原子内部是一个奇妙的地方。如果站在质子上并眺望原子之间的空间，你看到的将只是一片虚无。电子仍是极小，就算它们十分偶然地近至触手可及，你也感觉不到。质子的直径约为10－15米，或者说0.000000000000001米。但它作为一个量子，跟电子比起来则是庞然大物。如果你站上的质子在英格兰的多佛尔白崖（White Cliffs of Dover），那原子模糊的边界就在法国北部的某处农场中[120]。原子广袤空旷，而你的身体也是如此。最简单的原子是氢原子，包含一个质子和一个电子。电子小得微乎其微，看上去就像漫游在没有边界的场地，但事实并非如此。由于彼此的电磁吸力，电子与其质子彼此束缚陷入罗网；而正是关押它们的豪华囚室的尺寸和形状，决定了光特有的条码彩虹，被我们的老朋友和晚宴常客凯瑟尔教授记录在《光谱学手册》中。
现在终于可以把我们到目前为止所积累的知识，应用到曾在20世纪初深深困扰卢瑟福、玻尔等人几十年的问题上：原子内部到底是怎么回事？或许你还记得，这个问题是这样的：卢瑟福发现，原子在某些方面就像一个微缩的太阳系，致密原子核像太阳一样位于中心，电子像行星扫过遥远的轨道。卢瑟福知道，这个模型不可能是正确的，因为在绕核轨道上的电子应该不断地发出光。结果对于原子应该是灾难性的，因为如果电子不断地发出光，则它必会损失能量，并沿螺线向内运动，最后不可避免地撞上原子核。这种情况当然没有发生。原子是趋向于稳定的。那么这模型的问题在哪里呢？
这一章是本书的一个重要发展阶段；在本章中，我们的理论将首次被用于解释现实世界中的现象。到目前为止，我们所有的艰苦工作都集中在弄清楚核心理论形式，这样我们才能思考量子粒子。海森伯的不确定性原理和德布罗意关系，标志着我们成就的巅峰；但总的来说我们是谦逊的，考虑的是只包含一个粒子的宇宙。现在是时候展示，量子理论是如何影响我们生活的日常世界了。原子结构是真实而具体的。你由原子组成：它们的结构就是你的结构，它们的稳定性就是你的稳定性。所以说，理解原子的结构就是理解我们宇宙整体的必要条件之一，这一点也不过分。
在氢原子内部，电子陷在质子周围的一个区域内。我们先想象一下，电子陷在某种盒子里，这与事实也相差无几。具体来说，我们将研究电子陷在小盒子中的物理现象能在多大程度上抓住真实原子的突出特征。我们会通过利用前一章所学的量子粒子的类波特征来进行研究，因为对于原子，波动图像确实可以简化描述；我们可以不用再担心钟的收缩、旋转和相加，就能够取得不错的进展。不过，请永远记住，波只是用来描述“引擎盖下”内情的一种便捷记法。
由于为量子粒子发展的理论框架，与用于描述水波、声波或吉他弦上的波的框架极其类似，我们会先来思考一下，当这些熟悉的物质波以某种方式被约束时的行为。
图6.1：六连拍水缸中水的驻波。时间从左上到右下依次前进。
一般来说，波是很复杂的。想象跳入一个灌满水的游泳池。纷乱的水波漾开，似乎任何想用简单方式来描述这种状况的尝试都是徒劳。然而，隐藏在复杂性的背后是简单性。关键之处在于，水是封闭在泳池中的，这也意味着所有的波都陷在泳池中。这产生了一种称为“驻波”（standing wave）的现象。当我们跳入泳池扰乱水面时，驻波隐藏在纷乱的水波中；但有一种办法可以让水波以规律、重复的驻波模式振动。图6.1展示了水面经历这样的一周振荡是什么样子。波峰和波谷此起彼伏，但最重要的是它们在完全相同的位置上升和下降。也有其他的驻波，包括水缸中央的水有节奏地上升和下降。我们通常不会看到这些特殊的波动，因为它们很难产生；但关键之处在于，任何水面的扰动——就算是由我们粗劣的跳水以及随后四处戏水所造成的——都可以表现为不同驻波的某种组合[121]。我们以前见过这种行为；这直接归纳了上一章中遇到的傅里叶观点。在那里，我们看到任何波包都可以由一些波长确定的波所组成。这些代表具有确定动量的粒子态的特殊的波是正弦波。在受限水波中，这种观念可以广泛应用：任意的扰动都总能由某种驻波的组合来描述。在本章后面会看到，驻波在量子理论中具有重要的诠释；事实上，驻波是理解原子结构的关键。记住这一点，我们来更详细地探讨它们。
图6.2：吉他弦能容纳的三种波长最长的波。波长最长的波（顶端）对应最低谐波（基频），其他的对应高阶谐波（泛音）。
图6.2展示了大自然中驻波的另一个例子：吉他弦上三种可能的驻波。在拨动吉他弦时，我们听到的音通常由最大波长的驻波主导，也就是图中所示的三列波中的第一列。这在物理学和音乐学中都称为“最低谐波”（lowest harmonic）或者“基频”（fundamental）。其他波长的波也很常见，它们称为泛音（overtone）或者高阶谐波（higher harmonic）。图中的其他波是两列波长最长的泛音。吉他这个例子不错，因为要看出吉他弦为什么只能以这三种特殊波长振动，这很简单。这是由于弦的两端都被固定住了：一端固定在吉他琴桥上，另一端被手指按在琴格上。这意味着琴弦在两个端点处不能运动，而这就决定了允许的波长。如果你弹奏吉他，就会直观地了解其中的物理：当手指在指板上向靠近琴桥的琴格移动时，琴弦长度减小，迫使其以越来越短的波长振动，对应更高的音。
最低谐波只有两个稳定点，又称波节；除了两个固定的端点，波的任何位置都在运动。从图中可以看到，这个音的波长是弦长的两倍。次长的波长等于弦的长度，因为在弦的中央可以加上一个波节。接下来，我们可以得到波长等于2/3弦长的波，以此类推。
一般情况下，就像束缚在泳池中的水一样，弦会以不同的驻波组合振动，取决于如何拨弦。弦的实际形状总是可以由对应存在的每列谐波的驻波相加而来。谐波及其相对的振幅大小，使得声音具有其音色。不同的吉他有不同的谐波分布，因此音色也不同；但一把吉他上的中央C（纯谐波）和另一把上的中央C的音高总是相同的。对于吉他，驻波的形状非常简单：它们是纯粹的正弦波，波长由琴弦的长度决定。对于泳池，如图6.1所示，驻波更为复杂，但观念是完全一样的。
你可能会困惑，为何这些特殊的波被称为“驻波”。这是因为，这些波的形状从不改变。如果我们拍下以驻波振动的吉他弦的两张照片，则它们的区别将只在于波的整体大小。波峰总是在同一处，而波节也是，因为它们由琴弦端点的位置决定；在泳池的例子中，它们由池壁决定。在数学上，我们可以说，两张照片中的波只相差一个整体的乘积因子。这个因子随时间而周期性变化，表达出了琴弦的有节奏振动。对于图6.1中的泳池也是如此，每张照片由一个乘积因子同其他照片之间联系起来。例如，最后一张照片，可以通过将第一张照片中的波高乘以－1得到。
小结一下，以某种方式束缚的波，总能被表达成驻波（不改变形状的波）的组合。我们之所以投入这么多时间去了解它们，有很充分的理由。最重要的理由是，驻波是量子化的。对于吉他弦上的驻波，一切清晰明了：基频的波长是弦长的两倍，而允许的次长波长等于弦长。不存在波长位于这两者之间的驻波，因此我们可以说，吉他弦上允许的波长是量子化的。
由此可知，如果陷住波就会有什么东西被量子化。在吉他弦的例子中，量子化的显然是波长。对于盒中电子的情形，与电子对应的量子波也是被陷住的。类比可知，一些东西会被量子化，所以应该期望只有特定的驻波会出现在盒子里。其他类型的波不可能存在，就像无论怎么拨动，一根吉他弦都不可能同时弹出一个八度（octave）的所有音。而就和吉他的乐音一样，一般的电子态也由驻波态的混合来描述。这些量子驻波开始变得有意思了；受此鼓舞，我们来恰当地分析一番。
要取得进展，我们必须明确用来放置电子的盒子的形状。简便起见，我们假设电子可以在一个大小为L的区域内自由跳跃，但完全禁止它游荡出这个区域。我们本不需要说明准备如何禁止它游荡出去——但如果这是一个简化的原子模型，则我们应该想象，由带正电荷的原子核施加的力负责束缚住电子。在术语中，这叫作“方阱势”（square well potential）。图6.3画出了这种情况；命名的原因应该是显而易见的。
图6.3：陷在方阱势中的电子。
将粒子束缚在势中的观念非常重要，后文还要使用；因此我们要准确理解它的含义，这会非常有用。我们究竟是如何陷住粒子的？这个问题相当复杂；要彻底弄清楚它，需要了解粒子是如何与其他粒子相互作用的，这是第十章的内容。尽管如此，只要不问过多的问题，我们还是可以取得进展。
在物理学中，“不要问太多问题”是一项必要的技能，因为不存在完全孤立的物体体系，我们必须在某处画下界线，才有可能回答一些问题。如果我们想了解一台微波炉如何工作，就应该无需担心外面经过的车流，这看似毫无问题。但车流对微波炉的运转还是会有微小影响的，它带来空气和地面振动，使微波炉轻微摇晃。还可能有杂散的磁场，无论屏蔽得多好，都会影响微波炉内部的电子元件。忽略一些事情时有可能因为错过一些关键细节而犯错的。在这种情况下，我们就会得到错误的答案，不得不重新考虑假设。因此所有的假设都要通过实验来验证或否定，这非常重要，也是科学成功的核心。大自然才是仲裁者，而非人类的直觉。这里，我们的策略是忽略陷住电子的机制细节，并建立名为势的模型来研究它。“势”这个词，实际上只是说“由于某些物理或其他原因对粒子产生的效应，但我懒得仔细解释”。后面会对粒子的相互作用详加描述，但现在我们将用势的语言来讨论。如果这听起来有点漫不经心，让我们举例说明势在物理学中是如何应用的。
图6.4：位于谷底的球。粒子接触地面的海拔高度，直接正比于粒子在四处滚动中所感到的势。
图6.4展示了一个陷在谷中的球。如果踢小球一脚，它就能滚上山坡，但仅此而已，它之后就会重新滚下来。这是一个很好的例子，说明粒子被势陷住了。在本例中，地球的重力场产生了势，而陡峭的山坡形成了陡峭的势。显然我们可以算出球如何在山谷中来回滚动的细节，而不必知道谷底如何与球相互作用的详情；为此我们得了解量子电动力学的理论。如果事实证明，球中原子和谷底原子相互作用的细节对球运动的影响太大，我们就会作出错误的预测。实际上，原子间的相互作用的确重要，因为这会产生摩擦力；但也可以不用费曼图对摩擦力建立模型。我们跑题了。
这个例子非常形象，因为我们可以具体地看到势的形状[122]。但这种观念是普遍的，也适用于重力和山谷以外其他来源产生的势。一个例子就是陷在方阱中的电子。与谷中球的情形不同，阱的壁高并不是任何东西的实际高度；相反，它表示点要从阱中逃逸需要达到的速度。对于山谷的情形，这就类似于让球滚得足够快，使其能爬上山壁并离开山谷。如果电子移动得足够缓慢，则势的实际高度就无关紧要，我们可以放心地假设，电子就束缚在阱的内部。
我们现在来把注意力集中在一个电子身上，它陷在由方阱势描述的一个盒子里。由于它无法逃出盒子，量子波必须在盒子的边缘衰减为0[123]。那么，波长最长的三种可能的量子波，就完全类似于图6.2所示的吉他弦波：最长的波长是盒子大小的2倍，即2L；次长的波长等于盒子的大小，即L；下一个波长是2L/3。一般来说，我们可以将波长为2L/n的电子波放在盒子里，其中n=1,2,3,4，等等。
因此，具体对于方盒来说，电子波和吉他弦上的波的形状完全一样；它们是一组具有特定允许波长的正弦波。现在我们可以引用上一章中的德布罗意关系，继续将这些正弦波的波长与电子动量通过p=h/λ联系起来。在此情形中，驻波描述的电子只允许具有特定的动量，由公式p=nh/(2L)给出，我们所做的只是将允许的波长代入到德布罗意关系中。
这样，我们就证明了方阱中电子的动量是量子化的。这是个重磅结论。然而，我们确实得小心一点。图6.3中的势是一种特殊情形；对于其他的势，驻波通常不是正弦波。图6.5展示了一面鼓上的驻波。鼓皮上撒了沙子，后者聚集在驻波的波节处。因为包围振动鼓皮的边界是圆形而非方形，驻波不再是正弦波[124]。这意味着，一旦我们转而研究电子被质子陷住的更现实情形，它的驻波将同样不是正弦波。反过来，这意味着波长和动量的联系也不在了。那么，该如何诠释这些驻波呢？对于陷住的粒子，如果不是动量，那一般来说，又是什么被量子化了呢？
图6.5：一面振动的鼓。鼓面上覆盖的沙子聚集在驻波的波节处。
请注意在方阱势中，如果电子的动量是量子化的，那么能量也是。这项简单的观察结果看似不包含任何重要的新信息，但可以帮助我们得到答案。因为它将能量和动量相互联系。具体来说，能量E=p2/2m，其中p是被陷住电子的动量，m是其质量[125]。这项观察结果并不像表面上那么无意义，因为对于比方阱势更复杂的势，每列驻波总是对应具有确定能量的粒子态。
能量和动量之间的重要区别在于，在粒子可以存在的区域内，只有当势是平坦的时候，E=p2/2m才成立。同时得允许粒子能自由运动，就像桌面上的弹珠，或是方阱中的电子。更通俗地说，粒子的能量不会是E=p2/2m；相反，它会是粒子因运动所具有的能量和势能之和。这就破坏了粒子能量和动量之间的简单联系。
我们可以通过再次思考谷中的球来说明这一点。如果我们在开始时让球快乐地停在谷底，就什么都不会发生[126]。要想让它滚上山谷一侧，必须踢它一脚，这相当于说我们需要增加它的能量。在踢球后的瞬间，它所有的能量都会以动能的形式出现。在球滚上山谷一侧时，它会慢下来；直到在离谷底一定高度时，球就会停住；然后再滚下并滚上另一侧。在它停止在山谷一侧的一定高度时，它没有了动能，但能量并没有神奇地消失。相反，所有的动能都变成了势能，等于mgh，其中g是地球表面由重力产生的加速度，h是球相对谷底的高度。当球开始向下滚入山谷时，存储的势能随着球的加速而逐渐转化成动能。因此，在球从山谷一侧滚向另一侧时，总能量保持不变，但会在动能和势能之间周期性地转换。显然，球的动量不断变化，但其能量却是常数（我们假定没有摩擦力使球慢下来。如果真的有，则总能量仍然是常数，但是得包含由摩擦力耗散掉的能量才行）。
现在，我们要用另一种方式来探讨驻波和具有确定能量的粒子之间的关系，而不再利用方阱的特殊性质。我们要用小量子钟来讨论。
图6.6：驻波在时间的连续流动中的四张快照。箭头表示钟指针，虚线是在“12点”方向的投影。时钟的转动全都同步。
首先我们要注意到，如果一个电子在某一时刻由驻波描述，则在以后的某个时刻，它将被相同的驻波描述。“相同”是说波的形状不变，就像图6.1中水的驻波一样。当然，我们并不是说波完全没变；水的高度确实会有变化，但关键是波峰和波节的位置不变。这使我们可以得出，驻波的量子钟描述必须是什么样子。图6.6是基频驻波的情形，沿波分布的钟的大小，反映了波峰和波节的位置，而钟指针以相同的速率扫过钟面。希望你能明白，我们为何要画出这种特殊的钟的图案。波节必须始终是波节，波峰必须始终是波峰，而且它们必须始终停留在相同位置。这意味着波节附近的钟总是很小，且总是由最长指针的钟代表波峰。因此，我们唯一的自由，就是让钟待在被放置的地方，并同步旋转。
如果按照前几章中的方法来推导，我们现在就要从图6.6中顶部一行钟的构型开始，并用收缩和旋转规则生成下面三行稍后时间的构型。这个关于钟跳跃的练习本身跳离本书太远，但它可以完成。而且这个练习，有其微妙的曲折之处：要正确地计算，必须考虑粒子在跃至目的地之前“在盒壁上弹回”的可能性。顺便说一下，由于中央处的钟更大，我们可以立刻得出结论：这块钟的阵列所描述的电子更可能在盒子的中央找到，而非边缘处。
因此，我们发现被陷住的电子由钟的阵列所描述，它们以相同的速率绕圈。物理学者通常不这么说，音乐人当然也不会；他们都说，驻波是频率确定的波[127]。高频波对应的钟绕得比低频波的钟快。这点能直接看出来，因为如果钟绕得快，它从波峰到波谷再升回来（以钟指针转动一周表示）所需的时间就会减少。就水波而言，高频驻波的上下运动比低频的要快。在音乐中，中央C的频率据说是262Hz，也就是说，在吉他上，琴弦每秒钟上下运动262次。A的频率是440Hz，高于中央的C，所以它振动得更快（这是全世界大多数管弦乐队和乐器的调音标准）。然而，我们已经注意到，只有对于纯粹的正弦波，这些确定频率的波才有确定的波长。一般来说，频率才是描述驻波的基本量，而这句话大概是个双关。
那么，终极问题就是：“一个电子有特定的频率，是表达什么意思？”我们得提醒你，这些电子态对我们来说很有意思，因为它们是量子化的，并且处于这种量子态的电子，会一直保持在这种态中（除非有什么东西进入势的作用区域，并且重击电子）。
最后这一句是我们确定“频率”含义所需的重大线索。在本章前面我们遇到了能量守恒定律，它是物理学中极少数颠扑不破的定律之一。能量守恒定律指出，如果氢原子（或方阱）内的电子具有特定的能量，则能量不会改变，除非“有事发生”。换句话说，电子不能无缘无故地自发改变能量。这听起来可能没什么意思，但请把这个和已知位于某个位置的电子进行对比。我们很清楚，这个电子会在下一瞬间跃至整个宇宙，生出无穷多块钟。但是驻波的钟图案却不一样。它保持自己的形状，和所有的钟一起快乐地永远旋转，除非有什么东西扰动它们。因此，驻波的不变性，使其成为描述具有确定能量电子的候选方案。
一旦我们把驻波频率和粒子的能量联系起来，就可以利用我们对吉他弦的知识，推断出更高的频率一定对应更高的能量。这是因为，高频率意味着短波长（因为短弦振动得更快），而且根据我们所知的方阱势的特殊情况，可以通过德布罗意关系推知，更短的波长对应更高能量的粒子。因此，重要的推论是：驻波描述具有确定能量的粒子；能量越高，钟指针绕圈越快。
小结一下，我们推理得出，当电子被势所束缚时，其能量被量子化。用物理学的行话来说，我们认为一个被陷住的电子只能存在于特定的“能级”（energy level）之中。电子能具有的最低能量，对应其“基频”驻波[128]，而这个能级通常被称为“基态”（ground state）。对应更高频率驻波的能级称为“激发态”（excited state）。
我们来想象一个困在方阱势中、具有特定能量的电子。我们说它“坐在一个特定的能级中”，其量子波将与一个单一的n值相关联（见本章前文）。“坐在一个特定的能级中”，这种措辞反映出下列事实：在没有外部影响时，电子会什么都不做。更通俗地说，电子可以由很多驻波来描述，就像吉他的声音是由很多谐波组成的。这意味着，电子一般具有的不是唯一能量。(www.xing528.com)
关键之处在于，测量电子能量给出的值必须始终与其中一列驻波相关。为了计算出在某个特定能量找到电子的概率，我们应该考虑总波函数中与该能量相对应的驻波的贡献，将这些驻波所关联的钟指针长度求平方，并加起来，得到的数就告诉我们电子处在这种特定能态的概率。所有这样的概率（每个能级都有一个）相加必需和为1；这反映了一个事实，即我们总会发现，粒子的能量与特定的驻波相对应。
我们说白了：电子可以同时具有很多不同的能量，而这和说它可以处于多个位置一样怪诞。当然，到了本书的这个阶段，你应该不会再感到震惊；但在我们的日常直觉中，这还是让人震惊。注意，陷住的量子粒子，和泳池中或吉他弦上的驻波，有一项至关重要的区别。对于吉他上的驻波，它们被量子化的观念一点都不奇怪，因为描述振动弦的真实的波，是由很多不同的驻波同时组成的；而所有的这些波，在物理上都对波的总能量有贡献。因为它们能以任何方式混合，振动弦的能量可以取任意值[129]。然而，对于陷在原子内部的电子，每列驻波的相对贡献，描述了电子以那种特定能量被发现的概率。关键的区别在于，水波是由于水分子集体运动而显现的波，而电子波当然不是由电子集体运动而显现的波。
这些考量表明，原子内部的电子能量是量子化的。这意味着，电子根本无法具有任何介于某些允许值之间的能量。这就像是说，一辆车能以时速10英里或40英里行驶，但不能以介于其中的时速行驶。这个恢恑憰怪的结论立刻提供了解释，当电子沿螺线落入原子核时为何原子不会连续地辐射光。这是因为，没有办法让电子不断地一点一点释放能量。相反，它唯一能释放能量的方式，就是一次性失去一大块能量。
图6.7：氢原子的巴耳末系：这就是来自氢元素的光通过光谱仪后得到的图案。
我们也可以将刚才所学，与观测到的原子性质联系起来；具体来看就可以解释它们发出光的独特颜色。图6.7展示了最简单的原子——氢原子所发出的光。这种原子发出的光，由五种独特的颜色组成：一条对应656纳米波长的亮红色谱线，一条对应486纳米波长的淡蓝色谱线，还有三条紫色的、逐渐消失在光谱紫外端的谱线。这一系列颜色被称为巴耳末系，得名于瑞士数学物理学家约翰·巴耳末[130]（Johann Balmer）；他在1885年写下了能描述这些谱线的公式。巴耳末不知道他的公式为什么有效，因为量子理论当时还没有被发现；他只是用一个简单的数学公式，表达了光谱图案背后的规律。但我们能做得更好，而这一切都与氢原子内部所允许的量子波有关。
我们知道，光可以被看作光子流，每个光子的能量是E=hc/λ，其中λ是光的波长[131]。因此，原子只能发出特定颜色的光，这项观测结果就意味着，它们只能发出能量特定的光子。我们还了解到，“陷在原子”中的电子只能具有某些特定的能量。这是我们向解释由原子发出的彩色光的这个历史谜团迈进了一小步：不同的颜色，对应于电子从一个允许的能级“下落”至另一个时所发出的光子。这个想法意味着，观测到的光子能量，总是对应于一对允许的电子能量之差。这种描述光谱物理的方法，很好地展示了以允许的电子能量来描述其量子态的价值。反观，如果我们是选用了电子动量的允许值，则量子性质就不会那么明显，而我们也不会这么容易就得出结论：原子只能以特定波长发出与吸收光辐射。
原子的盒中粒子模型没有精确到足以计算真实原子中的电子能量，然而这项计算是检验这个想法的必要条件。所幸如果我们能更准确地对质子附近陷住电子的势建模，也可以完成精确的计算。只要这些计算确凿无疑，就能证实，驻波所描述的确实是那些神秘的光谱线的起源。
你可能已经注意到，我们并未解释电子为何会因发出光子而失去能量。就本章目的而言，我们不需要解释。但是，一定会有什么东西，促使电子离开驻波，而这“什么东西”是第十章的主题。现在，我们只简要地说，“为了解释观测到的由原子所发出的光的图案，有必要假设，当电子从一个能级下落到另一个更低能级时，就会发出光”。原子盒的形状决定允许的能级，且它们因原子而异，因为在不同原子中，电子受限的环境不同。
到这里为止，我们用一幅非常简单的原子图像很好地解释清楚了；但还不足以假设电子被封闭在某个盒子中自由运动。电子是在一堆质子和其他电子附近运动；要真正理解原子，我们现在必须思考，如何更准确地描述这个环境。
有了势的概念，就可以更准确地描述原子。我们来从最简单的原子氢原子开始。一个氢原子只有两个粒子构成：一个电子和一个质子。质子比电子重近2000倍，所以我们可以假设它坐在那里动都不动，就能产生一个束缚住电子的势。
质子带正电荷，而电子带负电荷。顺带一提，质子和电子的电荷为何完全等值且相反，是物理学最大的谜团之一。或许有一个极好的原因，和亚原子粒子某些尚未发现的基本理论有关，但在笔者撰写本书时，无人知晓。
图6.8：一个质子周围的库仑势阱。在质子所在之处，是阱最深处。
我们所知道的是，由于电荷相反，质子会把电子拉向自己；在前量子物理学中，它可以把电子向内拉到任意小的距离。有多近取决于质子的精确性质：它到底是硬球，还是云雾状的什么东西？这个问题无关紧要，因为我们已经看到的是，电子有一个最低的能级，（粗略来讲）是由能填进质子产生的势中波长最长的量子波决定。质子产生的势已经绘在图6.8中。深“洞”的功能就像是我们稍早遇到的方阱势，只是其形状不像后者那么简单。它被称为“库仑势”，因为它是由两个电荷之间相互作用的定律决定的；这个定律最早由夏尔-奥古斯丁·德·库仑[132]（Charles-Augustin de Coulomb）于1783年写下。然而，挑战还是一样的：我们必须找出那些能被这个势所容纳的量子波，而这些波将决定氢原子允许的能级。
图6.9：用以描述氢原子中电子的四列最低能量的量子波。亮的区域是电子最容易出现之处，而质子位于中心。右上图和左下图相对第一张图，展示区域扩大至4倍；右下图相对第一张图，展示区域扩大至8倍。第一张图展示区域的直径约为3×10－10m。
我们可以呆板地说，要找到这些量子波，就是“对库仑势阱求解薛定谔的波动方程”，这是实现钟跃法则的一种办法。即使对于简单如氢原子的情形，详细解法也需要技术；幸运的是，我们无需比已经领悟的知识再多学多少。为此，我们将直接跳到解答：图6.9展示了从氢原子的电子得到的驻波。它说明了电子在某处被找到的概率。亮的区域是电子最有可能出现的地方。当然，真正的氢原子是三维的，而这些图对应于通过原子中心的切片。左上角的图是基态波函数，它告诉我们，在这种情形中，电子通常会位于距质子1×10－10米处。驻波的能量从左上到右下图递增。从左上到右下，观察尺度也扩大到8倍——事实上，覆盖左上角图大部分的明亮区域，大约和右边两张图中部的小亮区一样大。这意味着，电子处在更高能级时，倾向于离质子更远（因此电子和质子的结合更弱）。这些波显然不是正弦波，这就是说，它们不对应动量确定的量子态。但是，如我们所反复强调的，它们确实对应能量确定的态。
图6.10：篮球内两列最简单的声音驻波（左）与氢原子中相应的电子波（右）作比较，它们非常相似。氢原子的上方图是图6.9中左下图中心区域的特写。
驻波的独特形状，是由阱的形状造成的；其中有一些特点，值得稍加讨论。质子周围的阱的最显著特点是，它是球对称（spherically symmetric）的。这意味着，无论从哪个角度看它都是一样的。要想象出这一点，请考虑一个没有标记的篮球：它是一个完美的球，无论如何转动它，看起来都一样。也许，我们可以大胆地把氢原子内的电子，想象成是被困在一个小小的篮球里？这当然比说电子陷在一个方阱里要更有可能；而不寻常的是，它们还有相似性[133]。图6.10左侧是篮球内两列能量最低的声音驻波。我们再次沿中心切开球，随图中颜色由黑转白代表着球中的气体压强逐渐增大[134]。图右侧是氢原子中两列可能的电子波。左右两张图虽不完全相同，但十分相似。所以，想象氢原子内的电子陷在一个类似于小篮球的东西里，也没那么蠢。这幅图像的确能展示量子粒子的类波行为，它有望解开一部分谜团：理解氢原子中的电子，并不比理解气体在篮球内部的振动更复杂。
在离开氢原子话题之前，笔者想多说一点关于质子产生的势，以及电子如何随着发射光子、由高能级跃至低能级。通过引入势的概念，我们合理地避免了关于质子和电子是如何通信的讨论。这种简化让我们理解被束缚粒子能量的量子化。但是，如果想认真理解发生的事情，我们应该尝试解释束缚粒子背后的机制。对于粒子在真实盒子中运动的情形，我们可能会想象某种无法被穿透的盒壁，它大概是由原子组成，粒子将与这些原子相互作用因而无法穿透盒壁。对“不可穿透性”的正确理解要从粒子如何相互作用出发。我们比喻说，氢原子中的质子“产生一个势”，而电子在其中运动，又把势束缚住电子的方式比喻为粒子陷在盒子里的方式。这种说法还是回避了更深层的问题，因为很明显，电子与质子会相互作用；而正是这种相互作用，决定了电子如何被禁锢。
在第十章中将会看到，补充一些处理粒子相互作用的新规则，来完善我们到目前为止所阐明的量子规则。目前，我们的规则非常简单：粒子携带虚构的钟跳来跳去；根据跳跃的距离，钟会逆时针转动特定的量。允许所有的跳跃，因此一个粒子可以通过无穷多条路线从A跃至B。每条路线都会将其自己的量子钟送至B，我们必须把这些钟加起来，以决定一个作为结果的钟。这块钟就会告诉我们在B处找到粒子的概率。在这套把戏中加入相互作用其实很简单，只要在跳跃规则之外，我们再添加一条新规则，规定一个粒子可以发射或吸收另一个粒子。如果发生相互作用之前只有一个粒子，则这之后可以有两个；如果发生相互作用之前有两个粒子，则这之后可以只有一个。当然，如果想搞出数学形式，则我们需要更精确地说明，哪些粒子可以融合或分裂，以及每个粒子携带的钟在相互作用时会怎样。相互作用是第十章的主题，但是它对原子的影响应该很显而易见的。如果有规则说电子是通过发射光子来相互作用，则有这种可能：氢原子中的电子吐出一个光子，失去能量而跌落至更低的能级。它也可能吸收一个光子，得到能量并跃上更高的能级。
光谱线的存在表明，发射和吸收光子确有其事，并且这个过程通常严重偏向一种方式。具体来说，电子可以随时吐出一个光子并损失能量，但它唯一获得能量并跃上更高能级的方式是，有一个光子（或其他来源的能量）能与之相撞。在一团氢气中，这样的光子通常既少又远，而一个处于激发态的原子更可能发射一个光子，而不是吸收。最后的净效应是，氢原子倾向于退激发（de-excite）；这是说，发射率超过了吸收率，并且在一段时间后，原子会降至n=1基态。但情况并非总是如此，因为有可能通过可控的方式给原子提供能量，使其不断激发。这就是如今已无所不在的激光（laser）技术的基础。激光的基本思想是，将能量泵入原子，激发它们，并收集电子能级降低时产生的光子。当以高精度从CD或DVD表面读取数据时，这些光子非常有用：量子力学以各种形式影响着我们的生活。
在本章中，我们用量子化能级的简单观念成功地解释了光谱线的来源。我们看似有了一种思考原子的可行方式。但有些事又不太对。我们还缺少最后一块拼图；没有它，就不能解释其他比氢更重的原子。更确切地说，也将无法解释，为何我们不会落入地面；这对描述大自然的最好理论是个问题。我们要寻找的洞见，来自奥地利物理学家沃尔夫冈·泡利的工作。
[120]大致相当于质子在烟台芝罘岛，而原子边界在隔海相望的大连某地。
[121]这里只考虑任意纷乱但振幅不大的情形，忽略掉飞溅、泡沫等现象。
[122]重力势，能准确映射到地形上，这个事实的内在原理是，在地球表面附近，重力势与离地面的高度成正比。（原书注）
[123]其实根据这个原因，只能推得量子波在盒子以外为0。让我们暂且接受这个结论。
[124]事实上，它们是由贝塞尔函数来描述的。（原书注）弗里德里希·威廉·贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel）1784年生于德国明登，1846年卒于今俄罗斯加里宁格勒，德国天文学家和数学家。（译注）
[125]这是由能量等于1/2mv2以及p=mv得到的。这些关系的确会在狭义相对论中被修改，但相对论效应对于氢原子内的电子而言很小。（原书注）
[126]这是一个大球，无需担心量子晃动。但是，如果你的脑海中闪过这个想法，则是一个好的迹象：你的直觉正在变得量子化。（原书注）
[127]其实，音乐人只是可能不会这么说，而鼓手是一定不会，因为英语的“频率”（frequency）是一个超过两个音节的词。（原书注）
[128]例如，在方阱势中n=1的情况。
[129]除了驻波混合方式的不同，振动弦的振幅也可以变化；例如，在只以一种驻波振动的情形中，通过改变振幅，也可以改变振动弦的能量。这与作为驻波的电子不同：由于概率诠释，描述电子的驻波的振幅平方之和等于1，所以电子能量只由各驻波的混合方式决定；例如，在只有一种驻波的情形中，电子的能量是唯一确定的。
[130]约翰·巴耳末，1825年生于瑞士劳森，1898年卒于巴塞尔，瑞士数学家、数学物理学家。
[131]顺便一提，对于无质量粒子，由爱因斯坦的狭义相对论可推得E=cp。如果读者知道这一点，则再结合德布罗意关系，就可以立刻得到E=hc/λ。（原书注）
[132]夏尔—奥古斯丁·德·库仑，1736年生于法国昂古莱姆，1806年卒于巴黎，法国军事工程师和物理学家。
[133]方阱的“方”，说的是势在边界处跃变，而在阱内外分别为常数，与几何形状没有关系。本段所述三维空间中的情形，也可以称为球对称方势阱。
[134]空气中的声波可以看成是空气压强的波动。
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