建筑工程测量：准确度衡量指标

图1.15　误差分布曲线

精度是指一组误差分布的密集与离散的程度，即离散度的大小。通常可通过绘出误差频率直方图或分布曲线来比较和衡量观测值精度的高低。如图1.15所示，两组不同观测条件下的误差分布曲线Ⅰ、Ⅱ，误差分布曲线Ⅰ较陡峭，说明该组误差更加密集在Δ=0附近，即绝对值较小的误差出现得较多，表明该组观测值的质量较高；误差分布曲线Ⅱ较平缓，说明该组误差分布离散，表明该组观测值的质量较低。利用误差分布曲线来比较观测结果的质量好坏在实际工作中很不方便，下面引入一些简单的关于精度的数值概念，这种能反映误差分布密集或离散程度的数值称为精度指标。

1）中误差

在数学上，通常用标准差反映数据偏离真实值的程度。在测量中可以用标准差来反映观测数据与真实值之间的偏离程度，从而反映观测数据的质量。设在相同的观测条件下，对某真值L进行n次重复观测，其观测值为l1，l2，…，ln，相应的真误差为：

因此，根据标准差定义式，可知本次对某真值L的观测数据与真值L本身的离散程度为：

在实际工作中，观测值次数n总是有限的，为了评定精度，只能用有限个真误差求取标准差的估值，这个标准差的估值称为中误差，用m表示，即

或

式中：Δ可以是同一个量观测值的真误差，也可以是不同量观测值的真误差，但必须都是等精度的同类观测值的真误差；n为Δ的个数。

由式（1.9）可见中误差与真误差的关系：中误差不等于真误差，只是一组观测值的精度指标，中误差越小，误差分布得越密集，相应的观测成果的精度就越高；中误差越大，误差分布得越离散，相应的观测成果的精度越低。

【例1.1】设有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测，它们的真误差分别为：

甲组：+3″，-2″，-4″，+2″，0″，-4″，+3″，+2″，-3″，-1″(www.xing528.com)

乙组：0″，-1″，-7″，+2″，+1″，+1″，-8″，0″，+3″，-1″试计算甲、乙两组各自的观测精度。

【解】根据式（1.9）计算甲、乙两组观测值的中误差为：

比较m甲和m乙可知，甲组的观测精度比乙组高。中误差所代表的是某一组观测值的精度，而不是这组观测中某一次的观测精度。

2）极限误差

由偶然误差的第一特性可知，在一定的观测条件下偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，这个限值就是极限误差。根据误差理论和大量的统计资料证明，误差出现在各区间内的概率分别为：

也就是说，绝对值大于两倍标准差的偶然误差出现的概率为4.5%，而绝对值大于3倍标准差的偶然误差出现的概率仅为0.3%，这实际上是接近于零的小概率事件，在有限次观测中不太可能发生。因此，在测量工作中通常规定2倍或3倍中误差作为偶然误差的限值，称为极限误差或容许误差。

3）相对误差

在距离测量中，如果分别丈量了500 m和80 m的两段距离，中误差都是±2 cm。这时不能认为两者的测量精度是相同的，由此可见，只用中误差还不能完全表达测量结果的精度高低。因此，需要引入相对精度来客观地反映上述测量结果的实际精度。观测值中误差的绝对值与观测值的比值称为相对中误差，将其化成分子为1的分数，用K表示，即

那么，前述例子中两段距离的相对中误差为：

相对中误差越小，精度越高。因为K1＜K2，所以第一段距离测量的精度高于第二段距离的测量精度。

评定与距离相关的结果的精度时，在求得真误差和容许误差后，应用相对误差表示。比如，图根导线测量中规定导线全长相对闭合差不得超过1/2 000，这就是相对容许误差。还应指出的是，与相对误差对应的真误差、中误差、极限误差称为绝对误差。