在上一章中，我们通过考虑钟群的一种特殊的初始排列，推导了海森伯不确定性原理——一小群钟，其中每一块的指针大小一样，指向相同。我们发现，这代表了一个近似静止的粒子，尽管量子规则意味着粒子会轻微振荡。我们现在要建立一组不同的初始构型，希望描述一个运动的粒子。在图5.1中，笔者画了钟的一组新构型。它还是一个钟群，对应起初位于钟附近的一个粒子。和以前一样，位置1的钟指向12点，但钟群里的其他钟现在都转过了不同的量。笔者这次画了五块钟，只是因为它让推理更明晰，尽管跟以前一样，得想象出五块钟之间的那些钟。在钟群所占据的空间内，这样的钟每个点上都有一块。跟以前一样，我们来应用量子规则，把这些钟移到离钟群很远的位置X，以描述粒子能从钟群跃至X的多种方式。
下面这段推导过程，笔者希望变得愈发常规。我们来把钟从位置1传播到X，并转动指针。它会转过的量是：
现在我们来把钟从位置2传播到X。它稍微远一点，比如说更远的距离是d，则转过的量也多一点：
图5.1：初始钟群（由标记为1到5号的钟表示）由不同示数的钟组成——它们和邻居相比指针都移动了3小时。图下半部分展示的是钟群里钟的时间随位置的变化。
这和我们在前一章做的一样，但也许你已经能发现对于钟的这种新初始构型会发生不一样的事情。我们设定，让钟2初始时比钟1顺时针多转动3小时——从12点转到3点。但是在把钟2带至X点的过程中，须将其逆时针转动得比钟1多一点，这对应它多运动的距离d。如果我们巧妙安排，使得钟2的初始顺时针转动量，与其抵达X时多出来的逆时针转动量相等，则它抵达X时会与钟1的示数完全一样。这意味着，移动后的钟2不会与钟1抵消，而是与之相加得到更大的钟，这就意味着在X处找到粒子的概率很大。这和在开始时让所有钟示数相同的量子发生“量子干涉的狂欢”完全不同。我们来考虑钟3，它和钟1相比转过了6小时。这块钟在抵达X时会额外移动2d的距离。同样，因为初始时间的偏置，这块钟抵达时会指向12点。如果我们用相同的方式偏置所有的钟，那这种结果就会发生在钟群中的所有钟上，它们在X处会相长地相加起来。
这意味着，稍后粒子在X处被找到的概率很大。显然，位置X有其特殊性，因为钟群中的所有钟都合谋在那里指向相同的时间。但是X不是仅有的特殊点：所有在X左侧、距离与原钟群长度相同的位置，都具有让所有钟相长相加的性质。要看出这一点，注意我们可以把钟2移动到X左侧距离d的位置。这相当于将其从原位置向右移动x的距离；这和我们把钟1移至X的移动距离一样。下面可以把钟3移动x+d的距离到相同的位置，这和之前钟2的移动距离一样。因此，这两块钟都到达x时的读数应该相同，会相长相加。我们可以对钟群中所有的钟都如此移动，直到到达X左侧和原始钟群的大小相同的距离，即d。在这片特殊区域之外，钟大体抵消，因为它们不能继续免受于常规的“量子干涉的狂欢”[110]。诠释很明确：钟群在移动，如图5.2所示。
图5.2：钟群以恒定速度向右运动。这是因为，原始钟群里的钟如正文中描述的那样有相对旋转。
这个结果令人惊喜。通过偏置初始钟群里的钟，而不是让它们指向相同方向，我们就做到了对运动粒子的描述。奇妙的是，我们也可以将偏置过的钟和波的行为联系起来。
回忆一下，我们在第二章中引入了钟，是为了解释粒子在双缝实验中的类波行为。回顾一下第三章的图3.3。那里我们画出了描述一列波的钟的排列方式。它就像是我们移动钟群的排列方式。在图5.1中，笔者在图下方用跟以前完全一样的方法画出了对应的波：12点表示波峰，6点表示波谷，3点和9点表示波高为零的位置。
和我们可能期待的一样，运动粒子的表现似乎和波有关。波具有波长，这对应显示钟群里相同时间的钟的距离。笔者在图中也写下了这个量，记作λ。
现在我们可以计算，要使相邻的钟相长相加，位置X应该距离钟群多远。这会将我们引至量子力学中的另一条非常重要的结论，并使量子粒子和波之间的联系更加明确。下面会用更多一点的数学。
首先，我们需要写下，由于到X更远，钟2比钟1多转过的圈数。利用本章前文中的结果，这个数是：
这式子你或许也能自己得出来，只需乘出括号并扔掉d2项，因为钟之间的距离d和原来钟群到位置X的距离x相比非常小。
让这些钟在移动后读数相同的判据也能直观写下；我们想让钟2由于传播带来的额外转动，被初始的顺时针转动精确抵消。例如，在图5.1里，钟2的额外转动是1/4，因为我们将其顺时针转过了1/4圈。类似地，钟3的转动是1/2，因为我们将其转过了1/2圈。用符号表示，可以把两块钟之间的转动圈数一般地表示为d/λ，其中d是钟的间距，而λ是波长。如果你还没有看出来，只需想想两块钟的间距等于波长的情形，则d=λ，因此d/λ=1，也就是一整圈，而两块钟的读数一样。
综合以上，我们可以说，要使两块相邻的钟在X处读数相同，需要让初始时钟的额外转动，等于由于传播距离不同带来的额外转动：
像以前一样，注意到mx/t是粒子的动量p，就能简化这个式子。稍为整理就能得到：
这个结果足够重要，值得命名。它由法国物理学家路易·德布罗意[111]（Louis de Broglie）于1923年9月首次提出，所以命名为德布罗意关系（de Broglie equation）。说它重要，是因为它将波长与已知动量的粒子关联起来。换句话说，它表达了通常分别归于粒子和波的两种性质——动量和波长之间的密切联系。如此，量子力学的波粒二象性（wave-particle duality）就从我们对钟的处理中浮现出来。
德布罗意关系是观念上的一大飞跃。在原始论文中他写道：一切粒子，包括电子，都应具有“虚构的关联波”；通过单缝的电子流“应该有衍射现象”[112]。在1923年，他的论文还只是理论推测，因为直到1927年，戴维孙和革末才用电子束观察到干涉图案。在大约同一时间，爱因斯坦使用不同的推理方式做出了类似德布罗意的提案。这两项理论结果是薛定谔发展其波动力学的催化剂。在薛定谔提出同名方程的前一篇论文中，他写道：“这意味着除了严肃对待德布罗意-爱因斯坦关于运动粒子的波动理论，别无他法。”
通过观察减小波长，我们可以对德布罗意关系得到更多的认识。这相当于增加相邻钟之间的旋转量。也就是说，我们将减小读数相同的钟之间的距离。这意味着，必须增加距离x，以补偿λ的减小。换句话说，位置X需要更远，才能“撤销”额外的旋转。那就对应移动更快的粒子：更小的波长对应更大的动量，而这正是德布罗意关系所说的。我们从一列静止的钟开始，“推导”出了普通的运动（因为钟群随时间平滑运动）。这真是一个可爱的结果。
现在我们要回到本章早先跳过的一个重要问题。我们说过，初始钟群整体运动到X点附近，但只是大致保持其原始构型。作者这个相当不精确的说法，到底是什么意思？这个问题的答案会给出与海森伯不确定性原理的关联，以及进一步见解。
我们一直在用描述一块钟群的变化，来代表一个会在空间中一个小区域内某处被找到的粒子。在图5.1中，这就是五块钟所跨越的区域。像这样的钟群被称为波包（wave packet）。但我们已经看到，将粒子禁闭在空间中的某区域内会产生的后果。我们不能避免一个局域粒子得到海森伯之踢（也就是其动量不确定，因为它是局域的）；随着时间流逝，这会导致粒子“渗漏”出其起初所在的区域。这个效应在所有钟的示数都相同时存在，而在钟群移动的情形中也是。它使波包倾向于扩散，就像静止粒子随时间扩散一样。
如果等足够久，对应于移动钟群的波包会完全解体；我们将失去预测粒子位置的能力。这显然会影响到对粒子速度测量的尝试。我们来看看结果会怎样。
测量粒子速度的一个好方法是，在两个不同的时刻测量其位置。之后就能通过用粒子运动的距离，除以两次测量间隔的时间，得到速度。然而，根据我们刚才所说，这看似是一件危险的事。因为如果对粒子位置的测量过于精确，则有压缩其波包的可能，这就会改变它后续的运动。如果我们不想给粒子一个显著的海森伯之踢（即明显的动量改变，因为我们让Δx变得过小），就得确保位置测量足够模糊。当然，模糊本身是一个模糊的术语，所以我们来把它变得不那么模糊。如果使用能以1微米准度探测粒子的粒子探测器，而波包的宽度是1纳米，则探测器对粒子的影响不会太大。读数的实验者对探测器1微米的分辨率可能感到很满意，但从电子的视角来看，探测器不过是汇报给实验者，粒子在某个巨大的盒子里，大小是实际波包的1000倍。在这种情况下，测量过程引入的海森伯之踢，和波包本身有限的大小相比很小。这就是我们说“足够模糊”的意思。
图5.3：两个不同时刻的同一个波包。随着时间前行，波包向右运动并展宽。波包是运动的，因为组成波包的钟彼此之间有相对旋转（德布罗意关系）；由于不确定性原理，它也是扩散的。波包的形状不很重要，但是为完整起见，我们应该说，波包大的地方钟也更大，而波包小的地方钟也小。
我们在图5.3中绘出了上述情形，并标出了波包的初始宽度d以及探测器的分辨率Δ。我们还画出了稍后时刻的波包；它要稍微宽一点，宽度是d’，比d大。波包的峰在一定时间间隔t内以速度v运动了一段距离L。笔者提前道个歉，如果这些龙飞凤舞的特定套路，勾起了你记忆深处的校园岁月：坐在污渍斑驳的木桌后面，随着科学老师的声音渐渐消失在暮冬午后的暗淡天光中，你也陷入了不合时宜的午睡。我们搞得满身粉笔灰，是有原因的。希望本节的结论，比起年轻时飞来的板擦，能更有效地使你激灵起来。
我们振作精神，重回假想的科学实验室，尝试通过在两个不同时刻测量波包的位置，来测量其速度v。这会给出波包在时间t内运动的距离L。但我们的探测器的分辨率为Δ，因此我们无法完全确定L。用符号表示，可以说测得的速度为：(www.xing528.com)
其中组合的加减符号只是提醒我们，如果实际进行这两个位置的测量，一般不会总得到L，而是“L加一点”或者“L减一点”，其中出现“一点”的误差范围是因为我们同意不对粒子位置做非常准确的测量。记住这一点很重要，就是L不是我们可以实际测量的东西：我们总是在L±∆的范围内测得一个值。要记住，∆需要远大于波包的大小，否则我们就会挤压粒子并扰乱它。
我们来把上一个式子稍微改写一下，这样就能更好地看清是怎么一回事：
看起来，如果t非常大，我们就会得到扩散非常小的速度测量值v=L/t。这是因为我们可以选择等待很长的时间，使得t任意大，从而在保持∆足够大的同时，让∆/t任意小。我们看似有了好方法，能以任意精度测量粒子的位置，而根本不干扰它；只要在第一次和第二次测量之间等待极长的时间即可。这很直观。想象你在测量一辆公路汽车的速度。如果测量的是它在一分钟内行驶的距离，测得的速度往往比测量其在一秒内行驶的距离要精确得多。我们是不是避开了海森伯的脚？
当然没有——我们忘了考虑某些东西。粒子由波包组成，波包随时间扩散。在足够长的时间之后，扩散效应将完全冲尽波包，这意味着粒子可以在任何地方。这将扩大L的测量值范围，破坏我们对其速度进行任意精度测量的能力。
对于由波包描述的粒子，我们最终仍然受不确定性原理的约束。因为粒子起初被禁闭在一个大小为d的区域内，海森伯告诉我们，粒子的动量也变得模糊，范围是h/d。
因此，我们只有一种方法可以表示具有确定动量的运动粒子，建立一种波包大小d非常大的钟的构型。它愈大，粒子动量的不确定性愈小。信息很清楚：一个动量非常确定的粒子由一个大钟群描述[113]。精确地说，一个动量完全确定的粒子得由一列无穷长的钟群来描述，也就是一个无限长的波包。
我们刚刚论证过，一个有限大小的波包并不对应一个动量确定的粒子。这意味着，如果测量很多粒子的动量，即使它们都由完全相同的初始波包描述，我们也不会每次都得到相同的结果。相反，我们会得到一些散布的结果。并且不管我们在实验物理学上有多高明，散布的范围不可能小于h/d。
因此我们可以说，波包描述了一个运动粒子，其动量在一定范围内。但德布罗意关系意味着，我们可以用“波长”一词来代替最后一句中的“动量”，因为粒子的动量和一列确定波长的波有关。这又意味着，一个波包必须由许多不同波长的波组成。同样，如果一个粒子由一列波长确定的波描述，则这列波一定是无限长的。听起来，我们是在被推向这样一个结论，一个小波包是由很多波长不同且无限长的波组成。我们确实被推到了这条路上，而我们所描述的东西，对于数学和物理学者以及工程师等都非常熟悉。这是一个被称为傅里叶分析的数学领域，以法国数学家约瑟夫·傅里叶[114]（Joseph Fourier）的名字命名。
傅里叶是个多彩的人。他有许多显著的功绩，包括担任拿破仑[115]（Napoléon Bonaparte）的下埃及总督，以及温室效应（greenhouse effect）的首个发现者。显然他喜欢把自己裹在毯子里，这甚至导致了他的死亡，1830年的一天，他把自己紧紧裹住，从自己家的楼梯上摔了下来。他关于傅里叶分析的重要论文涉及了固体中的热传导问题，发表于1807年，尽管其基本思想可追溯到更早的时候。
傅里叶证明，任何波，无论它的形状和范围有多复杂，都可以由不同波长的一些正弦波相加合成。这一点用图片能最好地说明。图5.4中的短虚线是由下方图中的前两列正弦波相加而成的。你几乎可以在大脑中把它们加起来：两列波在中心处同时达到极大，所以在那里相加变大；而在末端它们倾向于抵消。长虚线是我们将下方途中的四列波相加的结果——现在中心的峰值变得更加明显。最后，实线是我们把前十列波加起来的情形，也就是画出来的四列波，加上六列波长逐渐减小的波。加入的波愈多，最终的波的细节就愈多。上方图中的波包可以描述一个局域粒子，很像是图5.3中的波包。这样一来，我们真的可以合成任何形状的波——这都是通过将简单的正弦波相加来实现的。
图5.4：上图：将几列正弦波加起来，以合成一个尖锐成峰的波包。短虚线包含的正弦波的数量，比长虚线所包含的少；而后者又比实线所包含的少。
下图：用于组成上图中波包的前四列正弦波。
德布罗意关系告诉我们，图5.4下方的每一列波都对应一个确定动量的粒子，而动量随波长减小而增加。我们开始明白，如果一个粒子由一个局域的钟群所描述，它为何必由动量在一个范围内的波组成。
更直白地说，我们来假设，粒子由图5.4上方的实线所描述[116]。刚才已经知道，该粒子也能由一系列更长的钟群来描述：下方图中的第一列波，加上下方图中的第二列波，以此类推。这种思考方式下，在每个位置上都有多块钟（每一列波对应的长钟群都在这个位置有一块）；我们得把它们加在一起，得到图5.4上方的单块钟群。选择要如何理解粒子，真的是“取决于你”。可以认为它是由每个位置上的一块时钟描述的，时钟的大小立刻让你知道粒子可能被发现的地方，即图5.4上方的峰附近。抑或，可以认为粒子是由每个点上的一系列钟所描述，粒子每个可能的动量值都有一块。通过这种方式，我们提醒自己，局域在一个小区域内的粒子并不具有确定的动量。不可能从单一波长的波构造出紧致的波包，这是傅里叶数学的一个明显特征。
这种思考方式给了我们一个新视角，去看待海森伯的不确定性原理。在这个视角中，我们不能用单一波长的波所对应的一个局域钟群去描述一个粒子。相反，为使钟群区域以外的钟抵消，必须混合不同波长的波，因此也会混合不同的动量。所以，为了让粒子局限在空间中某处，我们必须承认不知道它的动量。而且，对粒子位置的限制愈多，需要加入的波也就愈多，我们对其动量的了解就愈少。这正是不确定性原理的内容；能用不同的方法得出相同的结论，这让人很满意[117]。
为了结束这一章，笔者想再花一点时间谈谈傅里叶。有一种非常强大的方式来描绘量子理论，它与我们刚才讨论的观念密切相关。重点是，任何量子粒子，无论它处于什么状态，都可以由一个波函数描述。如我们到目前为止所展示的那样，波函数就是一块小钟阵列，空间中每个位置都有一块，而钟的大小决定了粒子在那个位置被找到的概率。这种表示粒子的方法被称为“位置空间波函数”（position space wavefunction），因为它直接处理粒子可能处于的位置。然而，数学上有很多方法表示波函数，而空间中的小钟只是其中的一个版本。当我们表达可以认为粒子也是由正弦波之和描述的时候，已经触及了这一点。如果你考虑一下这一点，就应该意识到，指明完整的正弦波列表，实际上提供了对粒子的完整描述（因为通过把这些波相加，可以得到与位置空间波函数相关联的小钟）。换句话说，如果我们确切地指明需要哪些正弦波才能构造波包，以及每列正弦波究竟需要加入多少[118]才能得到合适的形状，则对于波包，我们将得到一个不同但完全等价的描述。巧妙的是，任何正弦波本身都能由一个假想的时钟来描述：钟的大小编码了波的最大高度，而波在某位置的相位则表示为那里的钟所指的时刻。这就是说，我们可以选择不用空间中的钟表示粒子，而用另一块钟的阵列来替代，粒子的每个可能的动量值都对应一块。这种描述和“空间中的钟”的描述一样紧凑有效。我们没有明确指出粒子可能在哪里被找到，而是明确指出粒子有可能具有哪些动量值。这种替代的钟的阵列被称为动量空间波函数（momentum space wavefunction），它包含的信息和位置空间波函数完全一样[119]。
这听起来可能非常抽象，但你很可能每天都在用基于傅里叶观念的技术，因为将波分解成其正弦波分量，正是音频和视频压缩技术的基础。想想组成你最喜欢的曲子的声波。如我们刚刚所了解的，这列复杂的波可以被分解成一系列数字；而这些数字，为声音贡献出大量单纯正弦波中的所有波。尽管可能需要大量的单个正弦波，才能精准地重现原始声波，但事实上，可以扔掉大量的正弦波，也不会影响你所感知到的音质。具体来说，无需保留声波中人类无法听到的正弦波成分。这极大地减小了存储音频文件所需的数据量，因此你的MP3播放器不需要太大。
你可能还会问，这个不同的、更抽象的波函数有什么用呢？嗯，考虑一个在位置空间中由单块钟表示的粒子，是在描述宇宙中处于确定位置的粒子，即钟所处的位置。现在再考虑一个由单块钟表示的粒子，但这次是在动量空间中。这表示一个具有单一、确定动量的粒子。大不相同的是，如果用位置空间波函数来描述这样的例子，就需要无穷多个相同大小的钟，因为根据不确定性原理，具有确定动量的粒子可以在任何地方被找到。因此，有时候直接用动量空间波函数进行计算会更简单。
在本章中，我们学习了用钟来描述粒子能够描绘我们通常所说的“运动”。我们了解到，从量子理论的角度来看，我们对物体从一点到另一点的平滑运动的感知，是一种幻象。事实的真相更接近于，假设粒子从A运动到B是通过了所有可能的路径。只有当我们把所有可能性加起来，我们所感知到的运动才会显现出来。我们也才能明确地看到，钟的描述是如何包含了波动物理学，尽管我们只处理了类点粒子（point-like particles）。现在是时候真正地利用类点粒子与波动物理学的关系了，因为我们要解决一个重要的问题：量子理论如何解释原子结构？
[110]你或许应该自己检验一遍。（原书注）
[111]路易·德布罗意，1892年生于法国迪耶普，1987年卒于巴黎，法国物理学家。
[112]“衍射”一词用于描述特殊的干涉，它是波的特点。（原书注）
[113]当然，你可能会担心，如果d很大，要如何测量波包的动量。通过让L比d大得多，可以避免这种担心。（原书注）
[114]约瑟夫·傅里叶，1768年生于法国欧塞尔，1830年卒于巴黎，法国数学家和物理学家。
[115]拿破仑·波拿巴，1769年生于法属科西嘉岛的阿雅克肖，1821年卒于英属圣赫勒拿岛的长木，法国军事家、政治家。
[116]回忆一下，我们画出的波的图像，其实是一种方便的方法，描绘出钟指针在12点方向上的投影。（原书注）
[117]然而，这种得到不确定性原理的方法的确依赖于德布罗意关系，以将钟波的波长与其动量联系起来。（原书注）
[118]指每列正弦波的振幅，或钟的大小。
[119]在术语中，描述具有确定动量的粒子的波函数，被称为动量本征态momentum eigenstate，由德文词eigen构成，意为本征或特征。（原书注）
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
