为什么地球不会被吸入宇宙？

我们为什么不会落入地面，这事有点神秘。认为地面是“固体”不太有说服力，尤其是在卢瑟福发现原子内几乎空无一物以后。据我们所知，自然界的基本粒子根本没有尺寸，这就更令人费解了。

处理“没有大小”的粒子听起来很有问题，也许甚至不可能。但笔者在前几章中说的任何话，都没有预设或要求粒子有任何物理尺度。真正的点状对象即使在概念上违背常识也不一定是错的，如果阅读一本量子理论书籍的读者，到了这个阶段还能保持常识的话。当然，在未来的实验中，甚至也许是当今的大型强子对撞机（Large Hadron Collider）上，就完全可以发现，电子和夸克不是无穷小的点；只是现在来看，还没有实验为此背书，并且在粒子物理学的基本方程中也没有“尺寸”的位置。这并不是说点粒子就没有自己的问题，把有限的电荷压缩到无穷小的体积内是很棘手。但到目前为止，理论上的隐患已经被避开了。也许，发展一套引力的量子理论作为基础物理学中的未解问题，暗示了粒子的尺寸是有限的，但是还没有证据能迫使物理学者放弃基本粒子的观念。强调一下：点粒子真的没有大小。“如果我把电子分成两半会怎么样？”这个问题完全讲不通，“半个电子”的想法没有意义。

用完全没有大小的基本物质碎片来做研究，有一个好处：面对整个可见宇宙曾被压缩到一个柚子大小的体积，甚至只有一个针尖大小，我们也不会有任何困扰。这的确匪夷所思，要想象把一座山压缩成豌豆大小就足够困难了，遑论恒星、星系，乃至可观测宇宙中3500亿个庞大的星系。但也绝对没有理由否认这样的可能性。事实上，当下诸多关于宇宙结构起源的理论，就直接涉及处在天文数字级的致密状态下的宇宙特性。这样的一些理论看似稀奇古怪，但有大量的观测证据支持。在本书的最后一章，我们会遇到致密天体，即使称不上“针锋中的宇宙”，也可以说是“豌豆中的山峦”：白矮星（white dwarf）是一种天体，将恒星的质量挤进地球大小的空间中；而中子星（neutron star）的质量则与之类似，但凝聚在城市大小的完美球体中。这些天体并不科幻；天文学家已经观测到它们，并进行了高精度的测量，而量子理论是我们计算它们的性质并用观测数据比对的基础。作为理解白矮星和中子星的第一步，我们需要解决一个更平淡的问题，也是开启本章的问题：如果地面基本上是空的，为何我们不会落进去呢？

这个疑问有一段悠久而可敬的历史。直到1967年，才在弗里曼·戴森和安德鲁·莱纳德^[135]（Andrew Lenard）的一篇论文^[136]中，意外地确立了答案。他们开启这一探索旅程的原因是，有同事给任何能证明物质确实不会自行坍塌的人提供一瓶年份香槟^[137]。戴森称，证明极其复杂、困难和晦涩，但也是我们量子宇宙中最迷人的一面。他们证明，只有当电子服从一种被称为泡利不相容原理（Pauli Exclusion Principle）的规律时，物质才会是稳定的。

我们将从一些数秘术^[138]开始。我们从上一章中可以看到最简单的原子——氢原子可以通过寻找质子势阱所能容纳的量子波来理解。这使我们至少能定量地理解氢原子所发出的独特光谱。如果花些时间，我们立即就可以算出氢原子的能级。每位物理系本科生都在某个学习阶段进行了这项计算，而且它效果绝佳，与实验数据一致。直到上一章的内容，“盒中粒子”的简化描述已经足够有效，因为它包含了笔者要强调的所有重点。然而，我们还需要一项完整计算中的特征，它之所以出现是因为真实的氢原子在三维中延展。对于盒中粒子的示例，我们只需考虑一维，把一系列能级数标记为n。最低能级标为n=1，次低的n=2，以此类推。当计算扩展到完整的三维情形中，结果也许并不意外，要描述所有允许的能级，需要三个数。这三个数在传统上用n，l和m表示，并被称为量子数（在本章中，注意不要把m和粒子质量混淆）。量子数n对应于盒中粒子的n。它取整数值（n=1，2，3等），而粒子能量随n变大而增加。l和m的可能取值和n有关；l必须小于n并且可以是0，例如当n=3，l可以为0，1或2。m可以取－l到+l的任何整数值。因此，如果l=2，则m可以等于－2，－1，0，1或2。笔者不打算解释这些数的来历，因为这不会帮助我们理解。只要补充说明，图6.9中的四列波分别对应(n,l)=(1,0),(2,0)和(3,0)（并且都是m=0），就足够了^[139]。

如前所述，量子数n是控制电子允许能量的主要数字。允许能量也对l的值有少许依赖，但只有在精准测量所发光的情况下才能体现。玻尔在首次计算氢原子谱线的能量时，并没有考虑这一点；他原始的公式完全用n来表示。电子的能量对m几乎没有依赖，除非把它放到磁场中（其实，m被称为“磁量子数”），但这不代表它不重要。要了解原因，我们来继续研究数秘术。

如果n=1，有多少不同的能级呢？应用前述规则，l和m此时都只能为0，所以n=1只有一个能级。

现在来看n=2，l可以取两个值，0和1。如果l=1，则m可以等于－1，0或+1，这就多了3个能级，总数为4。

对于n=3，l可以是0，1或2。对于l=2，m可以等于－2，－1，0，+1或2，给出5个能级。所以总共有1+3+5=9个能级。依此类推。

记住前三个n对应的这些数：1，4和9。现在看看图7.1，它展示了化学元素周期表（periodic table）的前四行。数出每行的元素数量，并除以2，会得到1，4，4和9。这些数的意义会很快揭晓。

以这种方式来安排化学元素的功劳，通常归于俄国化学家德米特里·门捷列夫^[140]（Dmitri Mendeleev）。他在1869年3月6日将元素周期表提交给俄国化学学会，这比计算出氢原子允许的能级还要早上好多年。门捷列夫按照元素原子量（atomic weight）来排列元素；这与我们现在所说的原子核中质子和中子的数量相对应，尽管门捷列夫当时也没发现这一点。元素的顺序实际上对应于核内的质子数量（中子数量无关紧要），但对于较轻的元素来说，这本身区别不大，这也是门捷列夫正确的原因。他选择将元素按照行和列排列，因为他注意到，尽管某些元素的原子量不同，但它们的化学性质却非常相似；纵列组合在一起的元素也都相类似——周期表最右端的氦、氖、氩和氪都是反应活性极低的气体。门捷列夫不仅弄对了周期规律，他还预测了新元素的存在，以填充他的周期表中的空白：1875和1886年分别发现了31和32号元素（镓和锗）。这些发现证实，门捷列夫已经发现了原子结构某些深层的东西，但当时没人知道到底是什么。

图7.1：元素周期表的前四行。

令人震惊的是，第一行有两个元素，第二和第三行有八个，第四行有十八个，而这些数正好是我们刚才算出的氢原子能级数的两倍。为何如此？

如前所述，周期表中的元素，是按原子核中质子的数量从左到右排列的，而质子数与原子中电子的数量相同。还记得吗，原子都是电中性的——质子的正电荷恰好被电子的负电荷平衡。显然，某些有趣的机制将元素的化学性质与电子绕核运动所允许的能量联系在了一起。

可以设想，通过一次次增加质子、中子与电子，用较轻的原子制造出较重的原子；要记住，在原子核中每多加入一个质子，就应该在某个能级上多加入一个电子。如果我们简单断言，每个能级能且仅能包含两个电子，就可以解出这道数秘术练习，得出我们在周期表中看到的规律。我们来看看这是如何做到的。

氢原子只有1个电子，归入n=1能级。氦原子有2个电子，它们都会进入n=1能级。现在n=1能级已经填满了。要制造锂原子，得加入第3个电子，但它得进入n=2能级。对应于接下来的7种元素（铍、硼、碳、氮、氧、氟、氖）的7个电子，也可以坐进n=2能级，因为这个能级有4个位置，对应l=0，以及l=1时的m=－1，0和+1。这样我们就能解释直到氖的所有元素。对于氖，n=2中的能级已被填满，我们接下来得去填充n=3，从钠开始。下面8个电子依次填充n=3诸能级；电子首先填至l=0，之后是l=1。这就解释了所有第三行的元素，直至氩。对于周期表的第四行，如果我们假设它包含n=3中所有剩下的电子（即10个l=2的电子），以及n=4中l=0和l=1的电子（共8个），则这一行就可以解释了。图7.2勾勒出了我们周期表中最重的元素氪（有36个电子）的能级。

为了把前述内容提升到科学层次而非数秘术，笔者得加以解释。首先，需要解释为何同一纵列中元素的化学性质相似。从我们的方案中可以清楚地看到，周期表前三行中的每一行，从第一个元素开始，都是按照n递增的顺序来填充能级。具体来说，从氢元素开始，先往空的n=1能级填充1个电子；第二行从锂元素开始，先往空的n=2能级中填1个电子；第三行从钠元素开始，先往空的n=3能级中填1个电子。第三行有点怪，因为n=3能级可以容纳18个电子，而第三行并没有18种元素。但我们可以猜到个中缘由——前8个电子填满了n=3中l=0和l=1的能级，之后我们（因故）得换到第四行。现在，第四行包含了n=3中其余l=2的10个电子，以及n=4中l=0和l=1能级上的8个电子。周期表中的横行并不完全与n的值相关，这个事实表明，化学与能级编号之间的关联并不像前面设想的那么简单。然而，现在我们知道，第四行的前2个元素钾和钙，确实在n=4，l=0能级上，而接下来的10个元素（从钪到锌）的新增电子都姗姗来迟，填回n=3，l=2能级上。

图7.2：填充氪原子的能级。点表示电子，而水平线表示能级，由量子数n，l和m标记。具有相同n与l，但m不同的能级已被归为一类。

要理解为何对n=3，l=2能级的填充要推迟到钙以后，就需要解释为何包含了钾和钙的n=4，l=0能级比n=3，l=2能级的能量更低。前面说过，原子的“基态”是电子能量最低的构型，因为任何激发态总可以通过发出光子来降低其能量。因此，说“这个原子包含坐在这些能级上的电子”时，笔者是在说电子能量最低的构型。当然，我们并没有要尝试去实际计算这些能级，所以我们并没有确实的理由将能级按能量排序。事实是，要计算包括两个以上电子的原子中电子允许的能级，就是非常困难的事情了，而即使是两电子的情形（氦）也不那么容易。能级随n增加的顺序递增，这个简单想法来自对氢原子的计算，而它要容易得多；这种情况下，确实是n=1具有最低的能量，其次是n=2，然后是n=3，依此类推。

前述内容的明显含义是，周期表最右端的元素，对应于某一族能级刚好完全填满的原子。具体来说，对于氦，n=1能级是满的；对于氖，n=2能级是满的；而对于氩，n=3能级是满的，至少对于l=0和l=1是这样。我们可以将这些想法推进一小步，就能理解化学中一些重要的观念。幸运的是，笔者不是在写化学教材，所以可以简略处理；冒着用一段话就否定整个学科的风险，我们继续。

关键的观察是，原子可以通过共享电子而粘在一起；下一章中，我们将在探讨一对氢原子如何结合成一个氢分子时遇到这个想法。一般的规则是，元素“喜欢”把它们所有的能级齐整地填满。对于氦、氖、氩和氪的情况，能级已经完全填满了，所以它们自己就很“高兴”，不需要为发生化学反应而“烦扰”。对于其他的元素，它们可以“尝试”与其他元素共享电子来填满能级。例如，氢原子需要一个额外的电子来填满其n=1能级。它可以通过与另一个氢原子共享1个电子来达到这个目的。这样，它就形成了1个氢分子，化学符号H₂。这就是氢气存在的常见形式。碳原子在其n=2，l=0和l=1能级上的8个可能位置中有4个电子；它“希望”尽可能再得到4个电子来填满它们。可以通过结合4个氢原子来实现这一点，形成CH₄，即甲烷（methane）。碳元素也可以通过结合两个氧原子，后者本身需要两个电子来填满其n=2能级。这就形成了CO₂，即二氧化碳（carbon dioxide）。氧原子亦能通过结合两个氢原子来填满能级，形成H₂O，即水。诸如此类。这就是化学的基础：原子若能填满其能级，即使是与相邻原子共享电子，在能量上也比较有利。追根溯源，这是来自事物趋向其最低能级的原理；原子有这么做的“意愿”，是从水到脱氧核糖核酸（DNA）的万物形成的动力。在一个富含氢、氧和碳的世界，我们现在明白了为何二氧化碳、水和甲烷都如此普遍存在。

这是非常鼓舞人心的，但还有最后一块拼图需要解释：为何只有2个电子能占据每个可用的能级？这是泡利不相容原理的一个结果；要让上述讨论自洽，它显然是必要的。没有不相容原理，电子们就会挤在每个原子核周围最低的能级上，就不会有化学；这比初听起来要更糟，因为这样宇宙中就不会有分子，因此也就不会有生命。

每个能级有且仅有2个电子能占据，这个想法的确看似相当武断；在历史上，当这个想法刚被提出时，没人知道为什么会是这样。最初的突破由埃德蒙·斯托纳^[141]（Edmund Stoner）提出，他的父亲是一位职业板球运动员^[142]（为熟读《威斯登板球年鉴》^[143]的读者多提一句：这位运动员曾在1907年对阵南非队的比赛中八次击落三柱门的横木^[144]），而他自己是卢瑟福的一位学生，后来管理了利兹大学物理系^[145]。在1924年10月，斯托纳提出，在每个（n，l，m）能级上应该允许两个电子。泡利发展了斯托纳的提议，并于1925年发表了一条规则，在一年后被狄拉克称为泡利原理。在泡利首次提出的形式中不相容原理是说，原子中没有两个电子可以具有相同的量子数。他面临的问题是，两个电子貌似可以共享每一组n，l和m的值。泡利通过只简单引入一个新的量子数来解决这个问题。这是一条拟设，他并不知道这代表着什么。但它只能取两个值中的一个。泡利写道：“我们不能对这条规则给出更精确的理由。”1925年，乔治·乌伦贝克^[146]（George Uhlenbeck）和塞缪尔·古德斯米特^[147]（Samuel Goudsmit）提出了进一步见解。他们受原子光谱的精确测量结果启发，将泡利的额外量子数与一条真实、物理的电子性质等同起来，就是“自旋”（spin）。

自旋的基本概念很简单，可以追溯到1903年，远比现代量子理论要早。在它被发现的几年后，德国科学家马克斯·亚伯拉罕^[148]（Max Abraham）提出，电子是一种微小、自转的带电球。如果这是真的，则电子会受到磁场的影响，并取决于磁场与自旋的相对方向。在亚伯拉罕去世后三年，乌伦贝克和古德斯米特在他们于1925年发表的论文中指出，自旋球的模型不可能正确，因为要解释观测到的数据，电子须自转得比光速快。但这个想法的精神是正确的：电子的确有一种称为自旋的性质，它也的确影响电子在磁场中的行为。然而，自旋真正的起源是爱因斯坦的狭义相对论直接导出的微妙结果；但它直到保罗·狄拉克于1928年写下了一个描述电子的量子行为的方程之后，才被正确地理解。就我们的目的而言，只须承认电子的确有两种类型，称为“自旋向上”和“自旋向下”，而两种类型的区别在于角动量的方向相反；也就是说，它们确实像是在以相反的方向自转。遗憾的是，亚伯拉罕在电子自旋的真正本性被发现前几年就去世了，他从未放弃电子是一个小球的信念。在1923年的亚伯拉罕讣告^[149]中，马克斯·玻恩和马克斯·冯·劳厄^[150]（Max von Laue）写道：“他是一个可敬的对手，以诚实为武器战斗，不以悲叹和不实争论来掩饰失败……他爱他的绝对以太、他的场方程、他的刚性电子，就像年轻人爱他的初恋，这段爱恋不会被之后的任何经历磨灭。”如果我们遇到的对手都像亚伯拉罕这样，那该多好。

本章其余部分的目标是，解释电子为何会以不相容原理所述的奇怪方式行事。跟以前一样，我们会好好利用这些量子钟。

图7.3：两个电子的散射。

可以通过思考当两个电子彼此“弹”回时会怎么样，来解决这个问题。图7.3说明了一种特殊的情况：两个用“1”和“2”标记的电子，从某处出发，在他处结束。最终的位置标记为A和B。阴影泡是在提醒，我们还没有考虑过两个电子相互作用的过程（个中细节和这段讨论的目标无关）。我们只需想象，电子1自其起始位置跃起，并到达标为A的位置。同样，电子2到达标为B地位置。这就是上方图所展示的状况。其实，即使忽略两个电子可能发生相互作用，我们即将提出的论点也是成立的。在那种情况下，电子1跃至A处，且对电子2的闲庭信步毫无察觉；而在位置A找到电子1且在位置B找到电子2的概率，就会是两个独立概率的乘积。

例如，假设电子1跃至位置A的概率是45%，而电子2跃至位置B的概率是20%，在位置A找到电子1且在位置B找到电子2的概率是0.45×0.2=0.09=9%。我们在这里所做的，和掷硬币、骰子的逻辑一样：同时得到硬币“反面”和骰子“六”点的概率是1/2乘以1/6，等于（比8%多一点）^[151]。

如图所示，还有第二种方法可以让两个电子到达A和B。有可能电子1跃至B，而电子2跃至A。假设在B处找到电子1的概率是5%，在A处找到电子2的概率是20%，则在B处找到电子1且在A处找到电子2的概率是0.05×0.2=0.01=1%。

因此，有两种方法可以让两个电子到达A和B：一种有9%的概率，另一种有1%的概率。所以，如果我们不在乎谁是谁，则一个电子到达A、另一个到达B的概率，应该是9%+1%=10%。很简单，但这是错的。

错误在于，上述推理中假设，可以谈论哪个电子到达A、哪个又到达了B。如果所有电子在各方面都完全相同呢？这听起来可能是个无关紧要的问题，但并非如此。顺便一提，量子粒子可能严格全同（identical）的说法，最早追溯到与普朗克的黑体辐射定律有关。一位鲜为人知的物理学家拉迪斯拉斯·纳坦森^[152]（Ladislas Natanson）早在1911年就指出，普朗克定律与光子可被看作可区分粒子的假设不兼容。换句话说，如果能标记一个光子并追踪其运动，就不会得到普朗克定律。

如果电子1和2是绝对全同的，则散射过程须描述如下：起初有两个电子，一小段时间后仍有两个电子，位于不同位置。如前所述，量子粒子不沿明确定义的轨迹运动，这意味着即使在原则上也确实无法追踪它们。因此，声称电子1出现在A处而电子2在B处，毫无意义。因为我们就是无法分辨，给它们做标记也没有意义。这就是量子理论中两个粒子“全同”的意义。这条推理线会把我们带到哪里？

再看看图7.3。对于这个特定的过程，我们给上下两张图关联的概率（9%和1%）并没有错。然而，它们还不是全部。我们知道，量子粒子是由钟来描述的，所以我们可以将到达A的电子1与一块大小等于45%的平方根的钟关联起来。同样，也有一块钟与到达B的电子2相关联，其大小等于20%的平方根。

现在要引入一条新的量子规则。它说，要把一块钟与整个过程关联起来；亦即，有一块钟，其大小的平方等于在A处找到电子1并在B处找到电子2的概率。换言之，在图7.3中，有一块单独的钟与上方图相关联。可以看到，这块钟的大小必须等于9%的平方根，因为那就是该过程发生的概率。但它会指向什么时刻呢？这个问题的解答是第十章的领域，而它涉及钟相乘的概念。就本章而言，我们无需知道具体时刻，只需知道刚刚说过的那条重要的新规则；而它值得被重复一次，因为它是量子理论中的一条非常普遍的阐述：应该给一整个过程可能发生的所有方式都单独关联一块钟。给在单个位置找到单个粒子这个过程关联上一块钟，是这条规则最简单的示例；而在本书中，我们利用它顺利走到了这一步。但这是一种特殊情况；只要我们开始考虑多于一个粒子的情形，就需要扩展这条规则。

这意味着，图7.3中的上方图对应一块大小等于0.3的钟。同样，有一块大小等于0.1（因为0.1的平方是0.01=1%）的钟与下方图相关联。因此，我们有两块钟，并想以此确定在A处找到一个电子并在B处找到另一个的概率。如果两个电子是可区分的，答案会很简单：只需把与每种可能相关联的概率（而非钟）加起来。这样就会得到10%的答案。

但是，如果完全无法知道哪张图是真实的情况——例如当电子彼此不可区分时，则按照我们为单个粒子从此处跃至彼处而建立的逻辑，尝试把钟合并起来。我们所追求的是更具普遍意义的规则：对于单个粒子应该把粒子能到达某特定位置的所有方式所对应的钟都加起来，这样才能确定在那个位置找到粒子的概率。对于由许多全同粒子组成的系统，考虑到达一组位置的所有不同方式，应该把与这些方式所关联的所有钟都合并在一起，才能确定这些粒子在这组位置被找到的概率。这一点很重要，足够值得多读几遍；应该很清楚，这条合并钟的新规则，是我们一直以来用于单个粒子的规则的直接延展。然而，你可能已经注意到，我们在措辞上非常小心。笔者并没有说，这些钟一定要加在一起，而是说它们应该被合并起来。笔者的谨慎是有充分理由的。

最显而易见的做法，是把钟都加起来。但在跃进之前，我们应该先问一下，是否有好的理由能说明这是对的。这是一个很好的例子，说明在物理学中不要想当然；对假设的探索，往往带来新的见解，在本例中亦是如此。我们来退一步，想想最一般的做法。这会是在把钟相加之前，允许将其中一块钟旋转或者收缩的可能性。我们来更详细地探索一下这种可能性。

现在是这样：“我有两块钟，想把它们合并成一块钟，这样就能知道在A和B发现这两个电子的概率是多少。我该怎么合并它们呢？”我们并没有先入为主地给出回答，因为我们想要理解，钟的相加是否真的是我们应该使用的规则。可以发现，我们能有的选择并不多；钟的相加是仅有的两种可能性之一，这真是耐人寻味。

为了简化讨论，我们来把粒子1跃至A且粒子2跃至B所对应的钟称为钟1。这就是图7.3中与上方图相关联的钟。而钟2则对应另一选项，即粒子1跃至B且粒子2跃至A。这里有一条重要的认识：如果在将钟1与钟2相加之前先旋转前者，则我们计算出的最终概率必须与选择先将后者做相同旋转时的概率相同。

要看出这一点，注意到交换图中的标签A和B显然并不能改变什么，而只是用不同的方式描述同一个过程。但是，交换A和B，也会交换图7.3中的上下图。这就是说，如果我们决定在把钟1与钟2相加之前先旋转前者（对应于上方图），那么在交换标签A与B后，这必须精确对应于先旋转钟2再相加。这段逻辑推理至关重要，值得三令五申。由于已经假定无法分辨两个粒子之间的区别，因此我们可以将标签互换。这意味着，旋转钟1与将钟2转过相同圈数，必须给出相同的答案，因为无法区分两块钟。(www.xing528.com)

这项观察并非善类：它给出了一个非常重要的结果。因为要将钟旋转和缩小之后再加起来，有且仅有两种可能的方法可以让得到的最终结果不依赖于一开始选择对哪块钟做这些操作。

图7.4：上方图显示，在将钟1旋转90度后再把钟1和2相加，与先将钟2旋转90度再把它们相加，是不一样的。下方图显示了一个有趣的可能性：我们可以把一块钟旋转180度再相加。

图7.4展示了这一点。上方图说明，如果将钟1旋转90度再与钟2相加，则得到的结果与先将钟2旋转90度再与钟1相加不同。我们能看出这一点是因为，如果先旋转钟1，则由点线箭头表示的新指针与钟2的指针指向相反的方向，因此它们部分抵消。而旋转钟2的指针则会使其与钟1的指针指向相同方向，它们相加就会得到更大的指针。

应该很清楚，90度并不特殊；选择其他的旋转角度，也会给出一个相加结果与钟1和钟2谁被旋转有关。

一个明显的特例是钟转过的角度为0，因为先将钟1旋转0度再与钟2相加，与先将钟2旋转0度再与钟1相加，显然是完全相同的。这就是说，把钟加起来并不做任何转动，也是有可能的。类似地，将两块钟转过相同的角度也能行，但这与“不旋转”的情形是一样的，对应于重新定义“12点”。这相当于是说，我们可以自由地将所有的钟都转过相同的角度，只要是每一块钟都这么做，那就永远不会影响到我们想要计算的概率。

图7.4的下方图说明，还有一种方法可以把钟合并起来，或许有点令人惊讶：我们可以把其中一块转过180度，再与另一块相加。这并不能在两种情形下产生完全相同的钟，但是它确实产生了相同大小的钟，这意味着转过180度的做法能给出在A处找到一个电子并在B处找到另一个的概率是相同的。

用类似的推理可以排除在相加前收缩或者拉伸其中一块钟的可能性；因为如果我们将钟1收缩一定比例，再与钟2相加，则这通常与将钟2缩小相同的量，再与钟1相加，是不一样的；而且收缩与旋转不同，没有例外情况。

因此可以得出一个有趣的结论。尽管我们一开始给了自己完全的自由，但我们发现，由于无法区分粒子，实际上只有两种方法可以把钟组合起来：可以把它们直接相加，或者把其中一块钟旋转180度再相加。真正令人高兴的是，大自然利用了这两种可能性。

对于电子，在把钟相加之前，必须额外加入半圈旋转。对于像光子或希格斯玻色子这样的粒子，相加之前无需旋转。因此，大自然中的粒子分成两类：需要旋转的叫作费米子^[153]（fermion），无需的叫作玻色子^[154]（boson）。什么决定了一个特定的粒子是费米子还是玻色子？是自旋。

顾名思义，自旋是粒子角动量^[155]的一种体现；事实上，费米子的自旋总是等于某个半整数^[156]，而玻色子的自旋总是整数。我们说电子具有自旋1/2，光子具有自旋1，而希格斯玻色子具有自旋0。在本书中，笔者一直避免深入处理自旋，因为它在多数情况下都是技术细节。然而，在讨论元素周期表时，我们的确需要一个结果，即电子有两种类型，对应于其角动量的两种可能（自旋向上和自旋向下）。这是一个符合一般规律的例子，即自旋s的粒子通常有2s+1种；例如，自旋1/2的粒子（如电子）有2种类型，自旋1的粒子有3种，而自旋0的粒子有1种。粒子的内禀角动量与钟组合方式之间的关系，被称为自旋-统计定理（spin-statistics theorem）；要使量子理论的形式和爱因斯坦的狭义相对论相容，它就会出现。更具体地说，自旋-统计定理是确保不违反因果律^[157]的直接结果。不幸的是，自旋-统计定理的推导超出了本书水平——实际上，它超出了很多书的水平。在《费曼物理学讲义》^[158]中，理查德·费曼是这样说的：

很抱歉，对于这个问题我们不能给出一个简单的解释，泡利曾以量子场论和相对论的复杂论证作出过一个解释；他指出，量子场论和相对论必须一起应用。但我们无法在初等的水平上找到一种方法来重复他的论证。看来这是物理学中不多的情形之一，它们之中有能表述得非常简明的规则，但是没人能找到简单而又容易的解释。

考虑到理查德·费曼是在一本教科书上写下此语，笔者必须举手赞同。但是，这条规律很简单，而你必须相信，它是可以被证明的：对于费米子，必须旋转半圈，而对于玻色子，无需旋转。可以证明，旋转就是不相容原理的原因，因此也是原子结构之所以如此的原因；并且，经过我们的艰苦努力，现在它也能被解释得很简单。

想象将图7.3中A点和B点越移越近。当它们非常靠近时，钟1和钟2的大小一定很接近，指示的时间也差不多。当A和B完全重合时，两块钟必须完全一样。这应该显而易见，因为钟1对应粒子1运动到A点，而由于A和B重合，钟2在这种特殊情形中代表完全一样的东西。尽管如此，我们仍有两块钟，必须把它们加起来。但这里有一个问题：对于费米子，必须先将其中一块钟转过180度。这意味着，当A和B在相同位置时，钟的读数总是完全“相反”——如果一块钟是12点，则另一块钟是6点——因此把它们加起来，总会得到一块大小为零的钟。这是个迷人的结果，因为它意味着在相同位置找到这两个电子的机会永远是零：量子物理学定律使它们彼此避开。它们愈接近对方，产生的钟就愈小，这种接近就愈不可能发生。这就是著名的泡利不相容原理的一种表述方式：电子会互相避开。

我们最早的出发点是想要展示，氢原子中没有两个相同的电子可以处于同一能级。我们还没有完全证明这一点，但电子会互相避开的概念显然对原子以及我们为何不会落入地面有所影响。现在我们知道了，我们鞋的原子包含的电子与地面的电子不仅是由于同性电荷相斥而相互推开；根据泡利不相容原理，它们也因自然的互相避开而排斥。原来，正如戴森和莱纳德所证明的那样，是电子的避让使我们真正免于落入地面，并迫使电子占据原子内部的不同能级，使原子具有结构，最终产生了我们在大自然中看到的各种化学元素。这显然是对日常生活具有非常重大影响的物理现象。在本书的最后一章中，笔者将展示，泡利原理在对于避免一些恒星在其自身引力作用下坍缩也起到了何种至关重要的作用。

最后，我们要解释一下：如果没有两个电子可以在同一时刻位于同一地点，则原子中也没有两个电子可以有相同的量子数；也就是说，它们不可能具有相同的能量和自旋。如果考虑两个自旋相同的电子，则我们希望证明，它们不能处于相同的能级。如果它们真的处于相同的能级，则每个电子必定被描述为分布在空间中完全相同的钟的阵列（对应于相关的驻波）。对于空间中的每一对位置——标记为X和Y——则有两块钟。钟1对应于“电子1在X”和“电子2在Y”，而钟2对应“电子1在Y”和“电子2在X”。从之前的考量中我们知道，这些钟应该在将其中一块旋转6小时后再相加，只有这样才能得出，在X处找到一个电子而在Y处找到第二个的概率。但如果两个电子能量相同，则钟1和钟2在关键的额外旋转之前必定完全相同。在旋转之后，它们的读数会“相反”，且和先前的例子一样，加起来得到没有大小的钟。任何位置的X和Y都会这样，因此找到一对驻波构型相同从而能量也相同的电子，概率完全是零。归根结底，这就是你体内原子稳定性的由来。

[135]安德鲁·莱纳德，1927年生于匈牙利的包尔毛兹新城，美籍数学物理学家。

[136]《物质的稳定性》两篇论文，发表于《数学物理期刊》第8卷第423页及第9卷第698页。

[137]vintage champagne，指酿造基酒完全来自某年份且符合“香槟”标准的葡萄气泡酒，一般来自葡萄品质超群的年份。

[138]numerology，指相信数字与相应事物存在神秘联系的一类迷信。

[139]如上一章所述，从技术角度来讲，由于质子周围的势阱是球对称的而非方盒，所以薛定谔方程的解，必须正比于球面谐波（spherical harmonic）。与球面谐波关联的角度依赖给出了量子数l和m。解的径向依赖，给出了主量子数n。（原书注）

[140]德米特里·门捷列夫，1834年生于俄国托博尔斯克，1907年卒于圣彼得堡，俄国化学家。

[141]埃德蒙·斯托纳，1899年生于萨里郡，1968年卒于利兹，英国理论物理学家。

[142]亚瑟·斯托纳(Arthur Stoner)，1870年生于伦敦的斯特雷特姆，卒于1938年，英国职业板球运动员和裁判。

[143]又名《板球圣经》，是由英国板球运动员约翰·威斯登于1864年创办的年鉴。

[144]板球是一种盛行于英联邦国家的团体运动。投球击落三柱门上的横木，可使对方击球员出局。

[145]利兹位于英格兰中北部。

[146]乔治·乌伦贝克，1900年生于今天的印度尼西亚雅加达，1988年卒于美国科罗拉多州博尔德，美籍荷兰裔理论物理学家。

[147]塞缪尔·古德斯米特，1902年生于荷兰海牙，1978年卒于美国内华达州里诺，美籍荷兰裔物理学家。

[148]马克斯·亚伯拉罕，1875年生于今属波兰的格但斯克，1922年卒于慕尼黑，德国理论物理学家。

[149]讣告共有两段，分别发表于1923和1924年的《物理学期刊》上；引文应该出自次年的那一部分。

[150]马克斯·冯·劳厄，1879年生于现在德国的科布伦茨，1960年卒于西柏林，德国物理学家。

[151]我们将在第十章中了解到，考虑到两个电子相互作用的可能性，意味着需要计算出，在A处找到电子1并“同时”在B处找到电子2的概率，因为这并不能简化成两个独立概率的乘积。但就本章而言，这是一个无关细节。（原书注）

[152]拉迪斯拉斯·纳坦森在原文中和西欧世界常拼为Ladisla[u]s Natanson，波兰文Władysław Natanson，1864年生于华沙，1937年卒于克拉科夫，波兰物理学家。

[153]fermion，名称来自恩里科·费米（Enrico Fermi），1901年生于意大利罗马，1954年卒于美国伊利诺伊州芝加哥，意大利裔意大利籍美籍物理学家。

[154]boson，名称来自萨特延德拉·纳特·玻色（在英文中转写为Satyendra Nath Bose），1894年生于现在西孟加拉邦的加尔各答，1974年卒于同一城市，印度理论和数学物理学家。

[155]更准确地说，应该是与空间运动无关的内禀角动量，和与空间运动相关的轨道角动量相区分。

[156]以普朗克常数除以2π为单位。（原书注）

[157]更准确地说，是微观因果律；用数学公式表达，它只是一个简短的等式。

[158]原书第4—1节末尾，译文参考了潘笃武、李洪芳的中译本，上海科学技术出版社。