远，则这两个态的能量几乎相等，也几乎等于一个粒子束缚在单个孤立势阱中的最低能量。我们不必担心其中一个波函数看上去部分上下颠倒——记住，当确定在某处找到粒子的概率时，只有钟的大小才是重要的[167]。换句话说，可以把本书中画出的所有波函数都颠倒过来，也完全不改变任何物理内容。因此，“部分倒置”的波函数仍然描述了束缚于左侧和右侧阱中的电子态的等概率叠加。关键之处在于，对称和反对称波函数并不完全相同（它们不可能完全相同，否则泡利就会不高兴了）。要看出这一点，我们需要看看这两个最低能波函数在双势阱之间的行为。
其中一个波函数围绕双势阱呈中心对称，另一个反对称（在图中亦标注如是）。所谓“对称”是说左侧波是右侧波的镜像。对于“反对称”的波，左侧波是右侧波镜像的倒置。术语并不太重要；重要的是，两列波在双势阱之间的区域是不一样的。正是这微小的差异，使得它们所描述的态的能量有微小的不同。事实是，对称波是能量较低的波。因此，将其中一半波函数上下颠倒，确实是有关系的；但如果双势阱足够深或者足够远，则关系不大。
考虑具有确定能量的粒子态，确实可能让人困惑，因为如我们所见，这种粒子态由在双势阱中大小相等的波函数所描述。这确实意味着，即使双势阱相隔一整个宇宙，在任何一个势阱中找到电子的概率也是相等的。
图8.2：上：一个局域在左阱中的电子，可被理解为两个最低能态之和。
下：一个局域在右阱中的电子，可被理解为两个最低能态之差。
如果我们真在一个势阱中放入一个电子，再在另一个势阱中也放一个电子，应该如何描绘这种情形呢？之前说过，我们期望往空阱中充满钟，以表示粒子能跃至另一个势阱的事实。在我们说波函数会来回“搅动”的时候，甚至已经暗示了这个答案。要看出这是如何实现的，我们得注意到，局域在一个质子附近的波函数，可以表示成两个最低能波函数之和。在图8.2中画出了这一点，但这是什么意思呢？如果电子在某时刻位于某个势阱中，这就意味着其实它所具有的并非单一的能量。具体来说，对其能量的测量，会等概率的得到两个值之一，分别对应于组成这个波函数的两个确定能量的量子态。因此，电子同时处于两个能态。笔者希望，到了本书的这个阶段，这已经不是新奇的概念。
但有意思之处就在这里。由于这两个态的能量不完全相同，描述它们的钟转动的速率有所不同（如第六章所讨论）。这带来的影响是，一个起初由局限在一个质子附近的波函数所描述的粒子在足够长时间后，会由在另一个质子周围成峰的波函数描述。笔者不打算讨论细节，但只需用声波来类比就足够了：两列频率几乎相同的声波叠加，在一开始时响亮（两列波同相），一段时间后微弱下来（两列波变成异相）。这种现象被称为“拍”（beat）。随着两列波的频率愈发接近，从响亮到微弱的时间间隔也会增加，直至两列波频率完全相同，它们会合并产生纯音。这个现象对于任何音乐家都会是非常熟悉的；不知不觉地就在他们使用音叉（tuning fork）时运用了这一波动物理学的原理。而位于第二个势阱中的第二个电子也会这样。它从一个势阱迁移到另一个势阱中的迁移方式，几乎跟第一个电子的行为完全相同。尽管开始时可能是一个电子在一个势阱中，而另一个电子在另一个中，只要我们等待足够长的时间，电子们就会交换位置（这种讲法是违反电子的全同性的。由于两个电子不可分辨，无法看出电子是交换了位置，还是各自回到初始状态。但如果只有一个电子，的确会得到其波函数从集中在一个原子附近，演化到集中在另一个原子附近的结果）。
现在我们要来运用刚刚学到的知识。当我们把原子移近的时候，真正有意思的物理现象发生了。在我们的模型中，把原子移到一起，相当于减小分隔双势阱的势垒（barrier）的宽度。随着势垒变窄，波函数开始融合，电子在两个质子间出现的可能性越来越高。图8.3描绘了当势垒较窄时最低能的四个波函数。有趣的是，最低能的波函数开始看起来像是我们把单个电子放进单个宽势阱中时最低能的正弦波函数；也就是说，双峰合并，产生一个单峰（中间有一个凹陷）。同时，第二低能的波函数看起来也很像是在单个宽势阱中，对应于次低能的正弦波函数。这应该是可预料的，因为随着势阱间势垒越来越窄，它的效果也越来越小；最后，当它宽度为零时，就不再有效果，而电子也应该如同在单势阱中一样运动。
图8.3：类似图8.1，但势阱更接近。双势阱间区域的“渗漏”增加了。和图8.1不同的是，笔者也画出了对应次低能量的一对波函数。
在看过双势阱之间距离很远和很近的两种极端情况后，我们可以思考，当减小双势阱间距离时，电子允许的能级是如何变化的，以将概念补充完整。在图8.4中勾勒出了四个最低能级。四条线中每一条都代表四个最低能级中的一个，而对应的波函数也示意地画在了旁边。图右侧展示了势阱间隔很远时的波函数（另见图8.1）；如我们所期望的，每个势阱中电子能级之差几乎无法区分。然而，随着势阱彼此靠近，能级开始分离（比较图左侧的波函数与图8.3中的波函数）。有意思的是，反对称波函数对应的能级上升，而对称波函数对应的能级下降。
图8.4：改变势阱（或原子）间距离时，允许的电子能级的变化。
这个结论对于由两个质子和两个电子——即两个氢原子——组成的真实体系有着深远的影响。要记住，在现实中两个电子因为它们可以具有截然相反的自旋，可以填入同一个能级。这意味着，它们可以都填入最低的（对称）能级；并且关键的是，这个能级随着原子靠近而下降。也就是说，在能量上原本远离的两个原子相互靠近，可以有利于降低体系的总能量。这也是在大自然中实际发生的事情[168]：在对称波函数所描绘的体系中，电子能更平均地分享给两个质子，而在“相距甚远”的波函数所描绘的体系中可能就没有那么平均；而由于这种“分享”构型的能量较低，原子就被拉向对方。这种吸引效应最终会消失，因为两个带正电荷的质子会相互排斥（由于电子带相同的电荷，它们也会相互排斥），但这种排斥只有在距离小于约0.1纳米（室温下）时才能战胜原子间的吸引效应。结果就是，一对静止的氢原子最终会抱在一起。这对抱在一起的氢原子被称作氢分子。
这种两个原子由于分享电子而粘在一起的倾向被称为共价键（covalent bond）。回顾图8.3中顶部的波函数，大致就是氢分子中共价键的样子。要记住，波高度的平方，对应于电子在那里被找到的概率[169]。每个势阱也就是每个质子上方都有一个峰，告诉我们每个电子仍然最有可能位于这个或者某个质子附近。但是，电子也有很大机会逗留在质子之间。正如化学学者所说，原子在共价键中“分享”电子，而这也是我们在具有两个方势阱的简单玩具模型中所看到的。撇开氢分子不说，我们在第七章讨论化学反应时也引用了原子分享电子的倾向。
这是一个令人非常满意的结论。我们已经了解到，对于相距甚远的氢原子，两个最低能级之间的差异只有学术意义，尽管它的确引导我们做出结论：宇宙中的每个电子都知道其他电子的存在，这当然引人入胜。另一方面，随着质子靠向彼此两个能级逐渐分开，而更低的能级对应的态最终成为描述氢分子的态，这就远不是只有学术意义了，正因为共价键的存在，我们才没有待在一堆由四处乱窜的原子所组成的无特征的泡泡中。
现在我们可以沿着这条思路往下走，开始思考当把两个以上的原子放在一起时会怎么样。我们从考虑三势阱开始，如图8.5所示。一如既往，我们要想象每个阱都位于一个原子处。应该有三个最低能态；但是看着这张图，你或许会忍不住想，现在单势阱中的每个能态都有四个能态。我们心中的四个能态也被画在了图中，他们对应于围绕双势阱的中心势垒呈对称或是反对称的四个波函数[170]。这个计数一定不对，因为如果它是对的，则可以将四个全同费米子填入这四个态中，就会违反泡利原理了。遵守泡利原理，我们只需要三个能级，而这当然就是真实情况。要看清这一点，只需注意到，可以把四个波函数的任何一个写成其他三个波函数的组合。图的最下方我们已经展示说明了在这一个特殊情形中是如何通过其他三个的加减组合得到最后一个波函数。
图8.5：三阱势，在我们的模型中对应于排成一列的三个原子，以及几个可能最低能的波函数。在图的底部，我们展示了第四个波函数可以由其他三个组合得到。(www.xing528.com)
在确定了三势阱中粒子的三个最低能态后，我们可以问，图8.4在这种情形中会是什么样子；不出意外结果应该很相似，只是原来的一对可取能态变成了三重（triplet）可取态。
三个原子已经说够了，现在我们要把注意力迅速转移到一条多原子链上。这会特别有趣，因为它包含了一些关键的想法，能让我们解释很多固体物质内部发生的事情。如果有N势阱（作为含N个原子的原子链的模型），则对于单势阱中的每个能级，现在都会有N个能级。如果N是像1023这样的数字，那分裂数目就惊人了，然而这个数通常只是一小块固体材料中的原子数目。结果是，图8.4现在看起来像图8.6那样。纵向的虚线表明，对于间隔一定距离的原子，电子只能有确定的允许能量。这应该不令人惊讶（如果不然，你最好从头重读本书），但有趣的是，允许的能量是以“能带”（band）的形式出现的。从A到B的能量都被允许，但直到C以前的其他能量都不行，而C到D的能量是允许的，依此类推。原子链上有很多原子，这个事实意味着，每个能带中被塞入了非常多允许的能量。数量之多，以至于对于典型的固体来说，我们就可以假设，允许的能量形成了平滑的连续体。我们玩具模型中的这个特征，在真实的固体物质中得以保留；在那里，电子的能量真的被排列成这样的能带，而这对我们讨论的固体的类型有着重要的影响。特别是，这些能带解释了为何有些材料（金属）导电，而其他一些（绝缘体）不导电。
图8.6：一块固体物质中的能带，以及它们随原子间距的改变是如何变化的。
怎么会这样呢？让我们首先考虑一个原子链（和以前一样，以一个势阱链作为模型），但现在假设每个原子都有好几个束缚电子。当然，这才是常态——只有氢原子的单个质子周围才只束缚一个电子——因此，我们从讨论氢原子链，转入讨论更有意思的重原子链。还要记住，电子有两种类型：自旋向上和自旋向下。而泡利原理告诉我们，在同一个允许的能级上，不能放超过两个电子。因此，对于只含一个电子的原子（即氢原子）组成的原子链，n=1能带是半满的。图8.7展示了由5个原子组成的原子链的能级。这意味着，每个能带含有5个不同的允许能量。这5个能级最多可以容纳10个电子，但我们只须考虑5个电子，因此在最低能构型中，原子链所含的5个电子占据了n=1能带的下半部分。如果能带中有100个原子，则n=1能带中可以包含200个电子；但对于氢原子，我们只有100个电子要处理，所以在原子链处于最低能量构型中，n=1能带还是半满。图8.7还展示出，当每个原子含2个电子（氦）或3个电子（锂）时，会怎么样。在氦的情形中，最低能构型对应充满的n=1能带，而对于锂，n=1能带充满，而n=2能带半满[171]。显然这种充满或半满的模式会持续下去，使得偶数个电子的原子总是形成充满的能带，而奇数个电子的原子总是形成半满的能带。我们很快就会发现，能带充满与否，正是有些材料是导体，而另一些是绝缘体的原因。
图8.7：在5个原子链中，当每个原子含一个、两个或三个电子时，电子占据最低能态的方式。黑点表示电子。
我们现在来想象一下，将原子链的两端连到电池的电极上。根据经验，如果原子形成金属，则会产生电流（electric current）。但是这到底是什么意思，跟我们讲过的故事又有什么关系呢？幸运的是，我们并不需要精确了解电池对导线中的原子产生了何种作用。只需要知道，连接后电池提供了一个能量源，可以稍微推动电子，并且总是向着相同方向推动。值得注意的问题是，电池究竟是如何做到这一点的，简单地说“这是因为它在导线内诱导了一个电场，电场则推动了电子”，这答案并不能完全令人满意；但就本书而言，这个答案已经足够。虽然我们可以求助于量子电动力学的定律，试图从电子与光子发生相互作用的角度来解决整件事。但这么做完全不会给这里的讨论增添任何东西，所以简洁起见，我们暂且搁置这个问题。
想象一个电子位于其中一个能量确定的量子态。我们首先假设，电池的作用只能非常微弱地推动电子。如果电子处于一个低能量子态，而有很多其他电子在能量梯（这么说是形象地描述图8.7）中比它高的地方，这个电子就接收不到电池所给予的推动能量。因为上方的能级已经被填满了，它被挡住了。打个比方，电池或许能把电子踢高几个踏板，但如果所有能到达的踏板都已经被占用了，目标电子就必须放弃吸收能量的机会，因为它无处可去。要记住，如果位置都被占用了，不相容原理就会阻止它和其他电子待在一起。这个电子会被迫表现得像根本没有连接电池一样。对于那些具有最高能量的电子，情况就不太一样。它们位于接近堆顶的位置，有可能吸收电池的微弱推动而进入更高的能级——但前提是它们没有位于满能带的顶部。参考图8.7，我们看出，如果原子链中的原子含有奇数个电子，则最高能的电子就可以从电池中吸收能量。如果原子有偶数个电子，则能级最高的电子还是无处可去，因为在能量梯上有一个巨大的间隙；只有给电子足够有力的推动才能越过它。
这意味着，如果一块特定固体中的原子含有偶数个电子，这些电子在连上电池后，很可能也表现得像从未连接过电池一样。电流根本无法形成，因为电子没有办法吸收能量。这就是对绝缘体的描述。跳出这个结论的唯一方法是，满能带最高的顶部和下一个空能带底部之间的能隙足够小；我们很快就会对此作出说明。相反，如果原子中有奇数个电子，则顶部的电子总可以自由地吸收电池的推动。它们就会跃上更高的能级；并且由于推动的方向总是相同，净效应是诱导出迁移电子的流，也就是电流。因此我们可以得出结论：如果固体由含奇数个电子的原子组成，则它们注定是电导体。
可喜的是，现实世界并不这么简单。碳原子含有六个电子；作为一种完全由它构成的晶体，钻石（diamond）是一种绝缘体。而另一方面，同样由纯碳构成的石墨（graphite）则是一种导体。事实上，奇/偶电子法则在实际中几乎不能用，但这是由于我们对固体建立的“直线势阱”模型太过简陋。这个模型还是有完全正确的部分：电导体的特点是，最高能的电子有足够的空间，能跃至更高能级；而绝缘体之所以绝缘，是因为它们最高能的电子由于能量梯上的能隙被挡住而无法到达更高的能级。
这个故事还有一个转折，它对于下一章解释半导体中电流的形成比较重要。我们来想象一个电子，能在完美晶体的未满能带中自由游荡。提到晶体的意思是，化学键（可能是共价键）的作用使得原子有规律地排列。在我们的一维固体模型中，如果所有势阱等距且等大小，就相当于晶体。如果连上电池，一个电子就会随着施加电场的轻推而欢快地从一个能级跳到下一个。结果随着电子吸收的能量愈来愈多，运动速度愈来愈快，电流也会稳步增大。对于任何了解电学的人来说，这听起来应该很古怪，因为没有提到“欧姆定律”[172]；欧姆定律指出电流（I）应由施加的电压（V）通过V=I×R决定，其中R表示导线的电阻。欧姆定律的出现，是因为电子跃上能量梯时，它们也可以损失能量并再次跌落；这只会在原子晶格不完美时才会发生，要么是因为晶格中有杂质（即和大多数不同的离群原子），或者原子显著地晃动，这在任何非零[173]温度下都不可避免地会发生。因此，电子在爬上能量梯的过程中，大部分时间是在下一盘微观的蛇梯棋[174]；由于与不完美的原子晶格相互作用，它会再次掉下来。一般效果是，产生一个“典型”的电子能量，导致一个固定的电流。这个典型的电子能量，决定了电子在导线上流动的速度，这就是我们所说的电流。导线的电阻可以看成是衡量电子通过的原子晶格的不完美程度。
但欧姆定律并不是前面说的转折。即使没有它，电流也不会一直增加。当电子到达能带顶部时，它们的行为的确非常奇怪，而这种行为的净效应是减小电流，并最终反转它的流向。这非常奇怪：即使电场向一个方向推动电子，当后者接近能带顶部时，也还是会沿着相反的方向运动。对于这种怪异效应的解释超出了本书的范围，所以我们只简单说，带正电荷的原子核是关键；它们的作用是推动电子，使其反向运动。
现在我们终于要探讨预告中的问题，当一种可能的绝缘体，由于最高的满能带和最低的空能带之间的能隙“足够小”，而表现得类似导体，这时会发生什么？到了这个阶段，值得介绍一些术语。最高（能量）的充满电子的能带，称为“价带”，而在这之上（要么为空，要么为半满）的能带称为“导带”。如果价带和导带重叠（实际上有时确会如此）则根本没有能隙，而可能的绝缘体就会成为导体。如果有能隙但“足够小”，会怎么样？我们已经指出，电子可以从电池中接受能量；因此可以假设，如果电池很强劲，就能提供一次足够有力的推动，将一个靠近价带顶部的电子投射至导带。这是有可能的，但我们的兴趣并不在此，因为常见的电池并不能产生足够有力的推动。如果用一些数字来说明，通常电场在固体内部是几伏特[175]每米的数量级；而我们需要几伏特每纳米的电场（即比通常的情况强十亿倍），才能提供足够的推力，使电子获得从价带跃升至导带所需的电子伏特[176]级的能量。更有趣的情形是，电子可以从组成固体的原子中获得推动。这些原子并不是僵直地待在相同位置，而是略微四处抖动；固体愈热，抖动愈强，而抖动的原子能够传递给电子的能量比常用的电池要多太多，足以使电子的能量提升几电子伏特。在室温下，电子实际很少会受到那么大的冲击，因为在20°C时，典型的热能约为1/40电子伏特。但这只是个平均值，固体中有极大数量的原子，所以这种冲击偶尔也确实会发生。当冲击发生时，电子可以从其价带牢狱中跃至导带，在那里它们有可能吸收来自电池的微弱推动从而引起电流。
在室温下，如果材料中能有足够数目的电子以这种方式从价带提升到导带，材料就会得到特殊的名称，叫作半导体。在室温下，它们可以承载电流；但当冷却以后，它们中的原子抖动减弱，导电能力消失，因此变回绝缘体。硅和锗是半导体材料的两个经典例子；由于其双重性，可以发挥出很大的作用。的确，要说半导体材料的技术应用彻底改变了世界，一点也不夸张。
[159]至1984年称为Bell Telephone Laboratories；2007年以后称为诺基亚贝尔实验室，由加拿大发明家和企业家亚历山大·格拉汉姆·贝尔（Alexander Graham Bell）创建；他于1847年生于英国爱丁堡，1922年卒于今天的加拿大诺省美山庄园。
[160]威廉·布·肖克利，1910年生于英国伦敦，1989年卒于美国加州斯坦福，美国物理学家和发明家。
[161]这是他1956年诺贝尔奖获奖演说的摘录。（原书注）
[162]出于这次讨论的目的，我们忽略了电子的自旋。如果想象两个电子的自旋相同，则我们所说的仍然适用。（原书注）
[163]鲍里斯·波多尔斯基，1896年生于今天俄罗斯罗斯托夫州的塔甘罗格，1966年卒于美国俄亥俄州辛辛那提，犹太裔美籍物理学家。
[164]纳森·罗森，1909年生于美国纽约，1995年卒于以色列海法，犹太裔美籍以色列籍物理学家。
[165]这里的民主和平等是西方20世纪以来的政治理论中的提法。
[166]前面说过，我们考虑两个全同电子，即它们的自旋也相等。（原书注）
[167]倒置部分与正置部分绝对值相等，符号相反。
[168]只要质子的相对运动不太快。（原书注）
[169]这对驻波成立；这种情况下，钟的大小和指针在12点方向的投影成正比。（原书注）
[170]你会认为有四个波函数，是对应于已绘出波函数的上下倒置；但如前所述，它们与已经画出的是等价的。（原书注）
[171]这里原文有歧义。对于三维空间中的锂原子组成的原子链，n=2能带可以有l=0和l=±1三种情形；只有l=0的能带是半满的（称为2s能带），其他两种情形对应的能带都是空的。但是如果考虑一维中的势阱链模型，则只有n这一个量子数，没有l等，因此原文表述也可以接受。
[172]来自格奥尔格·欧姆（Georg Ohm），1789年生于今天德国的巴伐利亚州埃尔朗根，1854年卒于今天的巴伐利亚州慕尼黑，德国物理学家。
[173]指绝对温标，等于摄氏－273.15度；不存在比这更低的热力学温度。
[174]snakes and ladders，一种源自古印度的图版游戏；玩家在方格棋盘上轮流掷骰子移动到相邻格子，若抵达有蛇或梯的格子，就会移动到相连的其他格。
[175]volt，电压单位，得名自亚历山德罗·伏特（Alessandro Volta），1745年生于现在的意大利伦巴底大区科莫，1827年卒于同地，意大利物理学家。
[176]在讨论原子中的电子时，电子伏特是非常方便的单位；它也广泛用于核物理和粒子物理。它是一个电子在被1伏特电势差加速的过程中所获得的能量。这个定义并不重要，重要的是，它是一种量化能量的办法。要感受其大小，可以考虑一个处于基态的氢原子：要从它那里完全释放一个电子，需要13.6电子伏特。（原书注）
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